Mod´elisation du risque de cr´edit - maths-fi.com

1 Dit Agricole SA. Cre Direction des Risques du Groupe Groupe de Recherche Ope rationnelle1. Mod . elisation du risque de cr . edit DEA de Statistique et Mod`eles al eatoires en economie et finance Universit e Paris 7 Universit e Paris 1. David KURTZ2 & Thomas B. PIGNARD. Mots-clefs : risque de cr edit, mod`eles structurels, mod`eles `a forme r eduite, copules, produits d eriv es de cr edit. 1. Le Centorial, 18 rue du 4 septembre, 75002 Paris. 2. Hey, teacher, leave those kids alone ! Pink Floyd, The Wall (1979). REMERCIEMENTS. Merci `a Thierry Roncalli et Romain Camus pour leur aide.

2 Table des mati`eres 1 Introduction 9. Zoologie des risques .. 10. Enjeux .. 11. Mod`eles du risque de cr edit .. 11. 2 Produits d eriv es de cr edit 15. Le march e des produits d eriv es de cr edit .. 15. Les obligations risqu ees .. 17. Credit default swap .. 18. Les Basket Default Swaps .. 21. Collateralized Debt Obligations .. 23. 3 Introduction aux mod` eles structurels 27. Mod`ele de Merton .. 27. Mod`eles de premier instant de passage .. 35. 4 Mod`eles `a forme r eduite 41. Pr eliminaires math ematiques .. 41.. Evaluation des actifs risqu es .. 47. 5 D efauts corr el.

3 Es 53. Produits d eriv es sur un panier de cr edits .. 54. Corr elation dans les mod`eles structurels .. 56. Corr elation des intensit es .. 57. Corr elation des instants de d efaut .. 58. 6 Mod`ele Hybride : le cas des obligations convertibles 65. Caract eristiques des obligations convertibles .. 65. D efinition .. 65. Utilisation des obligations convertibles .. 66. 8 Table des mati`. eres Obligations convertibles et options .. 66. Les d eterminants du contrat .. 67. Influence des variables de march e sur le prix .. 67. Mod elisation du risque de cr edit .. 68. Impl ementation des mod`eles.

4 69. Les arbres multinomiaux .. 70. Les equations aux d eriv ees partielles .. 71. Synth`ese des obligations convertibles .. 72. A Th eorie g en erale des processus 77. G en eralit es .. 77. Temps d'arr et et tribus associ ees .. 78. Les tribus optionnelles et pr evisibles .. 79. Temps d'arr et pr evisibles .. 79. Classification des temps d'arr et .. 80. B Formule d'It . o avec sauts 83. Processus `a variation finie .. 83. Les semimartingales simples .. 87. C Rappel sur les diffusions 93. Definitions .. 93. Diffusions avec sauts .. 94. Diffusion affine avec des sauts .. 96. D Les fonctions copules 99.

5 Definitions et exemples .. 99. Les copules archim ediennes .. 101. E D . emonstration du Lemme 105. CHAPITRE 1. Introduction Ces notes constituent le support d'un cours de DEA concernant la mod elisation du risque de cr edit. Les deux principales sources qui ont servi de base `a l' ecriture de ce texte sont [11] et [2]. Le but de ce cours est de pr esenter quelques outils et concepts qui peuvent servir de base `a la mod elisation du risque de cr edit ; il est plus sp ecifiquement orient e vers la valorisation des produits dont la valeur d epend du risque de cr edit auquel il est expos e.

6 Les mod`eles et techniques pr esent es peuvent n eanmoins etre utilis es aussi bien pour la mesure que pour l' evaluation du risque de cr edit 1 . Les avanc ees th eoriques autour de la mod elisation du risque de cr edit est l'un des facteurs qui ont rendu possible l'essor d'un march e des produits d eriv es de cr edit. Le d eveloppement du march e des produits d eriv es de cr edit, qui a atteint cette ann ee un encours total d'environ 2300 milliards de dollars, a r evolutionn e en retour la gestion du risque de cr edit ainsi que l'ing enierie financi`ere qui lui est li ee. Les gestion- naires de portefeuille et les investisseurs disposent d esormais d'instruments financiers permettant le transfert efficace du risque de cr edit.

7 D'apr`es Alan Greenspan, la diffu- sion2 des risques que g en`ere ce march e des produits d eriv es de cr edit augmenterait la r esistance de l' economie mondiale aux chocs syst emiques comme l'aurait prouv e son bon comportement face aux r ecentes faillites d'Enron et de WorldCom. Dans ce chapitre introductif et apr`es avoir rappel e quels sont les principaux risques auxquels sont confront es les institutions financi`eres, nous expliquons quels sont les enjeux de la mod elisation du risque de cr edit. Nous pr esentons alors, bri`evement, les deux grandes classes de mod`eles du risque de cr edit : les mod`eles structurels et les mod`eles `a forme r eduite.

8 1. Autrement dit, ces techniques servent aussi bien sous la probabilit e historique que sous une probabilit e risque -neutre. 2. et donc la mutualisation 10 Introduction Zoologie des risques On distingue traditionnellement quatre grands types de risques financiers [11] : 1. Le risque de march e. Le risque de march e peut se d efinir comme le risque de perte li e aux variations des conditions de march e (prix, taux, taux de change, volatilit es, ). 2. Le risque de cr edit. Le risque de cr edit est d efini comme le risque de perte li e `a l' evolution de la qualit e de la signature d'un emetteur.

9 On peut distinguer deux types de risque de cr edit : le risque de contrepartie et le risque de r ef erence. Pour un emetteur donn e, ce risque peut se mat erialiser sous la forme du changement de sa note (upgrade ou downgrade) telle celle emise par les grandes agences de notations Moody's et Standard & Poor's, d'une variation de son spread de cr edit, d'un ev enement de cr edit (credit event) tel le d efaut de paiement ou la restruc- turation de sa dette. Ces trois risques sont, bien evidemment, corr el es. Une augmentation brutale du niveau du spread emetteur augmente la probabilit e d'un ev enement de cr edit.

10 De la m eme mani`ere, un changement de notation influe fortement sur la probabilit e du d efaut d'un emetteur. Lorsque A entre en relation avec une contrepartie B via un instrument financier, il peut etre soumis au risque que B soit dans l'impossibilit e d'honorer ses engagements. Par exemple, si A est en possession d'une obligation emise par B, il court le risque qu'`a maturit e B ne puisse lui rembourser le capital investi. On parle dans ce cas de risque de contrepartie unilat eral puisque B n'est pas soumis au risque de cr edit de A. Si A et B sont les deux contreparties d'un swap, ils sont tout deux soumis au risque de contrepartie : on parle alors de risque de contrepartie bilat eral.