OBMEP - Banco de Questões 2013

1 OBMEP - Banco de Quest es 2013 Johel Beltr n, Jonathan Farf nMarcelo Hil rio e Tertuliano FrancoBanco de Quest es 2013 Copyright 2013 by IMPAD ireitosreservados2013pelaAssocia oInstituto Nacional de Matem tica Pura eAplicada IMPAE strada Dona Castorina, 11022460-320 Rio de Janeiro, RJImpresso no Brasil/Printed in BrazilPrimeira edi o e impress oTexto e diagrama o: Johel Beltr n, JonathanFarf n, Marcelo Hil rio, Tertuliano FrancoEste livro foi escrito usando o sistema : Rog rio KaiserIMPA/OBMEPB anco de Quest es 2013 Rio de Janeiro, IMPA, 2013184 p ginasISBN 978-85-244-0348-4 Distribui oIMPA/OBMEPE strada Dona Castorina, 11022460-320 Rio de Janeiro, DOApresenta o7 Pref cio9N vel 1 Enunciados13N vel 2 Enunciados35N vel 3 Enunciados53N vel 1 Solu es73N vel 2 Solu es105N vel 3 Solu es137 ndice de Banco de Quest es 2013 APRESENTA ODesde sua primeira edi o em 2005, a OBMEP oferece a todas as escolas p bli-cas do pa s um Banco de Quest es com problemas e desafios de matem tica paraalunos e professores.

2 O Banco pretende despertar o prazer pela matem tica, es-timular o aluno interessado com perguntas instigantes e proporcionar um treina-mento para as provas da Banco de Quest es deste ano apresenta uma cole o de problemas concebidose resolvidos pelos professores Johel Beltr n (PUCP), Jonathan Farf n (PUCP),Marcelo Hil rio (UFMG) e Tertuliano Franco (UFBA).A edi o do Banco de Quest es deste ano assim como todas as edi es anteriorese as apostilas do Programa de Inicia o Cient fica da OBMEP est o dispon veis nap voc , leitor, encontrar uma solu o para algum problema diferente da solu oapresentada ao final do Banco de Quest es, n o deixe de mand -la para o endere pois ela poder ser publicada na p gina daOBMEP!

3 Boa divers o,Claudio LandimCoordenador Geral da Banco de Quest es 2013 PREF CIOQ uerido leitor/leitora,O Banco de Quest es deste ano da OBMEP Olimp ada Brasileira de Mate-m tica das Escolas P blicas vem com noventa quest es, sendo trinta de cadan vel. Sugerimos que o leitor n o se limite a fazer quest es apenas de um n quest es no N vel 3 possivelmente mais f ceis do que determinadas quest es doN vel 1, por exemplo. E n o desanime se alguma quest o lhe parecer para outra, repense, assim funciona a Matem tica, com persist ncia,reflex o. E tamb m com busca pela est tica, por solu es n o apenas corretas, mastamb m facilitar a busca de quest es em meio ao livro, h um sum rio no in cio,e tamb m um ndice remissivo ao final com os nomes dos problemas e respectivasp ginas onde aparecem seus enunciados e solu es.

4 Al m disso, as quest es doN vel 1 s o numeradas como1,2,3, etc. As quest es do N vel 2 s o numera-das como1,2,3, etc. E as quest es do N vel 3 s o numeradas como1,2,3, modo algum as solu es dos problemas aqui apresentados s o as nicas pos-s veis e/ou as melhores. Incentivamos fortemente o leitor a tentar as suas pr priassolu es, usando as solu es aqui apresentadas como um para agradecer a colabora o de todos os envolvidos neste que desfrutem!Johel Beltr n, Jonathan Farf n, Marcelo Hil rio e Tertuliano Banco de Quest es 2013 Hoje eu vim, minha negasem saber nada da vidaquerendo aprender contigoa forma de se viveras coisas est o no mundos que eu preciso aprender.

5 Paulinho da Viola, trecho da m sica Coisas do Mundo, Minha Nega N VEL 1 ENUNCIADOS1 gua na medida certaF bio precisa obter exatamente quatro litros de gua. Para isso ele usar apenasos dois nicos baldes de gua que tem em sua casa e uma torneira. Sabendo queum dos baldes que F bio tem em sua casa tem capacidade de tr s litros, e outro temcapacidade de cinco litros, determine uma maneira com a qual F bio pode obter aquantidade de gua que e goiabasNuma quitanda, h tr s caixas. Uma cont m apenas laranjas, outra cont m apenasgoiabas, e a terceira cont m laranjas e goiabas. Ives, que trabalha nesta quitanda,escreveu em uma caixa Laranjas , em outra Goiabas e em outra Laranjas eGoiabas , de maneira que cada nome estivesse na caixa errada.

6 Pedindo a Ivesque retire e mostre apenas uma fruta de apenas uma caixa, poss vel saber comoreescrever todos os nomes nas caixas de maneira correta. Explique como! Banco de Quest es 201314N vel 1 Enunciados3 Cubos e cubosBr ulia cortou um cubo em muitos cubinhos de aresta1cm, atrav s de cortes pa-ralelos s suas faces. Por exemplo, se este cubo tivesse4cm de lado, os cortesproduziriam:Entretanto, o comprimento da aresta deste cubo ) Ap s cortar o cubo, Br ulia contou os cubinhos de1cm de lado, os quais eram512. Qual era o comprimento da aresta do cubo?b) Laura faz o mesmo com outro cubo, para o qual tamb m desconhecido o com-primento da aresta.

7 Ap s o corte, Laura conta512cubinhos que antes n o tinhamnenhuma face em contato com o exterior do cubo. Qual era o comprimento do cubo?4 Qual a unidade?Qual o algarismo das unidades do n mero31+ 32+ 33+ 34+ 32013?Lembre-se, por exemplo, que32= 3 3 = 9. E33= 3 3 3 = 27. Lembre-setamb m que o algarismo das unidades de um n mero o ltimo direita dele. Porexemplo, o algarismo das unidades de376564534539 Banco de Quest es 2013N vel 1 Enunciados155 Pintando um cuboM nica tem seis cores para pintar as faces de um cubo. De quantas maneiras elapode fazer isso se:a) Todas as faces t m a mesma cor?b) Cinco faces t m a mesma cor e uma face tem uma cor diferente das restantes?

8 C) Todas as faces t m cores diferentes?Observa o: lembre-se, por exemplo, que as duas pinturas abaixo s o iguais, poisse girarmos uma delas de maneira apropriada, obteremos a outra!6 Formiga espertaUma formiga esperta, que passeia sobre a superf cie do cubo abaixo, faz sempre omenor caminho poss vel entre dois pontos. O cubo tem arestas de dist ncia a formiga esperta percorrer se ela for:a) Do v rticeAao v rticeB?b) Do pontoMao pontoN?c) Do v rticeAao v rticeD? Banco de Quest es 201316N vel 1 Enunciados7 Soma de felinosEm lio gosta de propor desafios matem ticos e de animais. Ele escreveu num papela seguinte soma:G A T O+P U M AP U M A SEm lio disse que a soma acima representa uma soma correta de dois n meros, ondecada letra representa um algarismo ) Qual o algarismo representado pela letraP?

9 B) Quais s o os algarismos representados pelas letrasGeU?c) Qual o n mero representado pela palavraPUMAS?8Tr s pontos colinearesNove pontos s o desenhados em uma folha de papel, como mostrados na seguintefigura:a) De quantas maneiras poss vel escolher tr s pontos colineares?b) De quantas maneiras poss vel escolher quatro pontos de modo que tr s delessejam colineares? Banco de Quest es 2013N vel 1 Enunciados179 Tabuleiros e domin sWanderson tem um tabuleiro6 6e pe as de domin como ilustrado na uma das duas faces da pe a de domin quadrada e tem a mesma rea decada uma das casas do tabuleiro, que tamb m s o ) Wanderson quer cobrir todo o tabuleiro utilizando suas pe as de domin de formaque cada face das pe as de domin fique posicionada sobre uma casa do pe as de domin Wanderson precisar para faz -lo?

10 B) Renato recorta do tabuleiro de Wanderson duas faces de forma que o novo tabu-leiro tenha34casas como desenhado abaixo:Logo ap s, Renato desafia Wanderson a cobrir o novo tabuleiro usando as suaspe as de domin . Existe algum modo de Wanderson vencer o desafio?c) Renato agora troca o tabuleiro de Wanderson pelo tabuleiro desenhado abaixo:Ele troca tamb m as pe as de domin pelas novas pe as3 1desenhadas abaixo:Feito isso, ele repete o desafio feito a Wanderson, agora com o novo tabuleiro e asnovas pe as. Existe algum modo de Wanderson vencer este novo desafio? Banco de Quest es 201318N vel 1 Enunciados10 Diferen a de reasa) Na figura abaixo mostram-se dois quadrados sobrepostos.