Matemáticas II. 2º Bachillerato. Capítulo 7: Límites y ...

1 Autora: Leticia Gonz lez Pascual Revisor: lvaro Vald s Men ndez Matem ticas II. 2 Bachillerato. Cap tulo 7: L mites y continuidad 2 de Bachillerato de Ciencias. Matem ticas II. Cap tulo 7: L mites y continuidad Autora: Leticia Gonz lez Pascual Revisor: lvaro Vald s y Luis Carlos Vidal Ilustraciones Wikipedia, INTEF y de los autores L mites y continuidad219 ndice 1. IDEA INTUITIVA DE L MITE 2. DEFINICI N DE L MITE DEFINICI N MATEM TICA L MITES LATERALES 3. OPERACIONES CON L MITES 4. L MITES INFINITOS L MITES INFINITOS EN UN PUNTO FINITO L MITES FINITOS EN EL INFINITO L MITES INFINITOS EN EL INFINITO 5. C LCULO DE L MITES L MITES SENCILLOS L MITES EN LOS QUE SE ANULA EL DENOMINADOR L MITES EN EL INFINITO 6. INDETERMINACIONES INDETERMINACIONES DEL TIPO INDETERMINACIONES DEL TIPO INDETERMINACIONES DEL TIPO 00 INDETERMINACIONES DEL TIPO 0 INDETERMINACIONES DEL TIPO 1 7. CONTINUIDAD OPERACIONES CON FUNCIONES CONTINUAS CONTINUIDAD LATERAL CONTINUIDAD EN UN INTERVALO TIPOS DE DISCONTINUIDAD TEOREMAS DE LAS FUNCIONES CONTINUAS Resumen Ya conoces del curso pasado el l mite de sucesiones y el l mite de funciones, y algunas de sus muchas aplicaciones, en el estudio de la continuidad de una funci n, de las as ntotas en las gr ficas de funciones, en el concepto de Podr amos decir que el An lisis Matem tico se basa en este concepto de l mite.

2 Este curso lo volveremos a revisar aumentando el rigor de las definiciones y el nivel de los problemas. Dentro de este estudio nos fijaremos en el significado de tiende a infinito . Qu es infinito? Si reflexionas, te dar s cuenta que el infinito matem tico es bastante distinto de lo que ocurre en la realidad cotidiana. La idea de infinito siempre ha planteado muchas inc gnitas y ha costado mucho esfuerzo comprenderlo. Para nosotros, ahora es f cil. A adimos a la recta real dos nuevos entes, el y el + , de forma que se pueda afirmar que todo n mero real x, est entre < x < + . 2 de Bachillerato de Ciencias. Matem ticas II. Cap tulo 7: L mites y continuidad Autora: Leticia Gonz lez Pascual Revisor: lvaro Vald s y Luis Carlos Vidal Ilustraciones Wikipedia, INTEF y de los autores L mites y continuidad220 1. IDEA INTUITIVA DE L MITE Actividades de introducci n Vamos a estudiar el comportamiento de la funci n xxxf2)(2 para valores pr ximos a 4 x.

3 En la tabla siguiente observamos que, cuando damos a x valores pr ximos a 4 pero inferiores que 4, la funci n f (x) se aproxima o tiende a 8: x 3 . f (x) 3 . que cuando x tiende a 4 por la izquierda, f (x) tiende a 8, y escribimos: Si 8)(4 xfx En la tabla que figura a continuaci n observamos que, cuando damos a x valores pr ximos a 4 y superiores a 4, la funci n f (x) se aproxima o tiende a 8: x 5 f (x) 15 Decimos que cuando x tiende a 4 por la derecha, f (x) tiende a 8, y escribimos: Si 8)(4 xfx En este ejemplo los dos valores que obtenemos al acercarnos a x = 4 por la derecha y por la izquierda coinciden, y podemos decir que, cuando x tiende a 4, f (x) tiende a 8 y podemos escribir: Si 8)(4 xfx Estudiemos ahora el comportamiento de la funci n )()(xExxg en x = 1, donde E(x) es la funci n parte entera de x que devuelve el mayor entero menor o igual que x. La tabla siguiente nos muestra la tendencia por la izquierda: x 0.

4 G(x) 0 .. Decimos que cuando x tiende a 1 por la izquierda, g(x) tiende a 1 y escribimos: 1)(1 xgx La tabla siguiente nos muestra la tendencia por la derecha: x ..g(x) ..Decimos que cuando x tiende a 1 por la derecha, g(x) tiende a 0 y escribimos: 0)(1 xgx 2,1si11,0sixxxxxg Los valores no coinciden, y podemos decir que cuando x tiende a 1, g(x) no tiende a ning n valor. 2 de Bachillerato de Ciencias. Matem ticas II. Cap tulo 7: L mites y continuidad Autora: Leticia Gonz lez Pascual Revisor: lvaro Vald s y Luis Carlos Vidal Ilustraciones Wikipedia, INTEF y de los autores L mites y continuidad221 2. DEFINICI N DE L MITE En el apartado anterior han aparecido palabras o expresiones tales como tiende a o se aproxima a. Vamos a formalizar matem ticamente el significado de estas expresiones. Definici n matem tica de l mite Se define entorno de centro a y radio , y se representa por ,aE, al intervalo abierto aa,: axxaE;,R Se define entorno reducido de centro a y radio , y se representa por ,*aE, al entorno ,aE excepto el propio punto a: axxaE0;,*R Hemos visto que la funci n xxxf2)(2 tiende a 8 o tiene por l mite 8, cuando x tiende a 4.

5 La idea de tendencia o aproximaci n se traduce mediante los entornos como: Para cualquier ,8E, podemos encontrar un entorno ,4E, de modo que para cualquier x del entorno reducido ,4*E, se cumple que su imagen xf est en el entorno ,8E . Sin embargo, )()(xExxg no tiene l mite en x = 1 porque no es posible definir un entorno nico en el que a cualquier x del entorno reducido ,1*E, su imagen xf est en un entorno fijo, ya que podr amos definir ,1E o ,0E a izquierda y derecha, respectivamente. Podemos definir el l mite de una funci n en un punto de la siguiente forma: Una funci n xf tiene por l mite L cuando x tiende a 0x, y se representa como Lxfxx )(l m0 si para todo entorno ,LE existe un entorno ,0xE, de modo que para todo x perteneciente al entorno reducido ,0*xE se cumple que xf pertenece al entorno ,LE: ,)(,;),(,,)(l m000 LExfxExxELEL xfxxo tambi n: LxfxxLxfxx)(0si;0,0)(l m00 Una funci n xf que cumple esta definici n decimos que es convergente en 0x.

6 Observamos que para que una funci n tenga l mite en 0x o sea convergente, no es necesario que la funci n est definida en 0x, pues en la definici n se habla de un entorno reducido de 0x. Ejemplo a) Halla el l mite en el origen de la funci n xxxxxf22)(22 Observamos que la funci n no existe en el origen, pero s podemos hallar: 12222l m22l m22l m00220 xxxxxxxxxxxxx 2 de Bachillerato de Ciencias. Matem ticas II. Cap tulo 7: L mites y continuidad Autora: Leticia Gonz lez Pascual Revisor: lvaro Vald s y Luis Carlos Vidal Ilustraciones Wikipedia, INTEF y de los autores L mites y continuidad222 L mites laterales Ejemplos a) En el primer apartado hemos visto que la funci n xxxf2)(2 tiende a 8 cuando x tiende a 4 por la izquierda. Podemos escribir: 82l m24 xxx b) Asimismo, la funci n )()(xExxg tiende a 1 cuando x tiende a 1 por la izquierda. Podemos escribir: 1)(l m1 xExx La idea de tendencia por la izquierda queda recogida mediante los entornos laterales a la izquierda de 0x: ),(),(000xxxE Una funci n xf tiene por l mite L cuando x tiende a 0x por la izquierda, y se representa como Lxfxx )(l m0 si para todo entorno ,LE existe un entorno lateral a la izquierda de 0x, ),(),(000xxxE , de modo que para todo x perteneciente a este entorno lateral, se verifica que xf pertenece al entorno ,LE: ,)(,);,(,,)(l m000 LExfxExxELEL xfxx o tambi n LxfxxxLxfxx)(0si;0,0)(l m000 Ejemplos a) En el mismo ep grafe hemos visto que la funci n xxxf2)(2 tiende a 8 cuando x tiende a 4 por la derecha.

7 Podemos escribir: 8)2(l m24 xxx b) Asimismo, la funci n )()(xExxg tiende a 0 cuando x tiende a uno por la derecha. Podemos escribir: 0)(l m1 xExx La idea de tendencia por la derecha queda recogida mediante los entornos laterales a la derecha de 0x: ),(),(000 xxxE Una funci n xf tiene por l mite L cuando x tiende a 0x por la derecha, y se representa como Lxfxx )(l m0 si para todo entorno ,LE existe un entorno lateral a la derecha de 0x, ),(),(000 xxxE, de modo que para todo x perteneciente a este entorno lateral, se verifica que xf pertenece al entorno ,LE: ,)(,);,(,,)(l m000 LExfxExxELEL xfxx o tambi n LxfxxxLxfxx)(0si;0,0)(l m000 Es interesante notar que para que una funci n tenga l mites laterales en 0x no es necesario que la funci n est definida en ese punto. 2 de Bachillerato de Ciencias. Matem ticas II. Cap tulo 7: L mites y continuidad Autora: Leticia Gonz lez Pascual Revisor: lvaro Vald s y Luis Carlos Vidal Ilustraciones Wikipedia, INTEF y de los autores L mites y continuidad223 La condici n necesaria y suficiente para que una funci n xf tenga l mite en un punto 0x es que tenga l mite lateral por la izquierda y l mite lateral por la derecha, siendo ambos coincidentes.

8 LxfxfLxfxxxxxx )(l m)(l m)(l m000 Ejemplos a) Observamos que la funci n xxxf2)(2 tiene l mite lateral por la izquierda y l mite lateral por la derecha cuando x tiende a 4, siendo ambos iguales a 8, por lo que el l mite de la funci n, cuando x tiende a 4, existe y vale 8: 82l m24 xxx Sin embargo, la funci n )()(xExxg no tiene l mite cuando x tiende a 1, puesto que aunque existen los l mites laterales cuando x tiende a 1, no son coincidentes. )(l m0)(l m1)(l m111xExxExxExxxx Si una funci n tiene l mite en un punto, ste es nico. Ejemplo a) Dada la funci n 1si10si0si2)(222xxxxxxxxxxf Halla los l mites laterales en x = 1, en x = 0 y en x = 1. (1) Analizamos el punto x = 1: Los valores en torno a x = 1 no presentan problema alguno, se eval an con el primer trozo de la funci n, y es seguro que: 1)1(2)1(2l m2l m22121 xxxxxx Por tanto, existe el l mite en x = 1: 1l ml ml m111 xfxfxfxxx (2) Analizamos el origen utilizando en cada caso el trozo de funci n adecuado: 02l m20 xxx y 0l m20 xxx Por tanto, existe el l mite en el origen: 0l m0l ml m000 xfxfxfxxx aunque la funci n no existe en el origen.

9 (3) Analizamos el punto x = 1: 0l m21 xxx y 2l m21 xxx Por tanto, no existe el l mite en x = 1: 0l m2l m0l m011 xfxfxfxxx aunque la funci n s existe en el punto x = 1. 2 de Bachillerato de Ciencias. Matem ticas II. Cap tulo 7: L mites y continuidad Autora: Leticia Gonz lez Pascual Revisor: lvaro Vald s y Luis Carlos Vidal Ilustraciones Wikipedia, INTEF y de los autores L mites y continuidad224 3. OPERACIONES CON L MITES Si xf y xg son dos funciones convergentes en el punto 0x, cuyos l mites son: Lxfxx )(l m0 y Mxgxx )(l m0 Se tiene: MLxgxfxgfxxxxxx 000l ml ml m R kLkxfkxfkxxxx00l ml m MLxgxfxgfxxxxxx 000l ml ml m 0l msil ml ml m0000 xgMLxgxfxgfxxxxxxxx MxgxxxgxxLxfxfxx 000l ml ml m 0l my0l m si00 xgxfxxxx Estas expresiones son v lidas tambi n en el caso de l mites en el infinito, por tanto: xgxfxgfxxx l ml ml m R kxfkxfkxxl ml m xgxfxgfxxx l ml ml m 0l msil ml ml m xgxgxfxgfxxxx nxnxxfxf l ml m xgxxgxxxfxf l ml ml m 0l my0l m si xgxfxx En el c lculo de l mites, es necesario operar con expresiones donde aparece infinito.

10 Estas son algunas expresiones cuyos resultados son conocidos: SUMA Y RESTA PRODUCTO COCIENTE POTENCIA k k 0si0sikkk0 kk 10si01sikkk k k 0si0sikkk 000 10si1si0kkk 0si0si0kkk 0si00sikkk 0 Es importante entender que el lgebra del infinito es diferente a la de los n meros reales y mientras trabajamos con infinitos las cosas no suelen ser c mo parecen. 2 de Bachillerato de Ciencias. Matem ticas II. Cap tulo 7: L mites y continuidad Autora: Leticia Gonz lez Pascual Revisor: lvaro Vald s y Luis Carlos Vidal Ilustraciones Wikipedia, INTEF y de los autores L mites y continuidad225 4. L MITES INFINITOS L mites infinitos en un punto finito Observamos en la figura adjunta que, a medida que nos aproximamos a 0x por la izquierda, los valores correspondientes que toma la funci n son cada vez mayores. Afirmamos que cuando x tiende a 0x por la izquierda, xf tiende a + : xfoxxl m Una funci n xf tiene por l mite + cuando x tiende a 0x por la izquierda si para todo n mero real K existe un entorno lateral a la izquierda de 0x, ),(),(000xxxE , de modo que, para todo x que pertenece a este entorno, se verifica que xf es mayor que K.