Limites de suites et de fonctions - maths-france.fr

1 Limites de suites et de fonctionsLimites de suitesSoituune suite r elle. Soit un r el. La suiteua pour limite si et seulement si tout intervalle ouvert contenant contient tous les termesde la suite partir d un certain rang. La suiteua pour limite + si et seulement si tout intervalle de la forme]A,+ [avecAr el contient tous lestermes de la suite partir d un certain rang. La suiteua pour limite si et seulement si tout intervalle de la forme] , A[avecAr el contient tous lestermes de la suite partir d un certain la suiteua une limite r elle, on dit que la suiteuconverge.

2 Dans le cas contraire, on dit que la or me des ,vetwsont trois suites r elles telles que, pour tout entier natureln partir d uncertain rang,un6vn6wnet si les suitesuetwconvergent vers une limite r elle commune , alors la suitevconvergeet limn + vn= .Th or suite r elle croissante et major e converge. Toute suite r elle d croissante et minor e suite r elle croissante et non major e tend vers+ . Toute suite r elle d croissante et non minor e tend vers .Th or suites telles que, pour tout entier natureln partir d un certain rang, limn + un= + , alors limn + vn= +.

3 Si limn + vn= , alors limn + un= . suites suites r deux suites adjacentes si et seulement si l une des deuxcro t, l autre d cro t et leur diff rence tend or suites adjacentes convergent et ont m mes de fonctionsSoientfune fonction d finie sur un intervalle de la forme]A,+ [et un r el. On dit quef(x)tend vers quandxtend vers+ si et seulement si tout intervalle ouvert contenant contient toutesles valeursf(x)pourxassez grand. On dit quef(x)tend vers+ quandxtend vers+ si et seulement si tout intervalle de la forme]A,+ [avecAr el contient toutes les valeursf(x)pourxassez grand.

4 On dit quef(x)tend vers quandxtend vers+ si et seulement si tout intervalle de la forme] , A[avecAr el contient toutes les valeursf(x)pourxassez a des nonc s analogues et intuitifs pour toutes les autres or me des intervalle deRetaune borne deI(ar el ou infini).Sif,gethsont trois fonctions d finies surItelles que, pour tout r elxdeI,f(x)6g(x)6h(x)et si les fonctionsfethont vers une limite r elle commune ena, alors la fonctionga une limite r elle enaet limx ag(x) = .Th or intervalle deRetaune borne deI(ar el ou infini).

5 Soientfetgdeux fonctions d finies surItelles que, pour tout r elxdeI,f(x)6g(x).Si limx af(x) = + alors limx ag(x) = + . Si limx ag(x) = alors limx af(x) = .Droites parall les un axe de coordonn es asymptotes une un r el. Si limx af(x) = ,la droite d quationx=aest asymptote Cf. est un r el. Si limx f(x) = ,la droite d quationy= est asymptote Cfen .c Jean-Louis Rouget, 2012. Tous droits r serv