MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN

1 Universidad Nacional Aut noma de M xico Facultad de Estudios Superiores Cuautitl n MEDIDAS de TENDENCIA CENTRAL y MEDIDAS de Dispersi n Suponga que le pedimos a un grupo de estudiantes de la asignatura de estad stica que registren su peso en kilogramos. Con los datos del peso de los estudiantes obtenemos el histograma de los pesos para el grupo de estudiantes y un histograma para el peso de las mujeres y uno para el de los hombres. Qu nos revelan los histogramas? Un histograma es una gr fica muy utilizada en estad stica. Se utiliza para datos cuantitativos y nos muestra la acumulaci n o TENDENCIA de los datos, su variabilidad y la forma de la distribuci n. Entonces a partir de los histogramas elaborados, observamos que: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSI N Universidad Nacional Aut noma de M xico Facultad de Estudios Superiores Cuautitl n MEDIDAS de TENDENCIA CENTRAL y MEDIDAS de Dispersi n La acumulaci n o TENDENCIA del peso de los hombres se encuentra entre los 70 y 74 kg, mientras que la TENDENCIA del peso de las mujeres es menor y se encuentra entre los 50 a 58 Kg.

2 La variabilidad de todo el grupo est en un rango comprendido entre los 42 y los 90 kg. S se estudia nicamente el peso de los hombres se observa que se reduce la variabilidad y los pesos se encuentran ahora entre 54 y 90 kg. Para el grupo de las mujeres la variabilidad se reduce a n m s y sus pesos se encuentran entre 42 y 70 Kg. La variabilidad de todo el grupo es l gico que sea la mayor debido a que el grupo es muy heterog neo ya que incluye los pesos de los hombres y de las mujeres. El que el grupo de las mujeres tenga menor variabilidad que el de los hombres nos indica que el grupo de las mujeres en cuanto a peso es m s homog neo que el grupo de los hombres. Con los histogramas tenemos una medida burda de la TENDENCIA y de la variabilidad Se puede medir de una forma m s precisa la acumulaci n o TENDENCIA y la variabilidad?

3 La respuesta es afirmativa. Las MEDIDAS de TENDENCIA o acumulaci n se conocen como MEDIDAS de TENDENCIA CENTRAL o de localizaci n y las de variabilidad como MEDIDAS de dispersi n o de variabilidad. Universidad Nacional Aut noma de M xico Facultad de Estudios Superiores Cuautitl n MEDIDAS de TENDENCIA CENTRAL y MEDIDAS de Dispersi n Cu les son las MEDIDAS de TENDENCIA CENTRAL ? Las MEDIDAS de TENDENCIA CENTRAL m s utilizadas, son la media aritm tica, la mediana y la moda. Qu es la media aritm tica? La media aritm tica es la medida de TENDENCIA CENTRAL m s utilizada y es igual a lo que conocemos como promedio. Entonces la media es la suma de los valores de todas las observaciones, dividida entre el n mero de observaciones realizadas. Sea n el tama o de una muestra que contiene a las observaciones x1, x2, x3, .. , xn, entonces la media aritm tica, x es: En donde el sub ndice i, indica un n mero de conteo para identificar cada observaci n.

4 La media de los n meros x1 = 13, x2 = 15, x3 = 9, x4 = 6, x5 = 4, x6 = 12, x7 = 11 es: 1niixxn== 13 15 9 6 4 12 11107x+ ++++ +== Universidad Nacional Aut noma de M xico Facultad de Estudios Superiores Cuautitl n MEDIDAS de TENDENCIA CENTRAL y MEDIDAS de Dispersi n Por qu la media aritm tica es una medida de TENDENCIA CENTRAL ? Una media 10, no significa que todos los datos sean igual a 10, es m s para nuestros datos ninguno es igual a 10. Hay valores mayores y menores de 10. Veamos la gr fica de puntos siguiente, donde en una escala apropiada en el eje de las X, se representa cada dato mediante un punto. Si obtenemos las distancias de cada punto con respecto a 10, observamos que la suma de las distancias de los puntos a la derecha de 10, es igual a la suma de las distancias de los puntos a la izquierda de 10.

5 Entonces, en 10 se equilibra la distribuci n de los datos, es decir es el punto de equilibrio o centro de gravedad de la distribuci n de los datos. Se puede calcular la media aritm tica a partir de los datos agrupados en una tabla de frecuencias? No hay equilibrio El equilibrio se encuentra en 10. La suma de las distancias de los puntos a la derecha del punto de equilibrio es igual a la suma de las distancias de los puntos a la izquierda del punto de equilibrio |4 10| + |6 10| + |9 10| = |11 10| + |12 10| + |13 10| + |15 10| Universidad Nacional Aut noma de M xico Facultad de Estudios Superiores Cuautitl n MEDIDAS de TENDENCIA CENTRAL y MEDIDAS de Dispersi n La respuesta es afirmativa. Si lo nico que tenemos es un resumen de los datos, en forma de tabla de frecuencias y no contamos con la informaci n original, s es posible calcular la media aritm tica.

6 Suponga que la informaci n que tenemos es la siguiente Tabla que muestra el tiempo que tardaron 50 clientes en una caja bancaria y deseamos conocer cu l es el tiempo promedio que tardaron. Sabemos, por ejemplo, que en la primera clase 2 clientes tardaron en la caja entre 141 y casi 157 segundos. No sabemos con exactitud cu nto tard cada uno de ellos, s lo sabemos que tardaron un tiempo comprendido entre stos dos l mites. Para efectuar el c lculo de la media aritm tica, supondremos que un valor representativo de la clase es su marca de clase punto medio, xi Con el fin de evitar c lculos aritm ticos tediosos, no hace muchos a os cuando se ten an numerosos datos, los datos originales se resum an en una tabla de frecuencias, y despu s se calculaban sus MEDIDAS de TENDENCIA CENTRAL y de variabilidad.

7 Hoy en d a con el uso de software adecuado se pueden procesar f cilmente los datos originales, y ya no se justifica por ste motivo construir la tabla de frecuencias. Sin Tiempo invertido en atender al cliente No de clientes 141 157 2 157 173 13 173 189 17 189 205 14 205 221 3 221 - 237 1 - Indica a menos de: Universidad Nacional Aut noma de M xico Facultad de Estudios Superiores Cuautitl n MEDIDAS de TENDENCIA CENTRAL y MEDIDAS de Dispersi n Entonces tenemos: Es decir, suponemos que tenemos 2 clientes que tardaron 149 segundos en la caja, 13 que tardaron 165, 17 que tardaron 181 segundos, etc. Entonces la suma de todos los datos ser a igual a sumar 2 veces 149 m s 13 veces 165 m s 17 veces 181 m s 14 veces 197 m s 3 veces 213 m s 1 vez 229.

8 Es un c lculo exacto? No, s lo es un valor aproximado. Tiempo invertido en atender al cliente No de clientes Marca de clase 141 157 2 149 157 173 13 165 173 189 17 181 189 205 14 197 205 221 3 213 221 - 237 1 229 - Indica a menos de: 149 + 149 + 165 + 165 + 165 + 165 + 165 + 165 + 165 + 165 + 165 + 165 + 165 + 165 + 165 +149 x2165 x13181 + 181 + 181 + 181 + 181 + 181 + 181 + 181 + 181 + 181 + 181 + 181 + 181 + 181 + 181 + 181 + 181 +181 x17197 + 197 + 197 + 197 + 197 + 197 + 197 + 197 + 197 + 197 + 197 + 197 + 197 + 197 + 213 + 213 + 213 + 229197 x14213 x3229 x1 Universidad Nacional Aut noma de M xico Facultad de Estudios Superiores Cuautitl n MEDIDAS de TENDENCIA CENTRAL y MEDIDAS de Dispersi n La suma total es igual a: Observe que la suma total es la suma de los productos marca de clase por frecuencia para cada clase. La media ser igual a la suma obtenida dividida entre el n mero de datos.

9 Observe que se sumaron 50 datos, y que 50 es la suma de la columna de frecuencias, entonces: El c lculo anterior lo podemos sistematizar obteniendo una columna adicional en la Tabla de distribuci n de frecuencias. La columna expresar los productos para cada clase. Tiempo invertido en atender al cliente No. de clientes Marca de clase 141 157 2 149 298 157 173 13 165 2145 173 189 18 181 3077 189 205 14 197 2758 205 221 3 213 639 221 - 237 1 229 229 Totales 50 9146 - Indica a menos de: Universidad Nacional Aut noma de M xico Facultad de Estudios Superiores Cuautitl n MEDIDAS de TENDENCIA CENTRAL y MEDIDAS de Dispersi n La suma de esta columna, 9146, entre el n mero de datos, nos da el valor de la media. A partir de los c lculos realizados podemos escribir la expresi n para la media calculada a partir de los datos agrupados en la Tabla de distribuci n de frecuencias.

10 Qu es la mediana? La mediana es el valor CENTRAL que se localiza en una serie ordenada de datos. Para obtener la mediana de los n meros x1 = 13, x2 = 15, x3 = 9, x4 = 6, x5 = 4, x6 = 12, x7 = 11, primero tenemos que ordenarlos: Entonces la mediana es 11. Si el n mero de datos fuera par, tendr amos dos valores centrales y la mediana ser a la media de estos dos valores. Por ejemplo: 4 6 9 11 12 13 153 datos a la izquierda3 datos a la derecha 4 6 9 11 12 13 15 15 3 datos a la izquierda3 datos a la derecha Universidad Nacional Aut noma de M xico Facultad de Estudios Superiores Cuautitl n MEDIDAS de TENDENCIA CENTRAL y MEDIDAS de Dispersi n Tenemos dos valores centrales, 11 y 12, entonces la mediana es: Qu representa la mediana? Observe que la mediana divide la serie de datos en dos mitades y cada mitad tiene el mismo n mero de datos que la otra.