Números reales y sus propiedades.

1 N meros reales y sus propiedades. (Notas redactadas por A. DIEGO y M. I. PLATZECK para el curso de Matem tica General) Los n meros naturales 1, 2, 3, .. , han sido creados por el hombre para contar los objetos de conjuntos finitos, el n mero natural n es una medida de la cantidad de objetos de un conjunto. Pero es necesario medir o comparar tambi n longitudes, reas, vol menes, pesos, cantidades de calor, de electricidad, Para este tipo de cantidades sabemos decidir cu ndo dos de ellas son equivalentes o iguales, mediante experiencias apropiadas. (Dos varillas que se pueden hacer coincidir son iguales en longitud, dos cuerpos que equilibran una balanza de platillos son iguales en peso, etc.). Se sabe adem s sumar dos cantidades de una misma especie y subdividir una cantidad dada en n partes iguales. De ahora en adelante, consideraremos el problema de medir cantidades en el caso de longitudes.

2 El problema de precisar la noci n de medida o longitud de un segmento se present tempranamente a los ge metras griegos hace unos 25 siglos. Dado un segmento OU que se considerar como unidad de medida y otro segmento PQ, puede ocurrir que PQ se pueda partir en n segmentos iguales a OU; en este caso n es la medida o longitud del segmento PQ (con respecto a la unidad OU ). QUPO Naturalmente, la circunstancia anterior es casual. En general, OU no cabr un n mero exacto de veces en PQ. Subdividamos ahora la unidad OU en m partes iguales. Se dice que cada una de estas partes (subm ltiplos de OU) tiene longitud igual a 1m. Si se tiene un segmento PQ que puede dividirse en exactamente n partes iguales de longitud 1m, se dice que la longitud de PQ es nm. En el ejemplo de la siguiente figura, la longitud de PQ (con respecto a la unidad OU ) es 75.

3 UPO En la figura siguiente, el segmento AC es el segmento suma de los segmentos AB y BC. BAC OBSERVACIONES: 1) Es claro que si se subdivide la unidad OU en m partes iguales y luego cada una de ellas en p partes iguales, la unidad OU qued subdividida en pm partes, de modo que la medida de cada una de ellas es pm 1. Necesitaremos entonces p segmentos consecutivos de esa medida para obtener uno de los segmentos resultantes de la primera subdivisi n, es decir que: pmpm =1 . 12) Una consecuencia importante de la observaci n anterior es que pmprmr = ya que ella nos dice que si la medida de un segmento es mr respecto de la unidad OU, es decir que el mismo puede dividirse en r partes iguales de longitud m1, es claro que tambi n podr dividirse en pr partes iguales de longitud pm 1. 3) Otra consecuencia inmediata es que si en la figura siguiente, la medida de AB es mp y la de BC es mq entonces la medida de AC es mqp+.

4 BAC Como resultado de las observaciones anteriores es f cil verificar que, si respecto de la unidad OU, la medida de AB es mn y la de BC es rs, entonces la de AC es snnrsm + . Esto es: snnrsmsnnrsnsmsrnm + = + =+. Por otro lado, puede tambi n verificarse que si la medida de un segmento CD con relaci n a la unidad AB es rs y la medida de AB en relaci n con la unidad OU es mn, la medida de CD en relaci n a OU es nsmr , (esto es nsmrnmsr = ). Por ejemplo, las 45 partes de un segmento que mide 23 tiene longitud 4523815 =. Hist ricamente, los n meros racionales han surgido de la necesidad de medir distintos tipos de cantidades y las operaciones entre ellos (suma y producto) aparecieron naturalmente en la forma que se indica en el p rrafo anterior. Dado un segmento OU, puede preguntarse si cualquier segmento PQ tiene una medida racional con respecto a la unidad OU, en la forma indicada antes, es decir, si hay alg n subm ltiplo de OU que quepa exactamente un n mero entero de veces en PQ.

5 La respuesta es negativa y fue dada por los matem ticos Pitag ricos de la manera que veremos a continuaci n: La hipotenusa OP de un tri ngulo rect ngulo is sceles OPU no tiene medida racional con respecto a la unidad OU. PUO 2En efecto, supongamos por el absurdo, que la medida de OP es el n mero racional ab. Por el teorema de Pit goras tendr amos que: ab =+=222112 Esto es un absurdo porque: El cuadrado de un n mero racional no puede ser 2. Ve moslo: Podemos suponer, simplificando los posible factores comunes del numerador y del denominador, que ab es irreducible. Si fuese ab =22, resultar a que ab222=, es decir que es un n mero par. a2El entero a no puede ser impar pues su cuadrado aser a impar ya que: 2 ()()21441222222kkkkk+=++=++1q En consecuencia: a es par, o sea a=2, pero entonces aq, lo que implica que . De aqu resulta, como antes, que b es par, pues su cuadrado lo es.

6 Concluimos entonces que a y b son pares, lo que contradice la hip tesis de que b222242==22qb=ab es irreducible. OBSERVACI N : Se puede mencionar otra demostraci n de este hecho, que se basa en el Teorema Fundamental de la Aritm tica , es decir, en el teorema que afirma que cualquier n mero entero positivo puede descomponerse como un producto de n meros primos, en una nica forma, excepto por el orden de los factores. En efecto, si reemplazamos en la f rmula ab222= , las expresiones de a y b como productos de factores primos, tomando, por ejemplo akkk= 235123L, brrr= 235123L obtendremos que 2352352222122123123kkkrrr = +LL lo que es una contradicci n, pues el primer miembro tiene una cantidad par de factores 2, mientras que el segundo miembro tiene una cantidad impar. Aunque estas dos demostraciones se basan en t cnicas muy distintas (el hecho de que el cuadrado de un n mero par o impar mantiene el mismo tipo de paridad que el n mero original la primera, mientras que la segunda hace uso de las reglas de la divisibilidad) ambas se basan en la prueba por reducci n al absurdo, es decir, en el uso del principio de no contradicci n y son en consecuencia, demostraciones indirectas, que muchas veces terminamos aceptando por familiaridad, aunque con una sensaci n de incomodidad y desconfianza , hasta manejar con convencimiento las reglas de la l gica.

7 Nota: Esta Observaci n agregada en it lica ha sido agregada a las Notas originales de loa profesores Diego y Platzeck. G ichal. 3 Despu s de esto, la situaci n se planteaba en los t rminos siguientes: los n meros racionales no son suficientes para asignar a cada segmento una medida y la soluci n natural fue la de ampliar el sistema de los n meros racionales (positivos) agreg ndoles otros n meros, de manera que a todo segmento se pudiese asignar como medida uno de estos n meros y que cada uno de estos n meros correspondiese a la medida de un segmento. Estos n meros deben estar ordenados de modo que n meros (medidas) mayores correspondan a segmentos m s grandes. Un n mero x queda caracterizado por sus aproximaciones racionales por defecto y por exceso.

8 SISTEMA M TRICO DECIMAL Recordemos con un ejemplo el significado de la representaci n decimal de un n mero: 3223101110171012131081091012711983 + + + + + + =,. Observemos en este punto que un n mero cuya representaci n decimal es finita, es un n mero racional. El sistema decimal de escritura ha conducido naturalmente a la adopci n del sistema m trico decimal; en t rminos generales, este sistema consiste en medir cantidades utilizando subm ltiplos iguales a 110, 1102, 1103, etc., de la unidad de medida. Es claro lo que significa decir que un segmento mide 1983,271. Pero al medir un segmento PQ puede ocurrir que su medida x no sea un m ltiplo de 110n, por grande que elijamos a n. En este caso el n mero decimal finito (luego racional) obtenido en el proceso de medici n es s lo una medida aproximada por defecto del segmento PQ (con un error menor que aaaaan0123,L110n).

9 Deber amos escribir entonces a x como una expresi n decimal infinita: xaaaaan=0123,LLRec procamente, a una expresi n decimal infinita de este tipo, podemos hacer corresponder un segmento de medida x. La escritura decimal nos provee as de una manera c moda de designar a un n mero real. A los n meros racionales corresponden expresiones decimales peri dicas, por ejemplo: 130 3333=,L 170 142857142857=,L L28181811110141,= 140 250 2500000==,,L 4 Decimos que estos n meros son peri dicos porque una secuencia de cifras, llamada per odo, se repite indefinidamente a partir de un cierto d gito. As , en la expresi n de 110141 se repite 81. En el caso de 14, se repite 0 indefinidamente. Para evitar ambig edades, se prefiere la notaci n 1303=, 170 142857=, 8121110141,= 140250025==,, En estos ejemplos, la expresi n decimal se obtiene haciendo la divisi n en la forma habitual.

10 No es dif cil convencerse de que realmente la medida a asignar a un segmento de, por ejemplo, longitud 13, utilizando el sistema m trico decimal, es 0, Demostraremos ahora que: a) La representaci n decimal de un n mero racional es peri dica. y rec procamente: b) Si una expresi n decimal de un n mero es peri dica, el n mero es racional. a) Obtengamos en primer lugar la expresi n decimal de 914. 9 14 90 60 0,6428571 40 120 80 100 20 60 Al llegar a este punto, no hace falta proseguir la divisi n, pues el 4 que apareci en el segundo lugar del cociente aparecer ahora, ya que se obtuvo de dividir 60 por 14 y sta es la opera-ci n que se debe realizar a continuaci n.