Matrice de passage et changement de base - univ-rennes1.fr

1 Annette Paugam, 12 mai 20051 Matrice de passage et changement de baseSoientKun corps etEunK-espace vectoriel de dimension finie. Pour travaillerdans cet espace vectoriel, on utilise souvent une base et les coordonn ees desvecteurs dans cette base. Mais dans tous les chapitres d alg`ebre lin eaire oubilin eaire, il y a des moments o`u l on souhaite changer de base et l on rencontrealors des difficult es : Comment se souvenir de ce qu il y a dans la Matrice de passage ? La Matrice de passage , oui, mais de quelle base `a quelle base ? Est-cePouP 1outPoutP 1qui intervient pour le probl`eme que l on etudie ?Autant de questions que chacun se pose un jour ou l autre surtout quand lecours sur le chapitre concern e est un peu loin dans la m emoire. Les matricesde passage peuvent aussi faire l objet de questions indiscr`etes `a l oral del agr egation.

2 Et, dans un cours de premier cycle, comment pr esenter cette no-tion aux etudiants pour essayer d eviter les erreurs ?Voici une liste de situations o`u interviennent les matrices de passage . Chacunede ces situations est expliqu ee et illustr ee par un exemple simple, mais signi-ficatif, dans ce peut naviguer dans ce document en l ouvrant avec acrobat reader ouadobe reader pour y trouver plus vite l information utile. Les principales dif-ficult es sont ecrites en rouge et soulign es, les choses `a retenir sont en changement de coordonn ees, rapport avec la dualit e ; (s) changement (s) de base pour une application lin eaire ;f:E Fouf:E changement de base pour une forme bilin eaire ; changement de base pour une forme quadratique ; changement de base pour une forme hermitienne ; diagonalisation des matrices sym etriques et application aux formesquadratiques ; r eduction simultan ee de deux formes quadratiques ; op erations el ementaires sur les colonnes ou les lignes d une Matrice ; recherche d une base adapt ee pour un sous-module d un module librede type fini sur un anneau principal (le plus souvent euclidien).

3 Pr esentation d un module de type fini sur un anneau principal (le plussouvent euclidien) et l application aux groupes ab eliens de type fini etaux invariants de Paugam, 12 mai 20052Ce qu il faut retenirSoitEun espace vectoriel muni d une base (ei) et soit (e i) une nouvellebase deE. Ces deux bases deEsont index ees par{1.. n}o`un=dim(E).Voici les deux choses qu il faut retenir lorsque l on souhaite proc eder `a unchangement de base de la base (ei) `a la base (e i) : L application lin eaire qui intervient dans un changement de base estl identit e,car on ne change rien aux vecteurs. On change seulement lescoordonn ees des vecteurs dans une base. La Matrice de passage contient en colonnes les coordonn ees des vecteursde la nouvelle base(e i)exprim ees dans l ancienne base(ei).A partir de ces deux donn ees on retrouve la d efinition de la Matrice de passagePdites de (ei) `a (e i).

4 C est la Matrice de Id dans les basesE(e i)Id PE(ei)Exemple : DansR2, muni de sa base canonique (e1, e2), on posee 1= 2e1+5e2ete 2=e1+7e2. La Matrice de passage de la base canonique `a la nouvelle base(e 1, e 2) estId(e 1)Id(e 2)e1e2(2 15 7)Le diagramme, avec l application Id, permet de tout reconstituer. Il est im-portant defaire ce diagramme et de bien voir la Matrice de passage commematrice de l identit ed`es que l on aborde un changement de egiez les manuels qui proposent des diagrammes ou des sch emas : [JPE],[RDO1], [Gob], par :La nouvelle base est celle de l espace de d epart(Ne pas chercher `a leretenir mais plut ot `a bien le comprendre).La raison de ce choix, c est que, dans les situations standards, on se donne bienles vecteurs de la nouvelle base par leur coordonn ees dans l ancienne conviendra dans tout ce texte que la nouvelle base sera not ee avec lesm emes lettres que l ancienne, mais affect ees d un.

5 De m eme les nouvellescoordonn ees seront not ees avec les m emes lettres que les anciennes affect eesd un .Retour au d ebutAnnette Paugam, 12 mai 20053 Voici une liste des sujets, apparaissant dans les le cons d agr egation, surlesquels on peut facilement vous poser des questions indiscr`etes concernantles changements de base et les matrices de passage `ebre lin eaire (Voir [JPE]) R eduction d un endomorphisme ; sous-espaces stables Endomorphismes diagonalisables, nilpotents Exponentielle de Matrice Polyn omes d endomorphismes Groupe lin eaire ; d ecomposition remarquable dansGL(E) D eterminant matrices semblables, matrices equivalentes (pensez aux op erations el ementaires) Op erations el ementaires sur les lignes ou les colonnes d une Matrice (voir [JPE] et , [Grif] ch2, [Art] ch1 2 et ch 12 2, [Ser] ch 8 2) `ebre bilin eaire et g eom etrie(voir [Aud], [RDO2], [LFA1], [LFA3], [Ser]) Formes quadratiques.

6 Quadriques ( M ethode de Gauss) Endomorphismes remarquables d un espace euclidien Endomorphismes remarquables d un espace hermitien Coniques (Voir [RDO2] et [LFA1] ch XIII ) Courbes et surfaces (r eduction des deux formes fondamentales)(Voir [LFA3] ch IX exemple ) Isom de type fini sur un anneau principal(voir [Art] le plus simple, [Gob] ch 8, [Ser] ch 6) Op erations el ementaires sur les lignes ou les colonnes d une Matrice matrices equivalentes (Voir [Art] ch 12 2 et exemple ) Sous-module d un module de type fini sur unanneau principal R eseaux (Voir [Art] , [Gob] ) Pr esentation d un module de type fini sur unanneau principal([Art] ) Groupe ab elien donn es par g en erateurs et relations Invariants de similitude ; sous-espaces mod elisation questions fr equentes d alg`ebre lin eaire mettant en diffi-cult e les candidats.

7 (voir rapport de jury 2004)Retour au d ebutAnnette Paugam, 12 mai 200541 changement de coordonn eesLe changement de coordonn ees correspond `a un changement de base et `al application identit e qui ne change rien aux vecteurs. Il change seulement lescoordonn ees des vecteurs en changeant la l effet sur les coordonn ees du changement de base, dit de (ei) `a(e i) , sch ematis e parE(e i)Id PE(ei).si V=n i=1xiei=n i=1x ie i, Id( V) = Vse traduit parP x n = ,c est-`a-dire x n =P 1 .On pourra aussi sch ematiser le changement de coordonn ees parE,(e i)X Id PE,(ei)Xd o`uPX = dit, la Matrice de passage donne(en ligne) les anciennes coordonn ees en fonction des , dans la pratique, c est l inverse que l on a : on pose un changement de variables en se donnant les nouvelles coordonn ees desvecteurs en fonction des anciennes et l on cherche le changement de un exemple concret de changement de variables dansR2:x 1=x1+ 2x2etx 2=x2On en d eduitx1=x 1 2x 2etx2=x 2D o`u les lignes de la matricePet la relation entre les coordonn ees.

8 P=(1 20 1)etX=(1 20 1)X Annette Paugam, 12 mai 20055On lit dans les colonnes dePles coordonn ees des nouveaux vecteurs debase dans l ancienne 1=e1ete 2= 2e1+e2 Retour au d ebutLadualit eet le changement de coordonn on le souhaite, un changement de coordonn ees peut aussi s exprimerdans le dualE muni des bases duales (e i) et (e i ). Le sch ema corres-pondant (seule chose `a savoir retrouver rapidement) devientE (ei )Id tPE (e i )Attention:Dans le passage au dual le sens de la fl`eche change et la Matrice est tranpos sch ema repr esente le changement de base dee i `aei et il a pour matricetP. Donc le changement de base deei `ae i a pour Matrice (tP) traduction pour l exemple pr ec edent dex 1=x1+ 2x2etx 2=x2sur les formes coordonn ees este 1 =e1 + 2e2 ete 2 =e2 .D o`ue1 =e 1 2e 2 ete2 =e 2 .Dans ce langage, ce sont les colonnes (Id(e1 ), Id(e2 ))de la matricetPquel on obtient :tP=(1 0 2 1).

9 Mais comme on l a vu plus haut, on peut tr`es bien ne pas parler de dualit edans un changement de coordonn au d ebut2 changement de base pour une application lin eaireLe plus simple pour bien comprendre est de consid erer le cas de deuxespaces distincts munis chacun de deux bases diff erentes : les bases (ei) et (e i)Annette Paugam, 12 mai 20056pourEet (fj) et (f j) pourF. Repr esentons sur un diagramme les applicationslin eaires et leur Matrice dans les bases indiqu ees :E,(ei)f MF,(fj)IEx P1P 12 yIFE,(e i)M fF,(f j)On voit sur ce diagramme queIFne correspond pas au changement de (fj)`a (f j) mais `a son inverse. C est donc l inverse de la Matrice de passage quiintervient `a cet ne pas faire d erreur sur le sens des fl`eches on peut pr ef erer un diagrammeen (e i)IEP1//E(ei)fM//F(fi)IFP 12//F(f i)Pour obtenir les relations entre les matrices il suffit d ecrire sans se tromperd ordre les relations entre applications lin f IE=fP 12MP1=M Lorsque qu on a compris ce qui se passe quand les deux espaces sont diff erents,c est facile de particulariser au casE=Fetf:E E.

10 Il suffit de retenirle sch ema et la formule qui en d ne pas se tromper entrePetP 1, on peut se redire la phrase :la Matrice de passage contient en colonne les coordonn ees des vecteurs de lanouvelle base exprim ees dans l ancienne base et c est la Matrice de l identit peut aussi mettre dans le sch ema des indices `a l application identit eIE,selon sa position dans le diagramme, pour distinguer plus facilement les deuxmatrices (e i)Id1P//E(ei)fM//E(ei)Id2P 1//E(e i)etId2 f Id1=fP 1MP=M On peut eventuellement retenir : P 12M P1ouP 1M P La Matrice de passage inverse se trouve toujours `a gauche il est prudent de savoir le au d ebutAnnette Paugam, 12 mai 200573 changement de base pour une forme bilin eaireSoitfune forme bilin eaire sur un espace vectorielEde (ei) est une base deE, on associe `afla matriceM= (f(ei, ej)i= , j= ).