Methoden und Techniken des Problemlösenlernens

1 1 Methoden und Techniken des Probleml senlernens Regina Bruder Januar 2003 2 Prof. Dr. Regina Bruder TU Darmstadt, FB Mathematik AG Fachdidaktik der Mathematik Januar 2003 Methoden und Techniken des Probleml senlernens Gliederung 1. Probleml sen erlernen im Mathematikunterricht ein Ziel f r alle? 2. Welche Ziele werden mit Probleml senlernen im Mathematikunterricht verfolgt? Heureka-Effekte erleben Realistische Ziele f r Probleml senlernen im Mathematikunterricht Mit der Mathematikbrille Fragen stellen zentraler Bestandteil beim Probleml senlernen 3. Einige Bedingungen und Voraussetzungen f r nachhaltiges Probleml senlernen.

2 Zielklarheit Probleml sen wollen, d rfen und k nnen! 4. Heuristische Hilfsmittel, Prinzipien und Strategien Das Wirkprinzip heuristischer Bildung Heuristische Hilfsmittel Die informative Figur Tabellen Heuristische Prinzipien Das Invarianzprinzip Das Symmetrieprinzip Das Extremalprinzip Das Transformationsprinzip 5. Zur Gestaltung eines Mathematikunterrichts mit integriertem Probleml senlernen Ein Phasenmodell heuristischer Bildung Wo haben Problemaufgaben und Probleml senlernen ihren Platz in einer Unterrichtseinheit? 3 Methoden und Techniken des Probleml senlernens 1. Probleml sen erlernen im Mathematikunterricht ein Ziel f r alle? Wenn man die Frage anders stellt und nach den Gr nden fragt, die einen Mathematikunterricht als allgemeinbildend qualifizieren und damit auch f r alle legitimieren, dann wird Probleml sen zu einem Eckpfeiler in der Argumentation.

3 Folgende drei Grunderfahrungen beschreiben nach Winter(1995) den allgemeinbildenden Anspruch des Mathematikunterrichts: - Erscheinungen der Welt um uns .. in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen; - mathematische Gegenst nde .. als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art kennen zu lernen und zu begreifen; - in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Probleml sef higkeiten (heuristische F higkeiten, die ber die Mathematik hinausgehen) zu erwerben. Winter beschreibt mathematisches Probleml sen auch als Sammeln von Erfahrungen zum eigenen Denken. Die aus PISA-2000 hinreichend bekannte Apfelbaumaufgabe kann dieses Anliegen illustrieren. Dabei geht es um Apfelb ume, die jeweils im quadratischen Muster gepflanzt werden und von Nadelb umen als Windschutz ums umt werden sollen. Thematisiert werden mehrere funktionale Abh ngigkeiten: Zwischen Musternummer und Apfelbaumanzahl (eine Quadratzahl), zwischen Musternummer und Nadelbaumzahl (lineare Abh ngigkeit) und zwischen dem Ma des Quadratrasters (Apfelb ume) und der Anzahl der umschlie enden Nadelb ume.

4 Um die jeweiligen Bildungsvorschriften und Zusammenh nge zu verstehen, m ssen Informationen strukturiert, neu geordnet werden. Es geht aber auch um das Erfassen funktionaler Abh ngigkeiten zwischen dem Inneren und dem u eren . Solche Beziehungen zwischen Inhalt und Rand bzw. F lle und H lle , wie Winter(2003) das beschreibt, f hren einerseits auf tiefliegende mathematische Probleme wie das isoperimetrische Problem (Kreis als gr te Fl che bei gegebenem Umfang, in dreidimensionaler Analogie dazu ist es die Kugel) und andererseits auf die beachtliche praktische Bedeutung der L sung dieser Probleme. Erst mit Hilfe einer mathematischen Durchdringung gelingt ein vertieftes Verst ndnis von Alltagsbeobachtungen, dieser: Ein Elefant, der von seiner K rperform einer Kugel doch viel n her kommt als beispielsweise die meisten Menschen, ben tigt seine riesengro en Ohren, um seine K rperoberfl che zu erh hen, da ber die Haut die gesamte und lebenswichtige W rmeregulierung erfolgt.

5 Die Apfelbaumaufgabe ist allerdings berhaupt nicht praxisnah formuliert, kein G rtner w rde auf solche Ideen kommen. Dennoch steckt in ihr ein gro es Potential, Denkerfahrungen zu sammeln im Sinne von zentralen Fragestellungen und deren Alltagstransfer und im Kennenlernen bzw. Verwenden typischer 4 mathematischer Arbeitsweisen, die erst diese alltagsrelevanten Einsichten erm glichen. Und in diesem Sinne ist Probleml sen sowohl im innermathematischen wie auch im au ermathematischen Kontext - ein wertvolles allgemeinbildendes Lernziel f r alle Sch lerinnen und Sch ler. Mit Bezug auf Polya1(1965) wird dem Mathematikunterricht oft die Funktion zugesprochen, Heurismen des Probleml sens zu entwickeln. Damit wird die Hoffnung und Erwartung verbunden, dass generalisierbare Kompetenzen aufgebaut werden, die auch ber die Schule hinaus als Basis f r lebenslanges Lernen dienen k nnen.

6 In unserem Apfelbaumbeispiel w rden solche heuristischen Hilfsmittel wie das Aufstellen einer Zuordnungstabelle und das Umgehen mit Variablen (Aufstellen von Termen) beim Verstehen und L sen der Aufgabe helfen k nnen. Insbesondere f r leistungsschw chere Lernende sind solche Hilfsmittel besonders wertvoll, weil sie in ungewohnten Lernsituationen zwar keine L sungsgarantie aber doch eine Orientierung erm So weit die Ergebnisse der OECD-Studien TIMSS und PISA bisher entsprechende Aussagen berhaupt zulassen, scheinen wir von solchen generalisierbaren Kompetenzen unserer Sch lerinnen und Sch ler doch noch weit entfernt zu sein. Schwierigkeiten bereiten insbesondere komplexere Aufgaben, die konzeptuelles Verst ndnis voraussetzen oder bzw. und eine flexible Anwendung des Wissens verlangen, vgl. Baumert (1997).

7 Entsprechende Lernanforderungen werden im englischsprachigen Raum unter problem solving eingestuft. Das ist mit einem Blick auf mathematische Wettbewerbsaufgaben (K nguruh-Wettbewerb, Mathematikolympiade, Bundeswettbewerb) eventuell gew hnungsbed rftig. Allerdings kann damit vielleicht eine Entmystifizierung des Probleml sens gelingen, die gerade bei der in der PISA-Studie nachgewiesenen erschreckenden Chancenungleichheit (Baumert 2001) den Weg frei macht, allen Lernenden anspruchsvolle, aber letztlich auch bew ltigbare Lernanforderungen zu stellen, also im Sinne von Winter Erfahrungen zum eigenen Denken zu erm glichen. Zun chst w re also konkretisierend zu fragen, welche Ziele unter dem Label Probleml senlernen (realistischerweise) in einem Mathematikunterricht f r alle verfolgt werden k nnen und sollten ( ) und welche u eren Bedingungen daf r hilfreich sind ( ).

8 Im wird erl utert, welche spezifischen Aufgabenl seerfahrungen und Kenntnisse ber heuristische Strategien und Hilfsmittel erforderlich sind und wie sie gewonnen bzw. angeeignet werden k nnen. Dar ber hinaus geht es schlie lich um ein langfristig angelegtes Gestaltungskonzept f r den Mathematikunterricht, in dem verschiedene Methoden und Techniken des Probleml senlernens ihren spezifischen Platz erhalten, vgl. 1 George Polya war ein ungarisch-amerikanischer Mathematiker. Er lebte vom 1887 - 1985. Er war Professor an der ETH Z rich und forschte in verschiedenen Bereichen der Mathematik, insbesondere aber im Bereich des mathematischen Probleml sens. 2 In einer Untersuchung mit ber 300 Sch lerinnen und Sch lern konnte gezeigt werden, dass das Erlernen heuristischer Elemente zu verbesserten Testergebnissen in Mathematik f hrt und insbesondere die hohe Zahl derjenigen Lernenden, die bei schwierigeren Aufgaben v llig verweigern, fast halbiert werden konnte, vgl.

9 Auch Beispiele und Ergebnisse in Bruder/Perels/G rtler/Schmitz(2002) sowie die Beschreibung der gesamten Untersuchung in G rtler/Perels/Schmitz/Bruder (2002). 5 2. Welche Ziele werden mit Probleml senlernen im Mathematikunterricht verfolgt? Heureka-Effekte erleben Es ist ein sch ner Moment, wenn man sagen kann: Ich hab s geschafft! Eine knifflige Aufgabe, ein Problem im Alltag, das uns vielleicht schon l nger besch ftigt oder auch ein R tsel ist gel st. Man lehnt sich zur ck und ist erst mal rundum mit sich und der Welt zufrieden. Von Archimedes ist in diesem Zusammenhang der Ausspruch: Heureka-ich habs!3 berliefert. Ein solches Erlebnis die individuelle Probleml sung muss dabei nicht gleich zum Nobelpreis f hren oder wie in Archimedes Beispiel den Goldschmied den Kopf kosten hat noch einen besonderen Nebeneffekt: Das n chste Problem geht man etwas mutiger und zuversichtlicher an schlie lich hat man positive eigene Probleml seerfahrung im Hintergrund - warum soll es nicht auch beim n chsten Mal gelingen, mit dem anstehenden Problem fertig zu werden!

10 Wenn unsere Sch lerinnen und Sch ler die Chance erhalten sollen, solche hoch wirksamen Heureka-Effekte zu erleben, m ssen sie mit geeigneten Problemen, also individuell schwierigen Aufgaben, bei denen Hindernisse zu berwinden sind, konfrontiert werden. Gleichzeitig sollten sie aber auch Lernangebote zum berwinden dieser Hindernisse und Schwierigkeiten erhalten insbesondere Probleml sestrategien, sogenannte Heurismen. Im folgenden werden einige Aufgabenbeispiele aus verschiedenen schulischen und zum Teil auch alltagsbezogenen Themenfeldern vorgestellt, um sp ter die Heurismen daran zu erl utern. Bewegungsaufgaben Durchschnittsgeschwindigkeit F r einen Besuch bei Freunden wurde f r die Autofahrt eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 100km/h eingeplant. Leider gab es einen Stau, so dass die erste H lfte der Strecke nur mit einem Schnitt von 50km/h absolviert wurde.