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Lezioni ed esercizi - Dipartimento di Matematica …

Universit di Torino QUADERNI DIDATTICI del Dipartimento di Matematica MARIA GARETTO STATISTICA Lezioni ed esercizi Corso di Laurea in Biotecnologie 2002/2003 Quaderno # 13 Novembre 2002 M. Garetto - Statistica iPrefazione In questo quaderno sono state raccolte le Lezioni del corso di Metodi Matematici e Statistici per il primo anno del Corso di Studi in Biotecnologie dell Universit di Torino. Una parte del materiale stata anche utilizzata per un corso di Statistica per il primo anno del Corso di Studi in Ingegneria del Politecnico di Torino. Entrambi i corsi sopra citati si inquadrano nei nuovi corsi di studi triennali, nei quali le nuove esigenze didattiche richiedono di privilegiare l aspetto operativo piuttosto che l eccessivo approfondimento teorico; si scelto quindi di fornire un introduzione elementare e abbastanza sintetica ai principali argomenti di un corso di statistica di base, accompagnando ogni argomento con numerosi esempi, ma sacrificando sia la maggior parte delle dimostrazioni dei risultati teorici, sia alcuni argomenti, pur di rilevante importanza.

iv Indice Capitolo 6 Teoria elementare dei campioni 167 6.1 Popolazioni e campioni 167 6.2 Campionamento 168 6.3 Distribuzioni di campionamento 174

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  Matematica, Elementare

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1 Universit di Torino QUADERNI DIDATTICI del Dipartimento di Matematica MARIA GARETTO STATISTICA Lezioni ed esercizi Corso di Laurea in Biotecnologie 2002/2003 Quaderno # 13 Novembre 2002 M. Garetto - Statistica iPrefazione In questo quaderno sono state raccolte le Lezioni del corso di Metodi Matematici e Statistici per il primo anno del Corso di Studi in Biotecnologie dell Universit di Torino. Una parte del materiale stata anche utilizzata per un corso di Statistica per il primo anno del Corso di Studi in Ingegneria del Politecnico di Torino. Entrambi i corsi sopra citati si inquadrano nei nuovi corsi di studi triennali, nei quali le nuove esigenze didattiche richiedono di privilegiare l aspetto operativo piuttosto che l eccessivo approfondimento teorico; si scelto quindi di fornire un introduzione elementare e abbastanza sintetica ai principali argomenti di un corso di statistica di base, accompagnando ogni argomento con numerosi esempi, ma sacrificando sia la maggior parte delle dimostrazioni dei risultati teorici, sia alcuni argomenti, pur di rilevante importanza.

2 La statistica descrittiva trattata come primo argomento; lo scopo quello di introdurre i metodi di analisi dei dati, i principali tipi di grafici, il concetto di variabile, che sar poi sviluppato con la definizione di variabile aleatoria, le definizioni delle pi importanti statistiche e le nozioni di correlazione e regressione da un punto di vista elementare . Vengono poi introdotti i concetti di base del calcolo delle probabilit , con un breve cenno al calcolo combinatorio. Molti fra gli esercizi riguardanti il calcolo delle probabilit possono essere risolti senza ricorrere alle tecniche del calcolo combinatorio; questo argomento pu perci essere considerato facoltativo e gli esercizi che lo richiedono sono indicati con un asterisco. Particolare importanza viene data allo studio delle distribuzioni di probabilit discrete e continue e dei loro parametri e vengono introdotti i modelli fondamentali: la distribuzione binomiale, la distribuzione di Poisson e la distribuzione normale; nell ambito della statistica inferenziale vengono anche introdotte le distribuzioni t, e F.

3 2 La parte dedicata alla statistica inferenziale preceduta da una breve trattazione delle distribuzioni di campionamento; anche in questo caso si scelto di non dedicare troppo spazio ai risultati teorici e di concentrare invece l attenzione sugli intervalli di confidenza e sui test di ipotesi in numerosi casi importanti; sono trattati i vari tipi di test di uso pi comune, accompagnati da molte applicazioni. Vengono infine descritti il test chi-quadro di adattamento e il test chi-quadro di indipendenza, frequentemente utilizzati nelle applicazioni. Il testo, come i corsi a cui destinato, costruito come una successione di Lezioni ed esercitazioni e gli argomenti teorici sono sempre seguiti da numerosi esempi, che illustrano la teoria esposta; gli esempi sono sviluppati nei dettagli, riportando tutti i calcoli, le tabelle e i grafici: lo svolgimento a volte un po noioso e ripetitivo pu aiutare lo studente ad acquisire la capacit di risolvere correttamente i problemi.

4 Il corso di Metodi Matematici e Statistici accompagnato da un ciclo di esercitazioni di laboratorio in aula informatica, nelle quali viene illustrato l utilizzo del foglio elettronico Excel; anche se Excel non un software specificamente destinato alla statistica, tuttavia contiene molte funzioni e strumenti che consentono di effettuare analisi e calcoli statistici e la sua grande diffusione ha motivato la scelta di questo software. Il materiale utilizzato per lo svolgimento del laboratorio far parte di un altro quaderno di questa collana. Per la realizzazione dei grafici presentati in questo testo e per la stesura delle tavole riportate in Appendice stato utilizzato il software scientifico Matlab, che dispone di un toolbox specificamente destinato alla statistica; questo software offre potenzialit grafiche e di calcolo numerico e simbolico molto superiori a Excel, ma non si presta a un immediato utilizzo per un attivit di laboratorio di breve durata.

5 Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica ii Prefazione Universit di Torino M. Garetto - Statistica iii Indice Introduzione 1 Capitolo 1 Statistica descrittiva 3 Distribuzioni di frequenza 3 Grafici delle distribuzioni di frequenza 10 Indici di posizione e di dispersione 22 Calcolo di media e varianza per dati raggruppati 31 Forma di una distribuzione 34 Correlazione fra variabili 36 Metodo dei minimi quadrati. Regressione lineare 39 Regressione polinomiale 48 Metodi di linearizzazione 49 Capitolo 2 Probabilit 59 Esperimenti casuali, spazio dei campioni, eventi 59 Calcolo combinatorio 61 Il concetto di probabilit 67 Definizione assiomatica di probabilit 71 Probabilit condizionata 76 Il teorema di Bayes 83 Capitolo 3 Variabili aleatorie e distribuzioni di probabilit 91 Variabili aleatorie 91 Distribuzioni di probabilit discrete 92 Densit di probabilit 100 Parametri di una distribuzione 108 Disuguaglianza di Chebishev 120 Capitolo 4 Distribuzioni di probabilit discrete 123 Distribuzione binomiale o di Bernoulli 123 Uso delle tavole della distribuzione binomiale 130 Relazione di ricorrenza per la distribuzione binomiale 131 Rappresentazione grafica della

6 Distribuzione binomiale 131 Distribuzione di Poisson 134 Uso delle tavole della distribuzione di Poisson 137 Relazione di ricorrenza per la distribuzione di Poisson 138 Rappresentazione grafica della distribuzione di Poisson 138 Approssimazione della distribuzione binomiale con la distribuzione di Poisson 140 Capitolo 5 Distribuzioni di probabilit continue 143 Distribuzione normale o di Gauss 143 Distribuzione normale standardizzata 144 Alcune applicazioni della distribuzione normale 146 Uso delle tavole della distribuzione normale 147 Relazione tra la distribuzione binomiale e la distribuzione normale 156 Relazione tra la distribuzione normale e la distribuzione di Poisson 162 Distribuzione uniforme 163 Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica Indice iv Capitolo 6 Teoria elementare dei campioni 167 Popolazioni e campioni 167 Campionamento 168 Distribuzioni di campionamento 174 Distribuzione della media campionaria (varianza 2 nota) 175 Distribuzione della media campionaria (varianza 2 incognita) 181 Distribuzione della varianza campionaria 184 Capitolo 7 Stima dei parametri 189 Introduzione 189 Stime puntuali e stime per intervallo 189 Intervalli di confidenza per la media (varianza nota) 191 Intervalli di confidenza per la media (varianza incognita) 197 Intervalli di confidenza per la proporzione 200 Intervalli di confidenza per la differenza fra due medie (varianze note)

7 205 Intervalli di confidenza per la differenza fra due medie (varianze incognite) 207 Intervalli di confidenza per la differenza fra due proporzioni 209 Intervalli di confidenza per la varianza e per lo scarto quadratico medio 211 Intervalli di confidenza per il rapporto di due varianze 216 Capitolo 8 Test di ipotesi 219 Introduzione 219 Ipotesi statistiche 219 Tipi di errore e livello di significativit 221 Test di ipotesi sulla media (varianza nota) 226 Test di ipotesi sulla media (varianza incognita) 235 Test di ipotesi sulla proporzione 238 Test di ipotesi sulla differenza fra due medie (varianze note) 241 Test di ipotesi sulla differenza fra due medie (varianze incognite) 245 Test di ipotesi sulla differenza fra due proporzioni 248 Test di ipotesi sulla varianza e sullo scarto quadratico medio 251 Test di ipotesi sul rapporto di due varianze 254 Capitolo 9 Test chi-quadro 261 Introduzione 261 Test chi-quadro di adattamento 261 Test chi-quadro di indipendenza 275 Appendice A Tavole statistiche A-1 Tavola 1.

8 Distribuzione binomiale A-3 Tavola 2. Distribuzione di Poisson A-9 Tavola 3. Distribuzione normale standardizzata A-13 Tavola 4. Percentili per la distribuzione normale standardizzata A-14 Tavola 5. Distribuzione t di Student A-15 Tavola 6. Distribuzione 2 A-16 Tavola 7. Distribuzione F A-17 Appendice B Formulario B-1 Appendice C Bibliografia C-1 Universit di Torino M. Garetto - Statistica 1 Introduzione Per statistica si intendeva in origine la raccolta di dati demografici ed economici di vitale interesse per lo stato.

9 Da quel modesto inizio essa si sviluppata in un metodo scientifico di analisi ora applicato a molte scienze, sociali, naturali, mediche, ingegneristiche, ed uno dei rami pi importanti della Matematica . Come esempio di indagine statistica si consideri il seguente problema. Prima di ogni elezione gli exit poll tentano di individuare quale sar la proporzione della popolazione che voter per ciascuna lista: ovviamente non possibile intervistare tutti i votanti e quindi si sceglie come unica alternativa un campione di qualche migliaia di unit , nella speranza che la proporzione campionaria sia una buona stima della proporzione relativa alla popolazione totale. Per ottenere un risultato sicuro sulla popolazione si dovrebbe aspettare fino alla conclusione dell'elezione, quando siano stati computati tutti i voti, ma questo non costituirebbe pi una previsione.

10 Per , se il campionamento compiuto correttamente e con metodi adeguati, si possono avere forti speranze che la proporzione campionaria sar circa uguale alla corrispondente proporzione della popolazione. Questo ci consente di stimare la proporzione incognita P dell'intera popolazione mediante la proporzione p del campione osservato P = p e dove e indica un errore. La stima non fatta con certezza; si deve cio ammettere la possibilit di essere incorsi in un errore, poich pu essere stato scelto un campione non rappresentativo, eventualit possibile, anche se improbabile: in tale circostanza la conclusione potrebbe essere errata; si pu perci avere soltanto un certo grado di fiducia nelle conclusioni. Le conclusioni statistiche dunque sono sempre accompagnate da un certo grado di incertezza. Si noti che l affermazione che la proporzione della popolazione pu essere indotta dalla proporzione del campione, si basa su una deduzione a priori, cio che la proporzione campionaria molto probabilmente vicina alla proporzione della popolazione.


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