Example: barber

Limite, continuité, théorème des valeurs …

Limites, continuit d rivabilit Pascal Lain . Limite, continuit , th or me des valeurs interm diaires, d rivabilit , th or mes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuit s Exercice 1 : Soit : ] 1, + [ la fonction d finie par : . ( ) =. 1 + 2 1 + . D terminer les limites de , si elle existent, en 0 et en + . Allez : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Soit : la fonction d finie par 1. ( ) = ( ).. Montrer que admet une limite en 0 et d terminer cette limite. Allez : Correction exercice 2 : Exercice 3 : D terminer les limites suivantes 1 + 1 + 2 1 + 2 1 + . ) lim ; ) lim ;. 0 + 2. 0. ln(1 + 2 ) ln( ). ) lim ; ) lim 0 sin2 ( ) 1 1. 0. Allez : Correction exercice 3 : Exercice 4 : Calculer (ln( )). lim + . Allez : Correction exercice 4 : Exercice 5 : Calculer, si elles existent les limites (ln( )) ln(1 + ).

Limites, continuité dérivabilité Pascal Lainé 1 Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis

Information

Domain:

Source:

Link to this page:

Please notify us if you found a problem with this document:

Other abuse

Transcription of Limite, continuité, théorème des valeurs …

1 Limites, continuit d rivabilit Pascal Lain . Limite, continuit , th or me des valeurs interm diaires, d rivabilit , th or mes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuit s Exercice 1 : Soit : ] 1, + [ la fonction d finie par : . ( ) =. 1 + 2 1 + . D terminer les limites de , si elle existent, en 0 et en + . Allez : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Soit : la fonction d finie par 1. ( ) = ( ).. Montrer que admet une limite en 0 et d terminer cette limite. Allez : Correction exercice 2 : Exercice 3 : D terminer les limites suivantes 1 + 1 + 2 1 + 2 1 + . ) lim ; ) lim ;. 0 + 2. 0. ln(1 + 2 ) ln( ). ) lim ; ) lim 0 sin2 ( ) 1 1. 0. Allez : Correction exercice 3 : Exercice 4 : Calculer (ln( )). lim + . Allez : Correction exercice 4 : Exercice 5 : Calculer, si elles existent les limites (ln( )) ln(1 + ).

2 Lim et lim + 0 2. Allez : Correction exercice 5 : Exercice 6 : Soit : d finie par 2. (0) = 0 et ( ) = + si 0.. D terminer l'ensemble des points o elle est continue. Allez : Correction exercice 6 : 1. Limites, continuit d rivabilit Pascal Lain . Exercice 7 : Calculer si elles existent 1. ln(1 + 2 ). lim + . 2. 7 1. lim 2 2. 0. Allez : Correction exercice 7 : Exercice 8 : Soit : l'application d finie, pour tout , par : ( ) = ln(1 + ) + 1. 1. Montrer qu'il existe [0,1] tel que ( ) = 0. 2. Montrer que est strictement croissante sur +, en d duire que est unique. Allez : Correction exercice 8 : Exercice 9 : Soit la fonction d finie sur [1, + [ par ( ) = 1, avec 2. 1. Montrer qu'il existe un unique > 1 tel que ( ) = 0. 2. Montrer que +1 ( ) > 0. 3. En d duire que la suite ( ) est d croissante et quelle converge vers une limite.]]

3 4. D terminer . Allez : Correction exercice 9 : Exercice 10 : Soit . Soit une fonction d finie sur [0,1] par : . ( ) = 1 . 2. 1. Montrer qu'il existe un unique [0,1] telle que ( ) = 0. 2. Montrer que pour tout , +1 ( ) > 0, 3. En d duire que ( ) est monotone et qu'elle converge vers une limite . 4. Supposons qu'il existe tel que pour tout 0 < 1. a. Calculer la limite de lorsque tend vers l'infini. b. Montrer qu'il y a une contradiction et en d duire la limite de ( ) . Allez : Correction exercice 10 : Exercice 11 : 1. Soient et des nombres r els tels que < et une application de [ , ] dans [ , ]. a) On suppose que pour tout ( , ) [ , ] [ , ] on a : | ( ) ( )| | |. Montrer que est continue sur [ , ]. En d duire qu'il existe [ , ], tel que ( ) = . b) On suppose maintenant que pour tout ( , ) [ , ] [ , ] on a : | ( ) ( )| < | |.

4 Montrer qu'il existe un unique [ , ], tel que ( ) = . 2. On d signe par l'application de [0,2] dans , d finie pour tout [0,2] par : ( ) = ln(2 + 2 ). a) On pose 2. Limites, continuit d rivabilit Pascal Lain . = max | ( )|. [0,2]. Montrer que < 1. b) En d duire, en montrant que ([0,2]) [0,2], qu'il existe un unique [0,2] tel que ( ) = . On notera cet l ment. c) Montrer que l'application est injective. On d finit la suite ( ) de nombres r els par la donn e de : 0 [0,2] et +1 = ( ) si 0. d) Montrer que si 0 , alors pour tout 0, . e) On suppose que 0 . Montrer que pour tout 0. | +1 |.. | |. f) En d duire que pour tout 0 [0,2], la suite ( ) converge vers . On donne 0,69 < ln(2) < 0,7 et 1,79 < ln(6) < 1,8. Allez : Correction exercice 11 : II Continuit d rivabilit . Exercice 12 : Les fonctions , et : d finies par : 3.

5 ( ) = | | ; ( ) = 5 ; ( ) = cos ( | |). Sont-elles d rivables en 0 ? Allez : Correction exercice 12 : Exercice 13 : Soit la fonction d finie sur [0,1] par 0 si = 0. ln( ). ( ) = { + si 0 < < 1. 1 . 0 si = 1. 1. Montrer que est continue sur [0,1]. 2. Montrer qu'il existe ]0,1[ telle que ( ) = 0. (on ne demande pas la valeur de ). Allez : Correction exercice 13 : Exercice 14 : Etudier la d rivabilit des fonctions suivantes et calculer la d riv e lorsqu'elle existe : 1. ( ) = ln(ln( )) si > 1. 2. 2. ( ) = ln( + 1) si . 1. si < 0. 3. ( ) = { 0 si = 0. ln( ) si > 0. Allez : Correction exercice 14 : Exercice 15 : Soient et deux r els Soit : la fonction d finie par 3. Limites, continuit d rivabilit Pascal Lain . sin( ). si < 0. ( ) = { . 1 si = 0. si > 0. 1. A l'aide de la r gle de L'Hospital d terminer la limite suivante cos( ) sin( ).}}}

6 Lim 0 2. 2. D terminer et pour que soit continue sur . 3. D terminer et pour que soit d rivable sur . Allez : Correction exercice 15 : Exercice 16 : Soit et deux nombres r els. On d finit la fonction : par + si 0. { 1. si > 0. 1+ . 1. Donner une condition sur pour que soit continue sur . 2. D terminer et tels que soit d rivable sur et dans ce cas calculer (0). Allez : Correction exercice 16 : Exercice 17 : Soit : ]0, + [ l'application d finie par . ( ) = .. 1. Etudier les variations de . 2. Comparer les r els et . Allez : Correction exercice 17 : Exercice 18 : On consid re l'application : [ 1,1] , d finie par : 1. ( ) = ( 1 + 2 1 2 ) , si 0. { . ( ) = 0 si = 0. 1. Montrer que est continue sur [ 1,1]. 2. Montrer que est d rivable sur ] 1,1[ et d terminer ( ) sur ] 1,1[. 3. Montrer que l'application d riv e : ] 1,1[ est continue sur ] 1,1[.}}

7 Quel est l'ensemble des ] 1,1[ pour lesquels ( ) = 0. 4. Dresser le tableau de variation de et tracer son graphe. En d duire que est injective. 5. On d signe par la bijection de [ 1,1] sur ([ 1,1]) d finie par ( ) = ( ), pour tout . [ 1,1] et on d signe par 1 sa bijection r ciproque.. Justifier l'existence et d terminer ( 1 ) (0). Allez : Correction exercice 18 : Exercice 19 : Soit : la fonction d finie par : si < 0. ( ) = {. 2 + + si 0. D terminer , et dans tels que soit 2 (c'est- -dire deux fois d rivables et que la d riv e seconde soit continue). Est-ce que dans ce cas est 3 ? Allez : Correction exercice 19 : 4. Limites, continuit d rivabilit Pascal Lain . Exercice 20 : On consid re la fonction de dans d finie par : sin( ). si < 0. ( ) = { . 1 si = 0. 2. + 1 si > 0. 1. La fonction est-elle continue sur ?}}

8 2. D terminer l'ensemble des points o est d rivable ? 3. Calculer la d riv e de aux points o elle est d rivable ? Allez : Correction exercice 20 : Exercice 21 : Soit : [0,1] la fonction d finie par : 1 1. si 0 <. ( ) = { 1 + 2. 1. 2 + 2 1 si 2. 1. D terminer, s'ils existent, les pour que soit continue. 2. D terminer, s'ils existent, les pour que soit d rivable. Allez : Correction exercice 21 : Exercice 22 : Soit la fonction d finie sur par : 1.. ( ) = { 2 si 0. 0 si = 0. 1. Montrer que est continue sur . 2. Pour tout 0 calculer ( ). 3. Calculer lim ( ). 0. 0. Que peut-on en d duire ? 4. D terminer les limites de en . 5. Dresser le tableau de variation de et tracer sommairement son graphe. Allez : Correction exercice 22 : Exercice 23 : Soit : une fonction telle que , , | ( ) ( )| |sin( ) sin( )|.}}

9 1. Montrer que la fonction est 2 -p riodique. 2. Montrer que est continue sur .. 3. Montrer que est d rivable en 2 et calculer (2 ). Allez : Correction exercice 23 : Exercice 24 : Calculer les d riv es des fonctions : : { , } et : d finies par ( ) = ln( ) ; ( ) = ln(sin2 ( )) ; ( ) = + 1 + 2. Montrer aussi que 5. Limites, continuit d rivabilit Pascal Lain . ( ). ( ) =. 1 + 2. Allez : Correction exercice 24 : Exercice 25 : Les fonctions , : d finies par ( ) = | | sin( ) et ( ) = ln(1 + | |). Sont-elles d rivable en 0 ? Allez : Correction exercice 25 : Exercice 26 : Calculer, lorsqu'elles existent, les d riv es des fonctions suivantes : 1. 1 : ln(3 + sin( )). 2. 2 : ln( 1 + 2 ). 2+cos( ). 3. 3 : ln (2 cos( )). 4. 4 : +1. 5. 5 : sin(( )2 ). sin( ). 6. 6 : . Allez : Correction exercice 26 : Exercice 27 : Les fonctions , et : d finies par : 1 1.

10 ( ). ={ sin ( ) si 0 (. , ={) sin ( ) si 0 ;.. 0 si = 0 0 si = 0. 2. 1 3. 1. ( ) = { sin ( ) si 0 ; ( ) = { sin ( ) si 0.. 0 si = 0 0 si = 0. Les fonctions , , , sont-elles continues en 0, d rivables en 0, de classe 1 en 0. Allez : Correction exercice 27 : Exercice 28 : Soit : [0,1] de classe 1 telle que (1) = 0. Soit : [0,1] d finie pour tout > 0 par ( ) = ( ). 1. Montrer que pour tout > 0, il existe ] [ telle que : sup | ( )| = ( ) et ( ) = 0. ] [. 2. Calculer ( ) en fonction de , ( ) et . En d duire lim sup | ( )|. + ] [. Allez : Correction exercice 28 : III Th or me de Rolle, th or me des accroissements finis. Exercice 29 : Soit la fonction : d finie par 3 2. si 1. ( ) = { 2. 1. si 1 < .. 6. Limites, continuit d rivabilit Pascal Lain . Montrer qu'il existe ]02[ tel que : (2) (0) = (2 0) ( ).}}}}}