Transcription of Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Series de Fourier
1 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciaMatem aticas Avanzadas para Ingenier a: Series de FourierDepartamento de Matem aticasMA3002 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciaIntroLas Series de trigonom etricas de Fourier , o simplemente seriesde Fourier fueron desarrolladas por el matem atico franc esJean-Baptiste Joseph Fourier (21 de marzo de 1768 en Auxerre -16 de mayo de 1830 en Par s).La idea que subyace en las Series de Fourier es ladescomposici on de una se nal peri odica en t erminos de se nalesperi odicas b asicas (senos y cosenos) cuyas frecuencias sonm ultiplos de la se nal idea de descomposici on es un proceso fundamental en elarea cient fica en general: la descomposici on permite el an alisisde las propiedades y la s ntesis de los objetos o fen aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciaSerie de FourierLa serie de Fourier de una funci on peri odicaf(x) de per odoT,tambi en conocida como se nal, definida en un intervalo delongitudTest a dada por.
2 F(x) =a02+ n=1(ancos (n 0x) +bnsen (n 0x))donde 0=2 Tla frecuencia fundamentala0=1T/2 Tf(x)dxan=1T/2 Tf(x) cos (n 0x)dxbn=1T/2 Tf(x) sen (n 0x)dxMatem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciaSumas parcialesPara la serie de Fourier de una funci onf(x) peri odica definidaen un intervalo de longitudTla k- esima suma parcial,representada porSk(x) est a dada por:Sk(x) =a02+k n=1(ancos (n 0x) +bnsen (n 0x))Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciaEjemplo 1 Expanda en una Serie de Fourier la funci on:f(x) ={0para <x<0 xpara0 x< OAqu 0=2 2 = aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciaa0=1 f(x)dx=1 ( 0 0dx+ 0( x)dx)=1 [ x x22] 0a0= 2an=1 f(x) cos( 0n x)dxrecuerde 0= 1=1 ( 0 0dx+ 0( x) cos(n x)dx)=1 n2[( sen(n x) cos(n x) n xsen(n x))] 0an=1 ( 1)n n2 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciaa0=1 f(x)dx=1 ( 0 0dx+ 0( x)dx)=1 [ x x22] 0a0= 2an=1 f(x) cos( 0n x)dxrecuerde 0= 1=1 ( 0 0dx+ 0( x) cos(n x)dx)=1 n2[( sen(n x) cos(n x) n xsen(n x))] 0an=1 ( 1)n n2 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a.}
3 Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciaa0=1 f(x)dx=1 ( 0 0dx+ 0( x)dx)=1 [ x x22] 0a0= 2an=1 f(x) cos( 0n x)dxrecuerde 0= 1=1 ( 0 0dx+ 0( x) cos(n x)dx)=1 n2[( sen(n x) cos(n x) n xsen(n x))] 0an=1 ( 1)n n2 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciaa0=1 f(x)dx=1 ( 0 0dx+ 0( x)dx)=1 [ x x22] 0a0= 2an=1 f(x) cos( 0n x)dxrecuerde 0= 1=1 ( 0 0dx+ 0( x) cos(n x)dx)=1 n2[( sen(n x) cos(n x) n xsen(n x))] 0an=1 ( 1)n n2 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciaa0=1 f(x)dx=1 ( 0 0dx+ 0( x)dx)=1 [ x x22] 0a0= 2an=1 f(x) cos( 0n x)dxrecuerde 0= 1=1 ( 0 0dx+ 0( x) cos(n x)dx)=1 n2[( sen(n x) cos(n x) n xsen(n x))] 0an=1 ( 1)n n2 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciaa0=1 f(x)dx=1 ( 0 0dx+ 0( x)dx)=1 [ x x22] 0a0= 2an=1 f(x) cos( 0n x)dxrecuerde 0= 1=1 ( 0 0dx+ 0( x) cos(n x)dx)=1 n2[( sen(n x) cos(n x) n xsen(n x))] 0an=1 ( 1)n n2 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI.
4 CnparafPotenciaa0=1 f(x)dx=1 ( 0 0dx+ 0( x)dx)=1 [ x x22] 0a0= 2an=1 f(x) cos( 0n x)dxrecuerde 0= 1=1 ( 0 0dx+ 0( x) cos(n x)dx)=1 n2[( sen(n x) cos(n x) n xsen(n x))] 0an=1 ( 1)n n2 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciabn=1 f(x) sen( 0n x)dxrecuerde 0= 1=1 ( 0 0dx+ 0( x) sen(n x)dx)=1 n2[( ncos(n x) sen(n x) +n xcos(n x))] 0bn=1nMatem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciabn=1 f(x) sen( 0n x)dxrecuerde 0= 1=1 ( 0 0dx+ 0( x) sen(n x)dx)=1 n2[( ncos(n x) sen(n x) +n xcos(n x))] 0bn=1nMatem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciabn=1 f(x) sen( 0n x)dxrecuerde 0= 1=1 ( 0 0dx+ 0( x) sen(n x)dx)=1 n2[( ncos(n x) sen(n x) +n xcos(n x))] 0bn=1nMatem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciabn=1 f(x) sen( 0n x)dxrecuerde 0= 1=1 ( 0 0dx+ 0( x) sen(n x)dx)=1 n2[( ncos(n x) sen(n x) +n xcos(n x))] 0bn=1nMatem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciaAlgunas sumas parciales.
5 S1= 4+2 cos(x) + sen(x)S2= 4+2 cos(x) + sen(x) +12sen(2x)S3= 4+2 cos(x) + sen(x) +12sen(2x)+29 cos(3x) +13sen(3x)S4= 4+2 cos(x) + sen(x) +12sen(2x)+29 cos(3x) +13sen(3x) +14sen(4x)S5= 4+2 cos(x) + sen(x) +12sen(2x)+29 cos(3x) +13sen(3x) +14sen(4x)+225 cos(5x) +15sen(5x),S6= 4+2 cos(x) + sen(x) +12sen(2x)+29 cos(3x) +13sen(3x) +14sen(4x)+225 cos(5x) +15sen(5x) +16sen(6x)Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciaEjemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la funci on:f(x) ={0para <x<0 xpara0 x< Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:a0= 2,an=1 ( 1)nn2 ,bn=1nLas aproximaciones af(x) mediante las sumas parcialesquedan de la siguiente manera: OMatem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciaEjemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la funci on:f(x) ={0para <x<0 xpara0 x< Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:a0= 2,an=1 ( 1)nn2 ,bn=1nLas aproximaciones af(x) mediante las sumas parcialesquedan de la siguiente manera: OS1 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciaEjemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la funci on:f(x) ={0para <x<0 xpara0 x< Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:a0= 2,an=1 ( 1)nn2 ,bn=1nLas aproximaciones af(x) mediante las sumas parcialesquedan de la siguiente manera.}}}
6 OS2 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciaEjemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la funci on:f(x) ={0para <x<0 xpara0 x< Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:a0= 2,an=1 ( 1)nn2 ,bn=1nLas aproximaciones af(x) mediante las sumas parcialesquedan de la siguiente manera: OS3 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciaEjemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la funci on:f(x) ={0para <x<0 xpara0 x< Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:a0= 2,an=1 ( 1)nn2 ,bn=1nLas aproximaciones af(x) mediante las sumas parcialesquedan de la siguiente manera: OS4 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciaEjemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la funci on:f(x) ={0para <x<0 xpara0 x< Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:a0= 2,an=1 ( 1)nn2 ,bn=1nLas aproximaciones af(x) mediante las sumas parcialesquedan de la siguiente manera: OS5 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciaEjemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la funci on.}}}
7 F(x) ={0para <x<0 xpara0 x< Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:a0= 2,an=1 ( 1)nn2 ,bn=1nLas aproximaciones af(x) mediante las sumas parcialesquedan de la siguiente manera: OS6 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciaEjemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la funci on:f(x) ={0para <x<0 xpara0 x< Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:a0= 2,an=1 ( 1)nn2 ,bn=1nLas aproximaciones af(x) mediante las sumas parcialesquedan de la siguiente manera: OS7 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciaEjemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la funci on:f(x) ={0para <x<0 xpara0 x< Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:a0= 2,an=1 ( 1)nn2 ,bn=1nLas aproximaciones af(x) mediante las sumas parcialesquedan de la siguiente manera: OS8 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciaEjemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la funci on:f(x) ={0para <x<0 xpara0 x< Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:a0= 2,an=1 ( 1)nn2 ,bn=1nLas aproximaciones af(x) mediante las sumas parcialesquedan de la siguiente manera: OS9 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI.}}}}
8 CnparafPotenciaEjemplo 1 Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la funci on:f(x) ={0para <x<0 xpara0 x< Los coeficientes de la serie de Fourier quedaron:a0= 2,an=1 ( 1)nn2 ,bn=1nLas aproximaciones af(x) mediante las sumas parcialesquedan de la siguiente manera: OS10 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciaEjemplo 2 Expanda en una Serie de Fourier la funci on:f(x) ={ 1 para <x<02para0 x< 2 1 OAqu 0=2 2 = aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciaa0=1 f(x)dx=1 ( 0 1dx+ 02dx)=1 ([ x]0 + [2x] 0)a0= 1an=1 f(x) cos( 0n x)dxrecuerde 0= 1=1 ( 0 1 cos(n x)dx+ 02 cos(n x)dx)=1 ([ sen(n x)n]0 +[2sen(n x)n] 0)an= 0 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI:cnparafPotenciaa0=1 f(x)dx=1 ( 0 1dx+ 02dx)=1 ([ x]0 + [2x] 0)a0= 1an=1 f(x) cos( 0n x)dxrecuerde 0= 1=1 ( 0 1 cos(n x)dx+ 02 cos(n x)dx)=1 ([ sen(n x)n]0 +[2sen(n x)n] 0)an= 0 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a: Series deFourierDepartamentodeMatem aticasIntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI :fTI:UsoHechos 1 CompactaHechos 2 ComplejasTI:cnTI.}}
9 CnparafPotenciaa0=1 f(x)dx=1 ( 0 1dx+ 02dx)=1 ([ x]0 + [2x] 0)a0= 1an=1 f(x) cos( 0n x)dxrecuerde 0= 1=1 ( 0 1 cos(n x)dx+ 02 cos(n x)dx)=1 ([ sen(n x)n]0 +[2sen(n x)n] 0)an= 0 Matem aticasAvanzadasparaIngenier a.
