Example: marketing

Mathematik leicht gemacht ... - weltderfertigung.de

Mathematik leicht gemacht Formelwerkzeuge im Praxisalltag sinnvoll anwendenFormeln umstellen ganzbesonders leicht erkl rtDas Vorzeichen im Auge behaltenWichtig ist, dass man sich immer vorAugen h lt, dass positive Vorzeichenbeim Schreiben der Formel wegge-lassen werden k nnen. Daher siehtman als beginnender Mathematikex-perte nicht sofort, wie man am bestendie Umwandlung einer Formel hand-haben soll. Deshalb soll man sich zu-mindest am Anfang angew hnen, diepositiven Vorzeichen manuell nach-zutragen:Obiges Beispiel zeigt den manuellenNachtrag eines Plus-Zeichens (roteFarbe). Wenn die positive f nf nachrechts wandert, wird aus Plus immerMinus. Das Plus-Zeichen vor dem X kann selbstverst ndlich wegge-lassen sollte sich angew hnen, stetszun chst die negativen Werte f r ein Hin berziehen auszuw hlen, umdiversen Problemen beim weiterenAufl sen der Formel schon im Vor-feld aus dem Weg zu gehen, wie dasn chste Beispiel ins Spiel gebrachtWie Variante 1 zeig

Mathematik leicht gemacht Formelwerkzeuge im Praxisalltag sinnvoll anwenden Formeln umstellen ganz besonders leicht erklärt Das Vorzeichen im Auge behalten Wichtig ist, dass man sich immer vor Augen hält, dass positive Vorzeichen

Tags:

  Magtech, Leicht, Leicht gemacht, Weltderfertigung

Information

Domain:

Source:

Link to this page:

Please notify us if you found a problem with this document:

Other abuse

Transcription of Mathematik leicht gemacht ... - weltderfertigung.de

1 Mathematik leicht gemacht Formelwerkzeuge im Praxisalltag sinnvoll anwendenFormeln umstellen ganzbesonders leicht erkl rtDas Vorzeichen im Auge behaltenWichtig ist, dass man sich immer vorAugen h lt, dass positive Vorzeichenbeim Schreiben der Formel wegge-lassen werden k nnen. Daher siehtman als beginnender Mathematikex-perte nicht sofort, wie man am bestendie Umwandlung einer Formel hand-haben soll. Deshalb soll man sich zu-mindest am Anfang angew hnen, diepositiven Vorzeichen manuell nach-zutragen:Obiges Beispiel zeigt den manuellenNachtrag eines Plus-Zeichens (roteFarbe). Wenn die positive f nf nachrechts wandert, wird aus Plus immerMinus. Das Plus-Zeichen vor dem X kann selbstverst ndlich wegge-lassen sollte sich angew hnen, stetszun chst die negativen Werte f r ein Hin berziehen auszuw hlen, umdiversen Problemen beim weiterenAufl sen der Formel schon im Vor-feld aus dem Weg zu gehen, wie dasn chste Beispiel ins Spiel gebrachtWie Variante 1 zeigt, ist das Ergebnisein negativer Wert, der sich dar berhinaus auf ein negatives X m ssen nun Gegenzahlen insSpiel kommen, um das korrekte Er-gebnis mit einem positiven X zuerhalten.

2 Gegenzahlen sind nichts an-deres, als gespiegelte Werte.. hnlicheinem Thermometer gibt es einen po-sitiven und einen negativen Bereich,auf dem die jeweilige Gegenzahl ei-nes Wertes diesem genau spiegelbild-lich gegen berliegt. Will man vermeiden, beim Formel-umstellen mit Gegenzahlen in Ber h-rung zu kommen, sollte stets ver-sucht werden, zun chst alle negati-ven Werte durch Ziehen auf die an-dere Seite in positive Werte umzu-formen. Dies zeigt Variante 2. Hiersteht am Ende der FormelumstellungGrundlagen des Formelumstellens verstehen und anwendenFormeln umzustellen ist bis zu einem gewissen Grad keine gro e wird es, wenn beispielsweise Klammern aufzul sen sind.

3 Doch auchdies kann nach einem Schema ge bt werden. Mit dieser Anleitung gehen k nf-tig viele Formelumstellaktion wie von selbst, solange die gesuchte Variablenicht mehrmals in der Formel rlich ist jedem in der Schule zuOhren gekommen, dass es beimFormelumstellen darum geht, dass aufder linken Seite vom Gleichheitszei-chen das gleiche Ergebnis herauszu-kommen hat, wie auf der rechten Sei-te. Vielfach wird in der Schule zumVerst ndnis dieses Sachverhalts eineLebensmittelwaage bem ht, die nurdann im Gleichgewicht ist, wenn bei-de Schalen das gleiche Gewicht be-herbergen. Dieser Vergleich ist gut gew hlt, dadadurch schon einmal grunds tzlichsymbolisiert wird, auf was es beimFormelumstellen ankommt: auf derlinken und rechten Seite der Formelmuss immer das gleiche Ergebnis he-rauskommen, dann wurde die Formelkorrekt umgestellt.

4 F r Berechnungenim Bereich der Grundrechenarten istes recht einfach nachzuvollziehen, wieFormeln umgestellt werden m man sich das Gleichheitszeichenals Umwandelzauberzeichen denkt,dann wird aus einem Plus-Zeichenbeim Hin berwechseln auf die andereSeite stets ein Minus-Zeichen und auseinem Minus-Zeichen eben ein geschieht analog mit den ande-ren Grundrechenarten: aus Mal wird geteilt durch und aus geteilt durch eben Mal .Wichtig: Werden lediglich beide Sei-ten gegeneinander ausgetauscht, sowerden die Vorzeichen nicht ver n-dert!1a Varianten beim Formelumstellen: Variante 1 f hrt ber Gegenzahlen zum richtigenErgebnis. 1b Variante 2 ist etwas l nger, daf r einfacher nachzuvollziehen.

5 1c Gegenzah-len verhalten sich wie Materie und Antimaterie. Die Zahlenwerte unterscheiden sich le-diglich im Vorzeichen und k nnen jederzeit gegeneinander getauscht positives X mit dem vor Strich-Regel beachtenAus einer Multiplikation wird beimhin berziehen eine Division. BeimFormelumstellen gilt brigens auchdas Punkt vor Strich-Gesetz, sodassniemals versucht werden sollte, zu-n chst etwa die positive f nf nachrechts zu ziehen. Analog muss im Fall einer Divisionvorgegangen werden. Nach dem Sei-tentausch wird daraus eine Multiplika-tion. Sollte nun das X-Zeichen rechtsstehen, so k nnen beide Seiten kom-plett getauscht werden, was den wei-teren Rechengang im RechengriffWurzeln sind das Gegenst ck zu Po-tenzen und umgekehrt.

6 Logisch, dasssich beide beim Seitentausch in dasjeweilige Gegenst ck der Potenzwert gr er ist als 2,dann wird bei Seitentausch eine ent-sprechend wertige Wurzel, um Formeln lassensich problemlos um-formen, wenn dieseRegeln Die Multiplikationist rasch erledigt,w hrend .. Division einenkleinen Umweg be-n Diese Regel mussstreng beachtet wer-den, um Klammernkorrekt aufzul "Formelwaage" im Gleichgewicht zuhalten. Beispielsweise wird aus der daher immer die 4. Wurzel. Ta-fel 2 zeigt, wie hier vorzugehen aufl senKlammern haben eine Gruppenfunkti-on. Sie fassen Rechenfunktionen zu-sammen und geben diesen eine neueGewichtung. Beispielsweise kann mitKlammern die Punkt-vor-Strich-Regelaufgehoben werden.

7 Im obigen Bei-spiel werden zun chst die beiden Wer-te von x und c addiert und der darausentstandene Wert mit a nun der Wert x unbekannt ist,die anderen Werte jedoch bekanntsind, dann muss die Formel lediglichnach x umgestellt bereits bekannt, muss zun chstdie Variable a auf die andere einer Multiplikation wird auf derGegenseite eine Division. Die Klam-Formel:a*(x+c)=bWichtigKlammern m ssen immer von innennach au en aufgel st Es ist beimUmstellen vonFormeln undbeim Aufl senvon Klammernextrem wichtig,die Vorzeichen-regeln zu be-achten, um zumkorrekten Er-gebnis zu kom-men.(a+b)*(c+d)=ac+ad+bc+bd(a+b)*(c- d)=ac-ad+bc-bd(a-b)*(c+d)=ac+ad-bc-bd(a- b)*(c-d)=ac-ad-bc+bdEntscheidend ist also immer das Vor-zeichen des Ergebnisses der Multipli-kation, wie sie in den Merkregelnzum Aufl sen von Klammern in Bild6 beschrieben Klammerausr cke durch einenWert dividiert werden m ssen, dannkann die Klammer aufgel st werden,indem jedes Glied der Klammer durchdiesen Wert dividiert : (a+b-c):n=xAufl sung: a:n+b:n-c:n=xWerden in der Klammer Multiplikati-onen vorgenommen, so wird das Er-gebnis jeweils mit dem Divisor divi-diert.

8 Dies auch dann, wenn in derKlammer Divisionen : (a*b+c*d-e:f):nAufl sung: a*b:n+c*d:n-e:f:n=xWerden ausdr cke in der Klammermultipliziert, so ergibt sich das glei-che Bild:Formel: (a:b+c:d-e*f)*n=xAufl sung: a:b*n+c:d*n-e*f*n=xWerden in Klammer gesetzte Wertepotenziert, so kann diese Klammerwie folgt aufgel st werden:Formel: (a+b)2=xergibt: (a+b)*(a+b)=xAufl sung: +aa+ab+ba+bb=xmer kann nun verschwinden, da dieVariablen x und c nun alleine stehenund deren Rechenvorrecht von keineranderen Variablen gest rt werdenkann. Zuletzt wird nun die Variable cauf die andere Seite gebracht. AusPlus wird ja bekanntlich Minus, wenneine positive Zahl oder eine Variablemit positivem Vorzeichen auf die Ge-genseite kommt.

9 Wenn nun die Vari-ablen mit Werte versehen werden,kann gepr ft werden, ob die Umstel-lung gelungen ist. Die berpr fungzeigt, dass die Formel korrekt umge-stellt wurde. Eine Kontrolle sollte im-mer vorgenommen werden, um jedenFolgefehler in umfangreichen mathe-matischen Aufgaben auszuschlie : Ein Bruchstrich bedeutetimmer, dass hier eine Division statt-findet. Daher sind Bruch und Divisi-onszeichen gleichwertig. Die Formelw ree also auch so korrekt:L sen von KlammerproblemenKlammern d rfen einfach aufgel stwerden, wenn ein Plus-Zeichen davorsteht. Steht ein Minus-Zeichen vor derKlammer, m ssen die Zeichen inner-halb der Klammer jeweils vor der Klammer:a+(b-c)=a+b-cMinus vor der Klammer:a-(b+c)=a-b-ca-(b-c)=a-b+cWerden Klammern gesetzt, gilt diespiegelbildliche Regel des vor der zu setzenden Klammer:a+b+c=a+(b+c)a+b-c=a+(b-c)Minus vor der zu setzenden Klammer:a-b+c=a-(b-c)a-b-c=a-(b+c)Steht vor der Klammer ein Multiplika-tor-Zeichen, so m ssen zum Aufl sender Klammer die in der Klammer ste-henden Glieder mit dem Multiplikatormalgenommen *(b+c)=a*b+a*cWichtig.

10 Um beim Aufl sen derKlammer durch eine Multiplikation daskorrekte Ergebnis zu erhalten, mussimmer das Vorzeichen vor der Zahloder der Variablen beachtet werden!+a*(b-c)=a*b-a*cErkl rung:+a*+b=+ab+a*-c=-acErgebnis:+ab-acPo sitive Vorzeichen werden nicht ge-schrieben, daher gilt folgende Ender-gebnis: ab-ac. Bild 6 zeigt die Zusam-menh nge, die unbedingt zu Klammern k nnen aufgel st wer-den, wenn die Klammerglieder in denbeiden Klammern miteinander multi-pliziert werden:Umwandlungsschritt 2x=b/a-cUmwandlungsschritt 3X=25/5-2X=3Pr fung:5*(3+2)=25 Hinweis: obiger Ausdruck wird in der Regelohne Mal-Zeichen geschrieben: ab+acZum besseren Verst ndnis wird hier jedoch da-rauf verzichtet, um den Lernerfolg nicht zu ge-f 1x+c=b/aHier werden die bereits bekannten Re-chenoperationen angewandt.