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1 721_04_TEORIA_2_19_34 25-01-2007 6:48 Pagina 19. Geometria UNIT 2 IL TEOREMA. DI PITAGORA. Le conoscenze che devi avere Le propriet dei poligoni Lezioni 1 CHE COS' IL TEOREMA DI PITAGORA. Il concetto di figure equivalenti 2 LE FORMULE DEL TEOREMA DI PITAGORA. Le abilit che devi avere 3 LE TERNE PITAGORICHE. Usare i procedimenti per determinare le aree 4 APPLICAZIONI DEL TEOREMA. delle figure DI PITAGORA. Operare con le radici quadrate 5 ALCUNI CASI PARTICOLARI. 6 IL TEOREMA DI PITAGORA NEL PIANO. Le conoscenze che acquisirai CARTESIANO. Il teorema di Pitagora Le terne pitagoriche Importanza della sintesi e della formalizzazione Le abilit che acquisirai Applicare il teorema di Pitagora per risolvere problemi Rafforzare l'assimilazione del concetto di figure equivalenti Incrementare la capacit di saper valutare varianti e invarianti.

2 Incrementare la familiarit all'uso corretto delle formule Approfondire la conoscenza dei numeri razionali Incrementare la capacit di risoluzione dei problemi 721_04_TEORIA_2_19_34 25-01-2007 6:48 Pagina 20. GEOMETRIA UNIT 2 - IL TEOREMA DI P I TA G O R A. Simulazione n. 50. LEZIONE. 1 Che cos' il teorema di Pitagora La leggenda narra che Pitagora, passeggiando su un pavimento di piastrelle tutte uguali tra loro e aventi la forma di triangoli rettangoli isosceli, fosse colpito da alcune particolarit . Si dice che da queste osservazioni sia arrivato poi alla formulazione del suo celebre teorema.

3 In realt . gli storici della Matematica non sono certi che le cose siano andate proprio cos . Proviamo comunque a ripetere anche noi le osservazioni di Pitagora riportate dalla leggenda . Rappresentiamo un pavimento costituito da piastrelle aventi la forma di un triangolo ret- tangolo isoscele e fissiamo l'attenzione sulla piastrella rosa. Q2 Osserviamo i quadrati verdi: Q1 e Q2 hanno per lato il cateto della piastrella; Q3 ha per Q3 lato l'ipotenusa della piastrella. Q1 e Q2 sono formati ciascuno da due piastrelle, mentre Q1 Q3 formato da 4 piastrelle.

4 Prendiamo una piastrella come unit di misura delle aree. Possiamo allora scrivere: Area Q1 = 2 piastrelle Area Q2 = 2 piastrelle Area Q3 = 4 piastrelle Consideriamo ora altri triangoli rettangoli isosceli formati da pi piastrelle. Per ognuno disegniamo i quadrati che hanno come lati i cateti e l'ipotenusa dei triangoli. Cabri Q2. ESERCITAZIONE Q3. N . 33 A PAG . 302 Q2. Q1. Q2. Q3 Q3. Q1. Q1. Area Q1 = 4 piastrelle Area Q1 = 8 piastrelle Area Q1 = 16 piastrelle Area Q2 = 4 piastrelle Area Q2 = 8 piastrelle Area Q2 = 16 piastrelle Area Q3 = 8 piastrelle Area Q3 = 16 piastrelle Area Q3 = 32 piastrelle Osserviamo che in ogni situazione l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

5 Vediamo ora di staccarci dall'immagine delle piastrelle con considerazioni pi generali. Disegna un triangolo rettangolo isoscele qualunque e i quadrati che hanno come lati i cateti e l'ipote- nusa del triangolo; traccia le linee sottili come in figura (meglio se disegni le figure su cartoncini colo- rati ed esegui effettivamente i tagli e le sovrapposizioni per i confronti). Osserva che il quadrato costrui- to sull'ipotenusa composto dallo stesso numero di elementi congruenti (triangoli rettangoli isosceli). che compongono complessivamente i due quadrati costruiti sui cateti.

6 Possiamo allora generalizzare: # indeiunquadrati triangolo rettangolo isoscele, il quadrato costruito sull'ipotenusa equivalente alla somma costruiti sui cateti. 20. 721_04_TEORIA_2_19_34 25-01-2007 6:48 Pagina 21. PAGINA. OPERATIVA. Un po' di storia Pitagora e la Pitagora nacque nell'isola greca di Samo attor- no al 580 (la data non certa). Fece molti scuola pitagorica viaggi in Oriente e in Egitto, poi si stabil a Crotone, una colonia greca di quella che oggi l'Italia meridionale, all'epoca Magna Grecia, dove fond una scuola. Questa scuola aveva forse pi le caratteristiche di una comunit di tipo religioso o, ancora meglio, di una setta vera e propria.

7 I seguaci erano infatti tenuti ad appartenere alla scuola per tutta la vita e a mantenere segrete le conoscenze acquisite. La figura di Pitagora circondata da una fama leggendaria e misteriosa: ben poco di quanto stato riportato ha un valido fondamento storico. Certo che nella sua scuola ci si occup di filosofia, matematica, magia, musi- ca e astronomia. Le dottrine elaborate da Pitagora e dai discepoli erano un misto di razionalit e di misticismo. Consideriamo dapprima alcuni aspetti della parte razionale. Tutto numero il motto con il quale ancor oggi si sintetizza il pensiero della scuola pitagorica.

8 I seguaci erano infatti convinti dell'importanza supre- ma dei numeri nell'origine dell'universo. Secondo loro, quindi, ogni tipo di conoscenza doveva avere come base la conoscenza dei numeri, poich tutta la realt era esprimibile mediante numeri interi o razionali (cio , come gi sai, esprimibili sotto forma di frazione). Persino la musica era governata da leggi matematiche. I pitagorici espressero infatti la lunghezza dei suoni che compongono un'armonia musicale mediante 1 1 1 1. frazioni (1; ; ; ; ). Questa modalit ancor oggi in uso, anche se con 2 4 8 16.

9 Ampliamenti e modificazioni. Rappresentazione di Pitagora in una miniatura del XV secolo. Vediamo ora invece alcuni aspetti della parte mistica. I pitagorici credevano nella trasmigrazione dell'anima, ossia erano convinti che le anime degli uomini e degli ani- mali si reincarnassero dopo la morte in altri uomini o animali. Pitagora era probabilmente giunto a questa conce- zione derivandola dalla religione indiana durante uno dei suoi viaggi in Oriente. A tal proposito Senofane racconta che Pitagora durante una passeggiata sgrid un uomo che percuoteva un cane con un bastone: Smettila, stai per- cuotendo un mio caro amico!

10 Lo riconosco dai lamenti! . I seguaci della scuola si imponevano inoltre una rigida disciplina, anche mediante regole un po' bizzarre: era infatti assolutamente proibito indos- sare abiti di lana o mangiare fave, nonostante si professasse la necessit . di osservare una rigida dieta vegetariana per purificare lo spirito. La scuola pitagorica ebbe inoltre una caratteristica che la rese diversa da tutte le altre scuole filosofiche greche: ammetteva le donne come ascoltatrici! Particolare di una tavola del 1496 in cui si ripro- pongono le teorie di Pitagora per spiegare le basi dell'armonia musicale.