Mecˆanica Quˆantica - hfleming.com

1 Mec anica Qu anticaObra coletivaSum ario1 Introdu c ao52 Pr e-requisitos e requisitos paralelos63 O princ pio da incerteza74 O conceito de estado95 O princ pio de superposi c ao106 Valor m edio .. Adi c ao e subtra c ao de operadores ..177 A energia e a equa c ao de Schr Exerc cios .. A derivada no tempo de um operador .. O comutador de pe q..238 Estados estacion arios249 Po co quadrado unidimensional infinito2610 Exemplos Po co quadrado unidimensional .. Conectando as solu c oes .. A equa c ao da continuidade .. A barreira de potencial .. Condi c oes de contorno ..43111 Algumas t ecnicas matem A fun c ao delta de Dirac .. Integral de Fourier ..4612 O espectro cont nuo4713 O oscilador harm Exerc cios.

2 5814 Operadores unit arios e Exemplos de operadores unit arios .. Exerc cios ..6215 Rota c oes e o momento angular6316 Autofun c oes do momento As autofun c oes da componente z do momento angular .. Autofun c oes simult aneas do momento angular total eda com-ponente z .. Constru c ao dos harm onicos esf ericos .. Exerc cios ..7417 Potenciais com simetria central7518 O atomo de Hidrog Determinando o comportamento assint otico .. As solu c oes da equa c ao radial .. Algumas propriedades do atomo de hidrog enio .. Exerc cios ..8619 A nota c ao de Dirac8720 O Elementos de matriz .. As matrizes de Pauli .. Intera c ao Eletromagn etica: Formalismo Hamiltoniano .. Ap endice: O teorema de Euler .. Acoplamento do spin com o campo magn etico.

3 10221 As desigualdades de A rela c ao de incerteza energia x tempo ..106222 Teoria das perturba c Perturba c ao de estados estacion arios .. Exemplo trivial: Oscilador Harm onico com perturba c ao Corre c oes de segunda ordem ..11423 Perturba c oes de um n vel Reobtendo as f ormulas gerais .. Quando o n vel e degenerado.. O efeito Zeeman an omalo .. Exerc cios .. Unidades e fatores de convers ao .. Exerc cio resolvido .. Exerc cio resolvido (Enrico Fermi, 1954) .. Prova simulada .. Solu c oes de alguns problemas .. Mais exerc cios resolvidos ..13324 Perturba c oes dependentes do tempo13425 Perturba c ao peri odica pr oxima `a resson ancia13826 For cas de van der Introdu c ao .. O trabalho de Debye.

4 A equa c ao de van der Waals .. Causa da Coes ao .. A teoria de London .. Refer encias .. Rela c ao com a energia do ponto zero .. Tratamento perturbativo das for cas de van der Waals .. Ap endice ..15327 Sistemas Exerc cios ..16128 Part culas id O princ pio de Pauli .. Adi c ao de momento s angulares ..163329 O caso quase-cl Regra de transi c ao .. Exemplo .. Exemplo: oscilador harm onico ..17230 O po co Sistemas de dois n veis17732 A mol ecula da am onia18133 A Mec anica Qu antica Introdu c ao .. A equa c ao de Schr odinger livre .. A equa c ao de Klein-Gordon .. A equa c ao de Dirac .. Interpreta c ao probabil stica .. Determina c ao das matrizes de Dirac .. Formula c ao covariante da equa c ao de Dirac.

5 Corrente de Probabilidade .. Solu c oes especiais: part cula em repouso .. Solu c oes de energia negativa .. Intera c ao com o campo eletromagn etico .. A anti-mat eria .. As solu c oes de onda plana .. A fun c ao de onda do buraco ..19234 Ap endice Matem atico Operadores e suas representa c oes matriciais .. Transforma c oes entre bases .. Matrizes equivalentes .. Autovalores de uma matriz .. Diagonaliza c ao de uma matriz .. Exemplo .. Exerc cios ..20335 Ap endice matem atico A equa c ao de Laplace .. O Oscilador Harm onico .. O Campo Uniforme .. Comportamento Assint otico .. Ap endice do ap endice: O M etodo do Ponto Sela .. Exemplo simples ..22036 Ap endice 3: Otica geom Equa c oes de Maxwell.

6 A equa c ao do eikonal .. Exemplos .. e constante .. Dois meios homog eneos .. Simetria esf erica .. Curvatura dos raios de luz .. Lentes esf ericas .. A primeira refra c ao .. segunda refra c ao .. equa c ao dos focos conjugados ..2381 Introdu c aoEstas notas destinam-se a auxiliar o estudo dos alunos que est ao assistindo omeu curso, um curso introdut orio de mec anica qu antica noquarto semestredo Curso de Ci encias Moleculares da Universidade de S ao Paulo. Est aoevoluindo para um livro, mas ainda n ao o s particular, n ao h a qualquer pretens ao de originalidade. Trata-se aquide conhecimento estabelecido e amplamente exposto por muitos autores. Emparticular, apoiamo-nos extensamente na refer encia principal, Landau, Lif-shitz, [3] partes do qual s ao aqui reproduzidas, mudando-se apenas a l alunos que assistem este curso tiveram um semestre de f sico-qu micaonde utilizaramm etodos de mec anica qu antica no estudo da espectroscopiaat omica e molecular, o que os coloca em uma situa c ao ins olita: fizeram osexerc cios antes de ter a teoria!

7 Por isso este curso tem a preocupa c ao de apre-sentar uma formula c ao conceitualmente acurada daquelaspartes da mec anicaqu antica que s ao mais usadas em f sico-qu mica. Isto explica porque, por ex-emplo, n ao tratamos de fen omenos de espalhamento e porque, por outro lado,tratamos de simetrias, momento angular e m etodos perturbativos em maiordetalhe do que se costuma fazer em cursos dados em um quarto , por exemplo, com os excelentes tratamentos de Wichmann[11]e Nussenzveig[12], que diferem notavelmente deste texto porque escolheramestrat egias diferentes: Wichmann realiza um soberbotourpela fenomenologiada f sica moderna, e n ao faz praticamente c alculos qu anticos; Nussenzveig,que ocupa menos de 1/3 do semestre com mec anica qu antica, seleciona umn ucleo muito mais restrito da mat eria, essencialmente sistemas de dois n veis,5e produz um extrato de alta qualidade dos princ pios da teoria.

8 Ambos quasen ao usam matem atica que n ao seja de dom nio p ublico. Ambos s ao forte-mente recomendados como leitura volume 3 das famosas Feynman Lectures[13] e um outro endido livro de Feynman e, ao contr ario do que se diz,um texto avan cado,requerendo ou um talento excepcional, para aproveit a-lo como primeiro texto,ou um consider avel grau de maturidade em f sica, para acompanhar os v oosdo mestre. Os alunos podem come car a l e-lo, diria eu, ap osuns dois mesesdeste curso. Ideal para uma leitura posterior ao pr oximo a este texto, mas muito mais extenso, com cercade 650p aginas, est a o livro de French e Taylor [14], cobrindo terreno fosse mais curto eu n ao precisaria produzir estas , a influ encia do livro onde eu estudei, Landau, Lifshitz[3], e dominante e deliberada.

9 Em minha opini ao trata-se do melhor texto ex-istente. Contudo, foi escrito para estudantes supostamente em n vel maisavan cado do que aqueles aos quais me dirijo. Talvez eu pudesse resumir o ob-jetivo deste curso assim: procura-se preparar os alunos para a leitura e uso domagn fico Landau . Principalmente nos primeiros cap tulos, segui fielmenteo grande texto russo, com as adapta c oes que se fizeram necess arias. Uma al-ternativa `a altura do Landau existe agora, em portugu es: o magn fico livrodo professor Toledo Piza[17].2 Pr e-requisitos e requisitos paralelosSolicita-se ao leitor que estude, antes de prosseguir na leitura destas notas, ocap tulo 1 do Volume III dasFeynman Lectures on Physics, que cont em umaexcelente descri c ao da experi encia da difra c ao por duas fendas, conhecidacomoexperi encia de Young, realizada com el etrons, em lugar da luz (queYoung usou).

10 Quando eu conseguir realizar isto t ao bem quanto Feynman,este pr e-requisito ser a substitu do por um cap tulo introdut orio adicional. Aprevis ao de tempo para que isto aconte ca e de, mais ou menos, da ordem daidade do requisitos paralelos, o mais importante e o estudo. A mec anicaq uantica e uma experi encia nova e estranha, mais estranha do que a teo-ria da relatividade, e requer h abitos de pensamento novos,que precisamser adquiridos aos poucos, ao longo do curso, para n ao dizerao longo davida1. Estudar s o perto da prova n ao basta, e quase in util. Jean Dieudonn e,grande matem atico franc es da escola Bourbaki, menciona,em seu grande1 The newer concepts of physics can be mastered only by long familiarity with theirproperties and uses (Dirac).