Transcription of Lois de probabilité discrètes - PROBLEMES ET …
1 Lois de probabilit discr tesI. Loi de probabilit associ e une variable al atoire discr teOn suppose que est un univers fini constitu denr sultats possibles. On suppose de plus qu chaque r sultat possible 1, .. , nest associ un nombre r elx1, .. ,xn. On d finit ainsi une variable al atoireX(une variable al atoire estdonc une fonction qui un r sultat iassocie un nombrexiou encore une fonction de dansR). La loi de probabilit de la variableXest la liste des probabilit sp(X=x1), .. ,p(X=xn). Elle peut tre repr sent e dans un (X=x1)p(X=x2)..p(X=xn)Propri t s. Pour chaquei,06p(X=xi)61etp(X=x1) +p(X=x2) +..+p(X=xn) = Esp rance, variance et cart-type d une variable al atoire discr teSoitXune variable al atoire prenantnvaleursx1,x2,..,xnavec les probabilit sp1,p2,.., esp rance math matiquedeXest :E(X) =p1x1+p2x2+..+ :V(X) =p1 (x1 E(X))2+p2 (x2 E(X))2+..+pn (xn E(X))2=E((X E(X))2).
2 R sultat admis :V(X) = (p1x21+p2x22+..+pnx2n) (E(X))2=E(X2) (E(X)) cart-typedeXest : (X) = V(X).III. Exemples de lois discr tes1) Loi quir partieLa loi est dite quir partie quand toutes les valeurs deXont la m me probabilit d ce cas :p(X=x1) =p(X=x2) =..=p(X=xn) =1n=1card 2) Loi binomiale (ou loi deBernoulli)Epreuve deBernoulliUne preuve deBernoulliest une preuve deux ventualit s (succ s et chec, pile etface, blanc et pas blanc, obtenirle1ou pas quand on jette un d ..) dont les probabilit s respectives sont not espet1 p(p tant un r el l ment de[0, 1]). Une telle preuve est appel e preuve deBernoullide param ma deBernoulliUne exp rience al atoire consistant r p ternfois (n tant un entier naturel non nul), de mani re ind pendante, unem me preuve deBernoullide param treps appelle unsch ma deBernoullide param binomialeA un sch ma deBernoullide param trenetp, on peut associer la variable al atoireX gale au nombre de succ s enntentatives.
3 Cette variable al atoire prend donc les valeurs0,1,2, .. ,n 1,n. La loi binomiale est la loi de probabilit associ e cette variable al atoire et sikest un entier l ment de{0, 1, .. , n}, on ap(X=k) =(nk)pk(1 p)n kEsp rance variance et cart-type de la loi binomialeL esp rance de la loi binomiale de param trenetpestE(X) =npet la variance de la loi binomiale de param trenetpestV(X) =np(1 p).c Jean-Louis Rouget, 2012. Tous droits r serv
