Matematica 1

1 Matematica 1 Dipartimento di MatematicaITIS Don`a di PiaveVersione [2015-16]IndiceI ALGEBRA11 ALGEBRA Introduzione .. Insiemi numerici .. Operazioni e propriet`a. Terminologia .. Potenze ad esponente naturale ed intero .. Massimo comun divisore e minimo comune multiplo tra numeri naturali .. Espressioni aritmetiche .. Esercizi riepilogativi ..92 Introduzione .. Rappresentazioni .. per elencazione .. per propriet`a caratteristica .. grafica di Eulero-Venn .. Sottoinsiemi.

2 Operazioni .. simmetrica .. cartesiano .. Esercizi riepilogativi ..253 Introduzione .. Monomi .. Operazioni tra monomi ..294 Polinomi .. Operazioni .. Prodotti notevoli .. Divisione .. Divisione con la Regola di Ruffini .. Esercizi a tema .. Esercizi riepilogativi ..46[2015-16] - ITIS San Don`a di Scomposizioni .. Sintesi .. Massimo comun divisore e minimo comune multiplo di polinomi .. Esercizi a tema .. Esercizi riepilogativi.

3 626 FRAZIONI Frazioni algebriche .. Operazioni .. Esercizi riepilogativi ..747 Introduzione .. Risoluzione di equazioni in una incognita .. Equazioni di primo grado .. Particolari equazioni riconducibili a quelle di primo grado .. Problemi di primo grado .. Esercizi riepilogativi ..96II GEOMETRIA1008 La geometria Logica elementare .. Concetti primitivi e definizioni .. Postulati e teoremi .. 1039 I Postulati della Postulati di appartenenza.

4 Postulati dell ordine .. Postulato di partizione del piano .. Postulati di congruenza .. 11310 I criteri di congruenza per i Definizione e classificazione dei triangoli .. I criteri di congruenza dei triangoli .. 12711 Propriet`a fondamentali dei Prime propriet`a dei triangoli isosceli .. Il primo teorema dell angolo esterno .. Teoremi delle disuguaglianze triangolari .. 13912 Perpendicolarit` Definizioni e prime applicazioni .. Le simmetrie centrale e assiale.

5 Ulteriori propriet`a dei triangoli isosceli .. Costruzioni con riga e compasso .. Luoghi geometrici .. 155[2015-16] - ITIS San Don`a di Definizioni e Postulato delle parallele .. Criteri di parallelismo .. Teorema degli angoli interni di un triangolo .. 16614 Quadrilateri Il trapezio .. Il parallelogramma .. Il rombo .. Il rettangolo .. Il quadrato .. I teoremi dei punti medi .. 184 III Contributi191[2015-16] - ITIS San Don`a di IALGEBRA[2015-16] - ITIS San Don`a di 1 ALGEBRA IntroduzioneIn questo capitolo vengono richiamati e sintetizzati i principali argomenti di aritmetica affrontati allascuola media, prerequisiti indispensabili per affrontare il nuovo corso di Insiemi numericiDistinguiamo i seguenti insiemi numerici le cui notazioni e rappresentazioni saranno sviluppate nelcapitolo sugli dei numeri naturali.

6 N={0,1,2,3, }Insieme dei numeri interi:Z={0,1, 1,2, 2, }Insieme dei numeri razionali:Q={frazioni con denominatore diverso da zero}Osservazione. Ogni numero intero `e anche un razionale in quanto si pu`o pensare come una frazione con denomi-natore uno. Ogni numero razionale pu`o essere scritto in forma decimale eseguendo la divisione tra numeratoree denominatore. Viceversa, un numero decimale finito o illimitato periodico pu`o essere scritto sottoforma di frazione(frazione generatrice) utilizzando le regole studiate alla scuola media che vengonoproposte nei seguenti esempi:2,35 =235100=47200,012 =121000=32505,36 =536 599=53199=591113,28 =1328 13290=119690=598451,9 =19 19=189= 2 (!)

7 Operazioni e propriet`a. TerminologiaLe operazioni tra numeri e le relative propriet`a possono essere riassunte nella seguente tabella:[2015-16] - ITIS San Don`a di Operazioni e propriet`a. Terminologia3 OPERAZIONITERMINIRISULTATOPROPIETA PRINCIPALI addizioneaddendisommacommutativa,associa tivasottrazioneminuendodifferenzasottrae ndomoltiplicazionefattoriprodottocommuta tiva,associativadistributivalegge di annullamentodi un prodotto( )divisionedividendoquozientedistributiva divisore(*)Legge di annullamento di un prodotto: il prodotto di fattori `e nullo se e solo se `e nullo almeno unodi una divisione il divisore deve essere diverso da zero.

8 Se ci`o non accade l operazione `epriva di opportuno ricordare che, oltre alla divisione il cui quoziente `e un numero decimale, esiste anche ladivisione euclidea (la prima incontrata alle scuole elementari), cos` definita:Definizione la divisioneP:Dsignifica determinare due numeriQ(quoziente) edR(resto) tali cheP=D Q+RconR < DEsempio divisione 20 : 3 si ottieneQ= 6 edR= 2 infatti 20 = 3 6 + 2 con 2<3 Definizione numeri diversi da zero si diconoconcordise hanno lo stesso segno,discordisehanno segno numeri si diconooppostiquando la loro somma `e zeroEsempio opposti di 3,5,32, 17sono rispettivamente: 3, 5, 32,17 Definizione numeri si diconoreciproci(o inversi uno dell altro) se il loro prodotto `e reciproci di 1, 35,72, 15sono rispettivamente.

9 1, 53,27, esiste il reciproco dello zero in quanto nessun numero moltiplicato per esso d`a dicemodulo(o valore assoluto)di un numero, il numero stesso se esso `e nonnegativo, il suo opposto in caso con|x|il modulo dix, si ha:|x|=xsex 0 xsex <0[2015-16] - ITIS San Don`a di Potenze ad esponente naturale ed Potenze ad esponente naturale ed interoDefinizione razionale ednnumero naturale maggiore od uguale a 2, si definiscepotenzan-esima diail prodotto dinfattori uguali ada:an=a a a a nvoltee si assumea1=aasi chiama base della potenza, 23= 2 2 2 = 8 ( 35)2=( 35) ( 35)=925 05= 0 0 0 0 0 = 0 Propriet`a: an am=an+m an:am=an mcona6= 0 en > m (an)m=an m an bn= (ab)n an:bn= (a:b)nconb6= 0 Per convenzione si assumea0= 1 purch`ea6= 0; ci`o estende la seconda propriet`a al cason=minfattia0=an n=an:an= 1 Per convenzione si assume chea n=1anpurch`ea6= 0.

10 Ci`o, oltre che dare significato alle potenzecon esponente intero, `e compatibile con le propriet`a ed estende la seconda al cason < minfatti:a n=a0 n=a0:an= 1 :an=1anEsempio 2 3=123=18 ( 37) 2=1( 37)2=1949=499 ( 32) 3=( 23)3= 827 (613) 1=136 Osservazione. Dalla definizione di potenza e dalle convenzioni assunte si deduce che la potenza 00`e priva disignificato. La potenza di un numero diverso da zero con esponente pari `e sempre positiva, quella con esponentedispari mantiene il segno della base.[2015-16] - ITIS San Don`a di Massimo comun divisore e minimo comune multiplo tra numeri Massimo comun divisore e minimo comune multiplo tranumeri naturaliDefinizione numero naturale si diceprimose `e diverso da 1 ed `e divisibile solo per se stessoe per numero naturale si dicescomposto in fattori primise `e scritto come prodotto dipotenze di numeri numero 360 si pu`o scrivere, come prodotto di fattori, in pi`u modi.