MONOMI E POLINOMI - valeriavecchi.it

1 I MONOMI Si dice MONOMIO un espressione letterale con sole moltiplicazioni e divisioni: 13a2b3c. Infatti tra le lettere e il numero relativo sottointeso il segno di moltiplicazione. 13 detto coefficiente del monomio e a2b3c detta parte letterale. Un monomio si dice intero quando non compaiono lettere come divisori, in caso contrario si dice frazionario. 12a4c un monomio intero, mentre a2bc2 un monomio frazionario I MONOMI che hanno le lettere ripetute solo una volta con la propria potenza sono detti ridotti a forma normale . Es: 2 23aba2cb3c= 43a1+2b1+3c1+1= 43a3b4c2 TIPI DI MONOMI - Due o pi MONOMI sono simili tra loro se hanno la stessa parte letterale con gli stessi esponenti, ma possono avere anche coefficienti diversi.

2 Se hanno anche lo stesso coefficiente si dicono uguali Es 12a2b e +14a2b - Due o pi MONOMI sono opposti tra loro se hanno la stessa parte letterale con gli stessi esponenti e come coefficiente numeri reali opposti. Es : 12a2b e +12a2b - Un monomio nullo ha come coefficiente il numero reale 0 e il suo valore sempre 0. Un monomio non nullo assume valore 0 quando una delle sue lettere assume valore 0. Es: +2a2b con a=0 - Un monomio che ha coefficiente uguale a +1 o -1 pu essere scritto sottointendendo il coefficiente, ma non il segno Es; 1ab= ab I POLINOMI Un POLINOMIO la somma algebrica di due o pi MONOMI non simili tra di loro.

3 I MONOMI che lo formano si chiamano termini del polinomio. Es: 2 x -3y + 4 xy Un polinomio si dice intero quando tutti i sui termini sono MONOMI interi, frazionario in caso contrario. Alcuni POLINOMI assumono i seguenti nomi particolari: binomio la somma di due MONOMI ; trinomio la somma di tre MONOMI ; quadrinomio la somma di quattro MONOMI . 1. GRADO E ORDINE DI MONOMI E POLINOMI Il grado complessivo o grado di un monomio la somma degli esponenti delle sue lettere. Es :ab3 un monomio di 4 grado (3+1=4) Il grado di un monomio rispetto ad una lettera l esponente con cui la lettera figura nel monomio. Es : ab3 un monomio di terzo grado rispetto alla a e di primo grado rispetto alla b Un monomio di grado zero rispetto alla lettere mancanti Il grado di un polinomio quello del suo monomio di grado massimo.

4 Es: 5b2c 7a4b3 un binomio di settimo grado (3+4=7) Un polinomio ordinato rispetto a una lettera se le potenze di quella lettera sono ordinate, dal primo all ultimo monomio, in ordine crescente o in ordine decrescente Es: 5a4b 3a2b3+6ab4 ordinato secondo le potenze decrescenti della a e crescenti della b Un polinomio si dice completo e ordinato rispetto a una lettera se questa figura nei vari termini con tutti gli esponenti da quello di grado minimo a quello di grado massimo in modo ordinato. Es: 5a4b+2a3b2 3a2b3+6ab5 7 completo rispetto alla lettera a, incompleto rispetto a b Un polinomio omogeneo se tutti i suoi termini sono dello stesso grado. Es: 5a4b+2a3b2 3a2b3 omogeneo di quinto grado 2.

5 OPERAZIONI TRA MONOMI E POLINOMI SOMMA ALGEBRICA La somma di due MONOMI possibile se e solo se i MONOMI hanno identica la parte letterale (simili). La somma algebrica di due o pi MONOMI simili un monomio che ha per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti e per parte letterale la stessa parte letterale. Es: 4a2b+3a2b=( 4+3)a2b= a2b Si pu applicare la propriet distributiva, raccogliendo a fattore comune, a somme i cui addendi hanno lo stesso fattore Es: + 2ab -5ab + 4ab = (+2 -5+ 4) ab = +1ab = ab Quando operiamo con le espressioni , l unica cosa che si pu effettuare la riduzione dei termini simili del polinomio, cio la somma di tutti i MONOMI simili presenti.

6 PROCEDIMENTO: 1. Eliminare le parentesi che racchiudono i POLINOMI (L eliminazione di una parentesi preceduta dal segno + non cambia il segno dei MONOMI in essa contenuti. L eliminazione di una parentesi preceduta dal segno porta a cambiare il segno di tutti i MONOMI in essa contenuti.) 2. Sottolineare con colori e simboli diversi tutti i MONOMI simili 3. Sommare i coefficienti dei MONOMI simili applicando la propriet distributiva 4. Ordinare il polinomio ridotto Es: 2x + (x - 2y) - (2x - y) = 2x + x - 2y - 2x + y = (2 +1- 2) x + (- 2 +1) y = x y MOLTIPLICAZIONE 1) M o n o m i o x M o n o m i o Calcolare il prodotto di due o pi MONOMI sempre possibile.

7 Il prodotto di due o pi MONOMI uguale un monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti e per parte letterale il prodotto delle parti letterali. Alla parte letterale si applica la propriet del prodotto di potenze con stessa base. Es: 2a2b() 3a2b4c3()= 6a2+2b1+4c3= 6a4b5c3 2) M o n o m i o x P o l i n o m i o Si applica la propriet distributiva moltiplicando il monomio per ogni termine del polinomio. Alla fine si sommano i prodotti ottenuti e si riducono i MONOMI eventualmente simili. Es: 3x4x 5y()=(3x 4x) 3x 5y()=12x2 15xy 3) P o l i n o m i o x P o l i n o m i o Si applica la propriet distributiva moltiplicando ogni termine del primo per ciascun termine del secondo.

8 Alla fine si sommano i prodotti ottenuti e si riducono i MONOMI eventualmente simili. Es: 3x+y()x 2y()=3x2 6xy+xy 2y2=3x2 5xy 2y2 Nella moltiplicazione di pi POLINOMI si moltiplicano i primi due POLINOMI tra loro (scrivendo il risultato tra parentesi) e nel passaggio successivo si moltiplica tale risultato per il terzo polinomio, .. e cos via. Es: 3x+y()x 2y()3+y()=(3x2 6xy+xy 2y2)(3+y)=(3x2 5xy 2y2)(3+y)=.. DIVISIONE 1) M o n o m i o : m o n o m i o Calcolare il quoziente di due MONOMI sempre possibile. Il quoziente di due MONOMI uguale a un monomio che ha per coefficiente il quoziente dei coefficienti e per parte letterale il quoziente delle parti letterali.

9 Alla parte letterale si applica la propriet del quoziente di potenze con la stessa base Es: +12a5b2c(): 15a2bc()=+12aaaaabbc 15aabc= 45a5 2b2 1c1 1= 45a3b 2) P o l i n o m i o : m o n o m i o Si applica la propriet distributiva dividendo ciascun termine del polinomio per il monomio. Alla fine si addizionano i quozienti ottenuti e si riducono i MONOMI eventualmente simili. Es: 6x3 12x2(): 2x()=+6x3 2x+ 12x2 2x= 3x3 1+6x2 1= 3x2+6x 3) P o l i n o m i o : P o l i n o m i o La divisione tra due POLINOMI si pu eseguire con un metodo che ricalca in parte quello della divisione tradizionale. Nei casi in cui il divisore un binomio di primo grado si pu utilizzare la Regola di Ruffini e si studier alle superiori ELEVAMENTO A POTENZA 1) p o t e n z a d i u n m o n o m i o La potenza di un monomio un monomio che ha per coefficiente la potenza del coefficiente e per parte letterale la potenza della parte letterale.

10 Alla parte letterale si applica la propriet della potenza di potenza. Es: 3a3b2c()2=+9a3 2b2 2c1 2=+9a6b4c2 2) P o t e n z a d i p o l i n o m i o P R O D O T T I N O T E V O L I SOMMA X DIFFERENZA DI DUE MONOMI a+b()a b()=a2 b2 Bisogna innanzi tutto riconoscere la presenza nei due binomi di: - 2 m o n o m i u g u a l i , n o n i m p o r t a s e t u t t i e d u e n e g a t i v i o p o s i t i v i ( + a e + a ) - 2 m o n o m i o p p o s t i ( + b e b) Il risultato sar composto sempre da due termini: - i l q u a d r a t o p o s i t i v o d e l m o n o m i o u g u a l e ( + a2) - i l q u a d r a t o n e g a t i v o d e l m o n o m i o o p p o s t o (-b2) Es: 3x 5y2()5y2 3x()=+9x2 25y4 DIM: 3x 5y2()5y2 3x()= 15xy2+9x2 25y4+15xy2=+9x2 25y4 QUADRATO DI BINOMIO (a+b)2=a2+b2+2ab Bisogna innanzi tutto riconoscere la presenza nei due binomi di: - s e g n o d e i t e r m i n i ( 3 c a s i : t u t t i e d u e p o s i t i v i , u n o p o s i t i v o e u n o n e g a t i v o , t u t t i e d u e n e g a t i v i Il risultato sar composto da tre termini.