MOMENT D'UNE FORCE - MOMENT CINETIQUE - Sbec …

1 MOMENT D'UNE FORCE MOMENT CINETIQUE . I MOMENT D'UNE FORCE . Le MOMENT D'UNE FORCE F , appliqu e en un point M, par rapport un point O, est d fini par : ( ).. mO F = OM F. M : MOMENT de F par rapport O en ( J) (le MOMENT scalaire peut tre per u comme l' nergie pour mettre en rotation un objet autour d'un axe d fini par la direction du vecteur MOMENT et dans un sens li au sens du vecteur MOMENT ).. support : OM & F. ( ).. mO F = sens : d fini par le sens de rotation ( ) ( ).. intensit : mO F = OM F sin OM , F. Le sens du vecteur MOMENT est d finit l'aide du produit vectoriel. En clair, M, OM et F. doivent former un tri dre direct (r gle du tire-bouchon ou des trois doigts). Si la FORCE F fait tourner le vecteur OM dans le sens trigonom trique direct, alors M rentre dans la feuille et inversement (m me comportement qu'une vis qu'on tourne dans un sens ou dans l'autre). Le MOMENT scalaire est maximum pour un angle entre les deux vecteurs de 90 et est nul lorsqu'ils sont colin aires.

2 Il peut tre aussi calculer rapidement par le produit de la distance orthogonale d(O,F) (bras de levier) et de l'intensit de la FORCE : mO ( F ) = F .d .. d F. O. mO ( F ).. M. II MOMENT cin tique . Le MOMENT cin tique D'UNE masse m de quantit de mouvement p , situ e au point M, par rapport un point O, est d fini par : . LO = OM p L : MOMENT cin tique de m par rapport O en Les r gles du produit vectoriel sont donc toujours appliqu es (pour le sens, la direction et l'intensit ). ( ).. LO = OM mV sin OM , p Tout comme le MOMENT D'UNE FORCE , le MOMENT cin tique d pend donc du point O choisi. Le MOMENT cin tique est nul si les vecteurs OM et p sont colin aires. O.. LO M.. p Dans le cas particulier d'un mouvement de rotation autour de O, on a LO = rmV . III Th or me du MOMENT cin tique Le th or me du MOMENT cin tique tablit un lien entre la variation du MOMENT cin tique et le MOMENT de la FORCE en un m me point. Ce th or me est l' quivalent du principe fondamental de la dynamique qui tablit un lien entre la variation de quantit de mouvement et la FORCE appliqu e.

3 F dt = d P OM F dt = OM d P or ( ).. d OM P = dOM P + OM d P.. =V . dt m V + OM d P. =0.. = OM d P. ( ) ( ) ( ).. donc OM F dt = d OM p mO F dt = d LO.. ( ).. d L. mO F = O. dt Remarques : - on a utilis le PFD, il faut donc tre dans un r f rentiel Galil en. - ce th or me est donc valable m me avec une masse variable. - pour le vecteur vitesse du point (d riv e du vecteur OM) existe, il que O soit fix .. LO (t + dt ). ( ).. mO F dt . LO ( t ). IV Application : syst me mat riel isol . 1) Syst me ferm de 2 points mat riels Soit un syst me isol constitu de deux points mat riels exer ant l'un sur l'autre une FORCE . D'apr s le principe d'action et de r action on a : . F1 2 = F2 1. (OM F ) dt = d ( L ) (OM F ) dt = d ( L ).. 1 21 1O 2 12 2O. (OM F + OM F ) dt = d ( L + L ).. 1 21 2 12 1O 2O. ((OM OM ) F ) dt = d ( L + L ) = 0 car OM F = OM F.. 1 2 21 1O 2O 1 21 2 21. Le r sultat ci-dessus est valable pour un syst me isol de n points mat riels.

4 Il en r sulte la loi de conservation du MOMENT cin tique d'un syst me isol . 2) Syst me ferm de n points mat riels n . ( ) (. ext . ) ( ).. k . OM i F j i + OM i Fk i dt = d Li O. j , j i .. ( ). n n . ( ) ( ). n n OM i Fj i + OM i Fk i dt = d Li O. ext .. i j , j i i k i . =0 somme des moments ext / O Ltotal / O.. ( ext . ).. ( ). n n OM i Fk i dt = d Li O = d Ltot . i k i . mF ( ).. ext /O = d Ltot / O. V Application : mouvement FORCE centrale Mouvement d'un point mat riel autour d'un point O fixe soumis une FORCE F toujours dirig e vers ce point fixe (exemple : un satellite assimil un point autour du centre de la Terre). mO ( F ) = OM F = 0 = d ( LO ).. LO = OM mV = cste Cela implique que le mouvement du point M est contenu dans un plan orthogonal au vecteur MOMENT cin tique. Mouvement FORCE centrale: z coordonn es polaires L0. k u . O y u . d . d .. M d . x d . LO = m 2 = cste dt d . 2 = C 2 d = C dt dt 1 2 C.

5 D = dS dS = dt 2 2. dS est la surface balay e par le vecteur OM pendant un instant dt. C. S = t + C . 2. On peut donc en conclure que pour des dur es gales, les surfaces balay es par le rayon vecteur sont gale. Cette loi est connue sous le nom de loi des aires ou encore deuxi me loi de Kepler (relative aux ellipses form es par les trajectoires des satellites et des plan tes). t+2 t S2. 2. O. 1 t+ t S1. S1 = S2. t En g n ral, 1est diff rent de 2. VI MOMENT d'un couple Un couple est constitu de 2 forces gales et oppos es (m me module, m me direction, de sens oppos , mais pas colin aires). Son MOMENT est la somme de chacun des moments: ( ).. mO F = OM1 ( F ) + OM 2 F soit : ( ).. mO F = M1O F + OM 2 F qui s' crit finalement : ( ).. mO F = M1M 2 F. Contrairement au MOMENT D'UNE FORCE , celui d'un couple est donc ind pendant de l'origine choisie. Il est nul si les forces sont colin aires, ce qui se con oit ais ment.

6 VII MOMENT par rapport un axe En m canique de rotation des solides, ou tout simplement lorsqu'on serre une vis, c'est le MOMENT par rapport l'axe (de la vis par exemple) qui est la valeur "efficace".. Si le point O est sur cet axe, et si n est un vecteur unitaire de cet axe, le MOMENT "efficace". par rapport l'axe est donn par le scalaire : ( ).. = mO F n Si le produit scalaire est > 0, le MOMENT engendre une rotation dans le sens du tire-bouchon. Pour r soudre de petits probl mes, tels que celui du treuil et de sa manivelle, ou de la balance romaine, pr cisons que, pour qu'un syst me en rotation autour d'un axe ne soit pas acc l r . (entre autres cas, immobile), il faut que la somme des moments, par rapport cet axe, des forces ext rieures appliqu es soit nulle.