MATEMATISKE MODELLER Den hydrostatiske ligning

1 MATEMATISKE MODELLERDen hydrostatiske ligningHydrostatisk ligning R af tilstandsligningenTilstandsligningen for luftarter, der viser sammenh ngen mellem enideal luftarts tryk p, rumfang V, antal mol n og temperaturen T,p V = n R Tkan omskrives til en form, der indeholder Boltzmanns konstant k ogmiddelmolekylmassen m af atmosf risk luft og luftens massefylde rk, at gaskonstantenR = k NAhvor NA er Avogadros tal, antal molekyler/mol. Gaskonstanten R harenhederne J/(mol @ K). Massefylden (densiteten) D = M/V , hvor M ermassen af et givet rumfang V luft. Betragt t mol masse M = NA@ m det tilsvarende rumfang af n = 1 mol er ud fratilstandsligningen V = R T/p. S bliver massefylden:Slutresultatet er vigtigt, idet det giver os mulighed for at ud-trykke luftens densitet D som funktion af lufttrykket p og denabsolutte temperatur T.

2 Velse 1 Inds t standardtrykket p0 ved havoverfladen og T = 273 K, Boltzmannskonstant k og luftens middelmolekylmassen m. Brug SI enheder foralle st rrelser, s resultatet bliver densiteten i kilo per kubik-meter. Hvad bliver luftens densitet D0 ved havoverfladen? Stemmerdit resultat med tabelv rdien (se Tabel I)?Atmosf rens skalah jdeBegrebet skalah jde HP er nyttigt, n r man arbejder med den atmo-sf riske fysik. Begrebet opst r, n r man t nker sig, at hele atmo-sf ren har samme densitet og befinder sig i et tyndt lag omkringjorden. I virkeligheden aftager atmosf rens densitet og tryk jo medh jden, og atmosf ren kan spores, omend ganske sparsomt, flerehundrede kilometer fra jordens 1: dp/dh = -D @ gATMOSF RISK FYSIK - VIGTIGE KONSTANTERSt rrelseV rdiSt rrelseV rdiBoltzmannskonstantk = 1,381 E-23 J/KMiddelmolekyl-massen for t r luftm = 4,8097 E-26 kgGaskonstantenR = 8,3142 J/(mol@K)Avogadros talNA = 6,022 E+23 Gaskonstanten fort r luftRA = 287,06 J/(kg@K)Molmassen af t rluftMA = 0,028964 kg/molDensiteten af t r luftved STPD0 = 1,29304 kg/m3 Antalst thed af t rluft ved STPN0 = 2,688 E+25 per m3 Volumen per mol t rluft ved STPV0 = 22,4 liter = 0,0224 m3 Troposf risk aero-sol skalah jdeHA = 1000 meterTrykket af t r luftved STPp0 = 101325 N/m2 = 101325 Pascal = 1013,25 hPaAtmosf risk luftsskalah jdeHP = 7982 meterTyngdeaccelerationg = 9,816 m/s2 Brydningsindeksetaf t r luft ved STPmR = 1,000292 Tabel I.

3 Her er nogle vigtige konstanter, som man f r brug for, n r man studereratmosf rens fysik. Bem rk, at STP betyder standard temperatur og tryk ogsvarer her til T = 273 K og p = 1 jden HP kan defineres s ledes, at antalst theden N0 ved hav-overfladen multipliceret med skalah jden svarer til antallet afluftmolekyler per arealenheden hele vejen fra jordens overflade tilatmosf ren forsvinder ude i rummet. Vi vil om lidt v re i stand tilat beregne skalah jden. Men f rst skal vi se p en ligning , derbeskriver atmosf rens tryk- og densitetsvariation som funktion afh jden h over hydrostatiske ligningFigur 1 viser en lufts jle med tv rsnitsareal A. L g m rke til detlille segment i h jden h med tykkelsen dh. Vibetegner trykket som funktion af h jden p(h),og standardtrykket ved overfladen p0.

4 Dens-iteten versus h jde er D(h), og jordenstyngdeacceleration betegnes g og antages atv re ca. konstant op til de h jder, derkommer p tale i denne sammenh anden lov fort ller os om st rrelsenaf kraften, der virker nedad p luftseg-mentet:Fned = masse @ g = D @ A @ dh @ gDen opadg ende kraft skyldes trykforskellendp mellem oversiden og undersiden af luft-segmentet:Fop = A @ (p verst - pnederst) = - A @ dpL g m rke til, at dp = p verst - pnederst er negativ, fordi trykket fal-der, n r h jden stiger. Derfor skal der bruges et minustegn forandp, s den opadg ende kraft bliver til en positiv st r luften er i ligev gt, vil den nedadrettede og den opadrettedekraft p luftsegmentet v re ens:Fned = Fop <=> D A dh g = - A dp <=> dp/dh = - D @ gSlutresultatet betegnes den hydrostatiske ligning , og ligningen er n af den atmosf riske fysiks grundl ggende lovm kombineresKombineres dp/dh = - D @ g med tilstandsligningen for atmosf ren,der blev fundet p side 1, f r man:Ligningen er en differentialligning for trykket p som funktion afh jden h.

5 Alle st rrelserne i br ken til h jre er konstanter, idetdenne model foruds tter, at temperaturen er konstant. Derfor erl sningen til denne ligning velse 2L g m rke til, at eksponentens t ller er beliggenhedsenergien EPOT = mgh for et luftmolekyle, og n vneren er 2/3 af luftmole-kylernes middelbev gelsesenergi (da EKIN = mv2 = 3/2 kT ). S tl sningen ind i differentialligningen, og bekr ft, at l sningener i orden. VINK: Der er tale om en sammensat funktion med h somden variable st rrelse. velse 3G r rede for at h jden h , hvor det atmosf riske tryk er halvt s stort som ved havoverfladen, er givet ved:Inds t konstanter fra Tabel I og vis, at h = 5535 rk, at dette resultat bygger p den isotermiske atmosf remodel,hvorimod temperaturen i troposf ren i virkeligheden falder ca.

6 Ngrad celcius for hver hundrede meter stigning. Resultatet kan sam-menlignes med US Standard Atmosphere (1962) citeret af Earl Mc-Cartney (Optics of the Atmosphere, Wiley & Sons, New York, 1976,side 83), hvor h er omtrent 5600 meter. Alts den isotermiske modelgiver her en god overensstemmelse med rk, at man umiddelbart kan finde en formel for massefylden D(h).Benyt ligningen fra side 1:Hermed ser vi, at s vel luftens densitet som lufttrykket aftagereksponentielt med h jden over af skalah jdenAfslutningsvis kan vi beregne atmosf rens skalah jde HP. Kravet er,at det samlede antal molekyler per arealenhed fra havets overfladehelt ud til rummet skal v re lig med N0 @ HP. Antalst theden N(h) erlig med densiteten D(h) delt med middelmassen m af et hj lp af integration kan man summere antallet op fra h = 0 til h= 4, og dette tal skal s ttes lig med N0 @ r gr nserne inds ttes reduceresovenst ende til velse 4 Inds t de fysiske st rrelser og vis, atskalah jden er lige lidt under 8 kilo-meter.

7 Resultatet er meget anvendeligt,n r man skal beregne ekstinktionen afsolens direkte indstr ling, n r denpasserer gennem atmosf ren. velse 5 Beregn antalst theden (molekyler/kubik-meter) ved havoverfladen under bliver antalst theden p toppen afMount Everest, hvor h jden h = 8850meter? Hvad er trykket i atmosf re?