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MATEMÁTICAS BÁSICAS FRACCIONES ALGEBRAICAS

Facultad de Contadur a y Administraci n. UNAM FRACCIONES ALGEBRAICAS Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 1 MATEM TICAS B SICAS FRACCIONES ALGEBRAICAS OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Una expresi n algebraica racional es el cociente de dos polinomios : ()( )xQxP Las expresiones racionales tienen las mismas propiedades que los n meros racionales. Como no se puede dividir por cero, las sustituciones de variables que hacen que el denominador sea cero no son aceptables. Ejemplos. 1) En la expresi n racional xxx7532 +, x no puede ser 0 2) En la expresi n racional 2+xx, x no puede ser 2 3) En la expresi n racional yx 4, x no puede ser igual a y.

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Fracciones algebraicas Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 1 MATEMÁTICAS BÁSICAS FRACCIONES ALGEBRAICAS OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Una expresión algebraica racional es el cociente de dos polinomios: () Q()x Px

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  Fracciones, Polinomios, Algebraicas, Fracciones algebraicas

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1 Facultad de Contadur a y Administraci n. UNAM FRACCIONES ALGEBRAICAS Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 1 MATEM TICAS B SICAS FRACCIONES ALGEBRAICAS OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Una expresi n algebraica racional es el cociente de dos polinomios : ()( )xQxP Las expresiones racionales tienen las mismas propiedades que los n meros racionales. Como no se puede dividir por cero, las sustituciones de variables que hacen que el denominador sea cero no son aceptables. Ejemplos. 1) En la expresi n racional xxx7532 +, x no puede ser 0 2) En la expresi n racional 2+xx, x no puede ser 2 3) En la expresi n racional yx 4, x no puede ser igual a y.

2 Una expresi n racional est en su m nima expresi n cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes diferentes de 1 y 1 Ejemplos. 1) La fracci n xx56+ es su m nima expresi n ya que ni 5 ni x son factores de 6+x 2) La fracci n ()()227 xxx no es su m nima expresi n ya que 2 x es un factor com n del numerador y del denominador. SIMPLIFICACI N DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Para simplificar expresiones racionales, se procede de forma similar a cuando se simplifican n meros racionales, es decir, se factoriza el numerador y el denominador. Los factores se simplifican hasta 1.

3 La expresi n simplificada es igual a la no simplificada excepto para aquellos valores en los que el factor que se cancele sea igual a cero. Ejemplos. Simplificar las siguientes expresiones racionales: 1) xx484 Facultad de Contadur a y Administraci n. UNAM FRACCIONES ALGEBRAICAS Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 2 ()xxxxxx2424484 = = 2) 23122++ xxx ()()()()21211123122+ =++ +=++ xxxxxxxxx 3) 15625 xx ()()()315235215232515625 = = = xxxxxx 4) 4841412222++ xxxx ()()()()()()()12711471212476248414122222 2+ =++ +=++ =++ xxxxxxxxxxxxxx 5) ()()() ()yxyxyxyxyx126212322222+ + ()()() ()()()() ()()()()()6232622326431262123222222222yx yxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyx =+ +=+ =+ + 22yx = 6) xxx22 En esta expresi n racional x no puede ser 0, y como es el factor que se cancela entonces se cumple que.

4 ()2222 = = xxxxxxx porque 0 x. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Para sumar algebraicamente FRACCIONES se efect a el mismo procedimiento que se emplea cuando se suman n meros racionales. En general: Se reducen las FRACCIONES lo m s posible. Se descomponen los denominadores Se halla el m nimo com n m ltiplo (MCM) de los denominadores, obteniendo as el denominador com n. Para hallar el numerador resultante, se divide el MCM por el denominador y se multiplica el cociente obtenido por el numerador correspondiente, esto convierte al numerador en un polinomio que debe descomponerse en factores para finalmente simplificar.

5 Facultad de Contadur a y Administraci n. UNAM FRACCIONES ALGEBRAICAS Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 3 Ejemplos. Efectuar las operaciones ALGEBRAICAS siguientes: 1) 62342++ xx Soluci n. Se obtiene el MCM de los denominadores: 12: ()()12291246631223223 =++ =++ =xxxxx 122962342 =++ xxx 2) 30415212xyyxyx +++ Soluci n. Se obtiene el MCM de los denominadores: 60: ()()()6042245xyyxyx +++ reduciendo: 60560824855yxxyyxyx+= +++ 60530415212yxxyyxyx+= +++ 3) 91235322 + ++aaaaaa Soluci n. Se descompone el tercer denominador en sus factores: ()()33123532 ++ ++=aaaaaaa se obtiene el MCM de los denominadores: ()()33 +aa: ()()()()33125323 ++++ =aaaaaaa eliminando par ntesis: ()()()()33217331215562222 ++= ++++ =aaaaaaaaaaa factorizando: ()()()373337 = ++=aaaaaa 3791235322 = + ++ aaaaaaaa 4) 9639342222++++ + +xxxxxxx Soluci n.

6 Facultad de Contadur a y Administraci n. UNAM FRACCIONES ALGEBRAICAS Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 4 Se descomponen los denominadores en sus factores: ()()()()()233333222+++ + + ++=xxxxxxxx reduciendo: 313121++++ =xxx se obtiene el MCM de los denominadores: ()()32+ xx: ()()()()()32223+ + ++xxxxx eliminando par ntesis: ()()3213+ xxx ()()32139639342222+ =++++ + + xxxxxxxxxx 5) 231631075222++++ ++++aaaaaaaaa Soluci n. Se descomponen los denominadores en sus factores: ()()()()()()211233255+++++ ++++=aaaaaaaaa reduciendo: 212121+++++=aaa23+=a 23231631075222+=++++ ++++ aaaaaaaaaa 6) 11222 +xxxxx Soluci n.

7 Se descomponen los denominadores en sus factores: ()()()11112 + +=xxxxxx se obtiene el MCM de los denominadores: ()()11 +xxx: ()()()()11112 + =xxxxxxx eliminando los par ntesis y ordenando: ()()()()()()11211211233232 + += ++ = ++ =xxxxxxxxxxxxxxxxxxx factorizando el numerador y simplificando: ()()()()()()()1211121122++= + += + +=xxxxxxxxxxxxxx Facultad de Contadur a y Administraci n. UNAM FRACCIONES ALGEBRAICAS Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 5 1211222++= + xxxxxxx 7) yxyxyxyx662222 + + Soluci n. Se descomponen los denominadores en sus factores: ()()yxyxyxyx + =6222 se obtiene el MCM de los denominadores: ()yx 6: ()()()yxyxyx + =6322 factorizando el numerador y simplificando: ()()()()()()()636363yxyxyxyxyxyxyxyx++= ++ = ++ = 63662222yxyxyxyxyx++= + + MULTIPLICACI N DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Para multiplicar expresiones racionales se procede de forma similar que con los n meros racionales.

8 Ejemplos. Multiplicar las siguientes expresiones ALGEBRAICAS : 1) + 524410322xxxxxx Soluci n. Se descompone la fracci n en sus factores: ()()()()522225524410322 + = + xxxxxxxxxxxx simplificando: 22 +=xx 22524410322 += + xxxxxxxx 2) ()44612102222++ + yyyyyy Soluci n. Se descompone la fracci n en sus factores: ()()()()()()()()()44232324423652222+++ =+++ + =yyyyyyyyyyyy Facultad de Contadur a y Administraci n. UNAM FRACCIONES ALGEBRAICAS Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 6 factorizando el trinomio: ()()()()()()2223232+++ yyyyyy simplificando: ()()222+ =yy ()()()22244612102222+ =++ + yyyyyyyy 3) () + +++yxyxyxyxyx22612622222 Soluci n.

9 Tomando como factor com n al 6 en el numerador de la primera fracci n y al 2 en el denominador de la segunda: ()()() + +++=yxyxyxyxyx22622222 factorizando: ()()()()() + + ++=yxyxyxyxyx2622 simplificando: ()yx =3 ()()yxyxyxyxyxyx = + +++ 322612622222 4) ++ + ++ + 51495622225101038322222aaaaaaaaaa Soluci n. Tomando como factor com n al 8 en el numerador de la primera fracci n y al 2 en el denominador de la segunda: ()() ++ + ++ + =5149281122510103482222aaaaaaaaaa factorizando: ()()()()()()()()() + ++ + =572472552548aaaaaaaaaa simplificando: 428 = = 451495622225101038322222 = ++ + ++ + aaaaaaaaaa Facultad de Contadur a y Administraci n.

10 UNAM FRACCIONES ALGEBRAICAS Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 7 DIVISI N DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Para dividir expresiones racionales se procede de la misma forma que se efect a con los n meros racionales. Para dividir expresiones racionales, se multiplica la primera expresi n por el rec proco del divisor. Ejemplos. Dividir las siguientes expresiones ALGEBRAICAS : 1) 6531524xx Soluci n. Simplificando: ()()224246159053615xxxxx== 224665315xxx= 2) 12113322+ + +xxxxx Soluci n. Factorizando las FRACCIONES al m ximo: ()()()()()1111113 + ++xxxxxx simplificando: ()()()()()()()1131111113+ =+ + +=xxxxxxxx ()11312113322+ =+ + + xxxxxxx 3) 16415153020232+ + xxxxxx Soluci n.


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