Example: bachelor of science

Obsah - FYZIKÁLNÍ OLYMPIÁDA

MATEMATIKA K IVEK. Studijn text pro e itele FO a ostatn z jemce o fyziku Miroslava Jare ov Ivo Volf Obsah vod - pro se zab vat k ivkami 4. 1 Z kladn pojmy 5. K ivost k ivky .. 5. P klad 1 v po et k ivosti kru nice .. 7. Oskula n kru nice a polom r k ivosti .. 9. V po et st edu k ivosti .. 10. P klad 2 v po et polom ru k ivosti hyperboly .. 10. Cvi en 1 .. 11. 2 K ivka a jej rovnice 12. P klad 3 kardioida .. 12. Cvi en 2 .. 14. 3 D lka k ivky 15. Obecn rovnice k ivky .. 15. Parametrick rovnice k ivky .. 15. P klad 4 d lka asteroidy .. 16. P klad 5 d lka cykloidy .. 17. Pol rn rovnice k ivky .. 18. P klad 6 d lka kardioidy .. 18. Cvi en 3 .. 19. 4 Obsah oblasti 20. Obecn rovnice k ivky .. 20. Parametrick rovnice k ivky .. 20. P klad 7 plocha cykloidy .. 20. Pol rn rovnice k ivky .. 21. P klad 8 Descart v list .. 22. Cvi en 4 .. 23. 5 Ku elose ky a Cassiniho ov ly 24.

MATEMATIKAKŘIVEK Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku MiroslavaJarešová–IvoVolf Obsah Úvod-pročsezabývatkřivkami 4

Information

Domain:

Source:

Link to this page:

Please notify us if you found a problem with this document:

Other abuse

Transcription of Obsah - FYZIKÁLNÍ OLYMPIÁDA

1 MATEMATIKA K IVEK. Studijn text pro e itele FO a ostatn z jemce o fyziku Miroslava Jare ov Ivo Volf Obsah vod - pro se zab vat k ivkami 4. 1 Z kladn pojmy 5. K ivost k ivky .. 5. P klad 1 v po et k ivosti kru nice .. 7. Oskula n kru nice a polom r k ivosti .. 9. V po et st edu k ivosti .. 10. P klad 2 v po et polom ru k ivosti hyperboly .. 10. Cvi en 1 .. 11. 2 K ivka a jej rovnice 12. P klad 3 kardioida .. 12. Cvi en 2 .. 14. 3 D lka k ivky 15. Obecn rovnice k ivky .. 15. Parametrick rovnice k ivky .. 15. P klad 4 d lka asteroidy .. 16. P klad 5 d lka cykloidy .. 17. Pol rn rovnice k ivky .. 18. P klad 6 d lka kardioidy .. 18. Cvi en 3 .. 19. 4 Obsah oblasti 20. Obecn rovnice k ivky .. 20. Parametrick rovnice k ivky .. 20. P klad 7 plocha cykloidy .. 20. Pol rn rovnice k ivky .. 21. P klad 8 Descart v list .. 22. Cvi en 4 .. 23. 5 Ku elose ky a Cassiniho ov ly 24.

2 Elipsa a hyperbola .. 24. Parabola .. 26. Pol rn rovnice ku elose ek .. 27. Zaj mavosti z historie ku elose ek .. 27. Cassiniho ov ly .. 28. Zaj mavosti z historie .. 28. Cassiniho ov ly z matematick ho pohledu .. 29. Bernoulliho lemnisk ta .. 30. 6 Spir ly 32. Historie a u it .. 32. Matematick vyj d en spir l .. 34. Archim dova spir la .. 34. Logaritmick spir la .. 35. Hyperbolick spir la .. 38. Fermatova spir la .. 39. Lituuova spir la .. 40. Sinov spir la .. 40. 7 Cyklick k ivky 42. Historie cykloidy .. 42. Cykloidy .. 43. Prost cykloida .. 43. P klad 9 cykloid ln kyvadlo .. 44. Zkr cen cykloida .. 47. Prodlou en cykloida .. 47. Epicykloidy a hypocykloidy .. 48. Parametrick rovnice epicykloidy a hypocykloidy .. 48. Rhodonea k ivky .. 50. Evolventa .. 51. 8 Algebraick k ivky 52. Dioklova kisoida .. 52. Descart v list .. 53. Nikom dova konchoida .. 54. Pascalova z vitnice (limacon).

3 56. Strofoida .. 57. 9 Dal k ivky 58. et zovka (catenary) .. 58. Traktrix .. 59. P klad 10 rovnice traktrix .. 60. Klotoida .. 61. V sledky cvi en 63. Literatura 64. 3. vod - pro se zab vat k ivkami Pojem k ivka je jeden z nejd le it j ch matematick ch pojm . Je tak z rove . jedn m z t ch matematick ch pojm , kter se nej ast ji vyskytuj v aplikac ch v denn m ivot . P esto e je tento pojem velmi d le it , jeho objasn n se s v vojem r z- n ch v dn ch obor neust le zp es uje. Z hlediska fyziky je zaj mav nap . charakterizace k ivky jako trajektorie pohybuj c ho se bodu. Z hlediska t to charakteristiky je tedy mo no ci, e k ivka je trajektorie, kterou prob hne v ur it m asov m intervalu bod, kter se spojit pohybuje, neboli jinak e- eno (pojmeme-li charakteristiku k ivky z hlediska matematiky jako zobrazen ), e k ivka je spojit m obrazem se ky. P i pou v n t to de nice k ivky se ale uk zalo (z hlediska matematiky), e tato de nice je p li irok.

4 Italsk ma- tematik Peano uk zal ji v roce 1890, e existuje spojit zobrazen se ky na tverec, jin mi slovy, e dr ha hmotn ho bodu, kter se spojit pohybuje, m e vypl ovat cel tverec. Toto spojit zobrazen ale nen vz jemn jednozna n , tj. pohybuj c se bod projde n kter mi body tverce n kolikr t. Modern j (p esn j ) de nici k ivky podal rakousk matematik Menger v roce 1921 a nez visle na n m t m sou asn sov tsk matematik Urysohn. Jejich de nici lze uv st asi takto: k ivka je kontinuum, jeho libovoln dva body se daj odd lit mno inou neobsahuj c ji dn kontinuum. V voj pojmu k ivka ov em t mto zdaleka nekon , charakteristika pojmu k ivka se neust le zp es uje. V sou asn dob se de nice k ivky prov d pomoc . tzv. variet. Toto byl pouh n stin historick ho v voje tohoto pojmu, jeho po tky za- sahuj do starov k ho ecka. C lem tohoto textu ale nen rozbor tohoto pojmu, ale zam it se sp na konkr tn k ivky, napsat jejich rovnice, podat stru nou informaci o historii k ivek vytvo it p r ku ve smyslu pr vodce k ivkami.

5 Vzhledem k omezen mu rozsahu textu se jedn v t to pap rov podob pouze o matematick popis a p ehled. Podstatn v ce k t mto k ivk m je obsa eno na p ilo en m CD ROMu, kde je i p ehled aplikac ve fyzice i v praktick m ivot , jsou zde i v podstatn v t m e e en lohy t kaj c se jednotliv ch k ivek, na CD ROMu jsou obsa eny i animace a mo nost modelov n jednotliv ch k ivek pro r zn hodnoty parametr pomoc p edem p ipraven ch program . Na CD ROMu jsou tak d le uvedeny dal sti Matematiky pro fyziku - texty Funkce, Diferenci ln po et, Integr ln po et, Diferenci ln rovnice, Vek- tory, skal ry.. a Sou adnice ve fyzice. 4. 1 Z kladn pojmy V t to sti si vymez me z kladn pojmy, se kter mi budeme v dal ch kapito- l ch d le pracovat. K ivost k ivky K ivost k ivky je jedn m z prvk , kter charakterizuj k ivku. Jinak e eno je to tak zak iven k ivky v r zn ch bodech. P i pohybu od jednoho bodu k ivky M.

6 Ke druh mu M se bude sou asn tak . m nit poloha te ny ke k ivce: te na se bude ot et. Toto odli uje k ivku od p mky, jej te na s n spl v ve v ech P jej ch bodech tedy p mka a te na P maj stejn sm r. m bude v t hel, o kter se oto te na p i p echodu od bodu M do bodu M k ivky, t m v ce se N tak bude li it oblouk k ivky od p mky, M. a t m v t bude tak zak iven k ivky. M Zak iven oblouku v ak nelze charakte- rizovat jen hlem, o kter se oto te na k ivky p i p echodu z jednoho kraj- n ho bodu oblouku do druh ho krajn ho bodu. Na obr. 1 jsou nakresleny dva oblouky P P a M M , jejich zak iven . jsou r zn , ale hel, o kter se oto . Obr. 1 Zak iven k ivky te na, je stejn . Z toho vypl v , e chceme-li stanovit m ru zak iven oblouku dan k ivky, je nutn uva ovat tak jeho d lku. Z obr. 1 je patrn , e p i stejn m hlu, o kter se oto te na, je zak iven t m v t , m krat je d lka oblouku.

7 Ukazuje se jako p irozen de novat pr m rnou k ivost oblouku k ivky jako pom r hlu te en v krajn ch bodech oblouku k d lce oblouku, neboli jako hel, o kter se oto te na k ivky na jednotkov d lce oblouku ( hel je v dy v obloukov m e): . pr m rn k ivost oblouku M M je . MM . Ilustrujme nyn v e uveden postup na v po tu pr m rn k ivosti kru nice o polom ru R. 5. Pro ka d oblouk kru nice je hel te en ke kru - nici v krajn ch bodech oblouku roven hlu polom r . v dotykov ch bodech (obr. 2). D lka oblouku AA . je R, tak e pr m rn k ivost oblouku je stejn ve v ech jej ch stech a je rovna A A . 1. = . R R. Dostali jsme, e pr m rn k ivost kru nice je p evr - cen hodnota polom ru, a je tedy nep mo m rn . Obr. 2 Pr m rn k i- polom ru kru nice. vost kru nice Na z klad v e uveden ch vah m eme tedy ci, e pr m rn k ivost charakterizuje celkov zak iven oblouku. V r zn ch stech oblouku ale m e b t zak iven r zn , co je vid t nap.

8 Na obr. 1, kdy je st M N oblouku M M v ce zak ivena ne st N M . M eme tedy ci, e pr m rn k ivost bude t m p esn ji charakterizovat zak iven oblouku k ivky v r zn ch bodech, m men bude d lka oblouku. Analogicky, jako se prov d ve fyzice p echod od rychlosti pr m rn k rychlosti okam it , lze prov st limitn p echod od k ivosti pr m rn ke k ivosti v bod , tj.. K = lim . MM 0 M M . V dal m postupu odvod me vzorec pro v po et k ivosti K v bod . y A . P edpokl dejme, e k ivka je d na t . rovnic y = f (x). Budeme-li hledat k ivost v bod , mus me krom rov- M . nice k ivky je t zn t sou adnice bodu t to k ivky. To znamen , e m me- . t li odvodit vzorec pro v po et k i- A M. vosti K, pot ebujeme vyj d it limitu + . lim pomoc sou adnic x, y x MM 0 M M. 0. bodu M k ivky, p i em y = f (x). Obr. 3 K ivost k ivky v bod . P edpokl dejme, e M = [x; y]. Zv t me-li x o p r stek x, pak hodnot.

9 Se ky x + x p slu bod M k ivky. V bodech M , M ve me te ny t, t . 6. (obr. 3). Ozna me-li hel, kter sv r te na t s osou x v bod M , zm n . se p i p echodu M M hel na hel + . P r stek je z rove i hlem, o kter se oto te na. Ozna me-li oblouk AM = s, pak je M M = s. Potom plat .. K = lim = . s 0 s Tento v raz m eme d le upravit na . lim x x 0 x . K = lim = = . (1). x 0 s s s lim x x 0 x Pro s m eme odvodit vztah p s 2. s ( x)2 + ( y)2 y .. s = lim = lim = lim 1+ , x 0 x x 0 x x 0 x p s = 1 + (y )2 . (2). Obdobn nyn odvod me i vztah pro . Z geometrick ho v znamu prvn deri- . vace v me, e y = tg . Z toho plyne, e = arctg y . Po zderivov n podle x dostaneme 1. = y . (3). 1 + (y )2. Po dosazen (2) a (3) do (1) dostaneme 1 1 y . K= y p = . (4). 1 + (y )2 1 + (y )2 3. [1 + (y )2 ] 2. V e uveden m postupem jsme tedy odvodili vztah pro v po et zak iven ob- louku v bod.

10 Nakonec si je t mus me uv domit posledn v c: je-li y > 0, pak je k ivka vypukl ; naopak v bodech, kde je y < 0 je k ivka vydut . Pou it v e uveden ch vztah si nyn budeme ilustrovat na v po tu n sle- duj c ho p kladu. P klad 1 v po et k ivosti kru nice Je d na kru nice o rovnici (x 2)2 + y 2 = 4. Ur ete k ivosti kru nice v bod . o x-ov sou adnici 2. 7. e en . Podm nku zad n x = 2 spl uj dva body: A = [2; 2], B[2; 2]. y P i e en je nutno uva ovat, e pro st A. kru nice pod osou x je kru nice pops na funkc . x p p 0 2 y1 = 4 (x 2)2 = 4x x2 , obdobn pro st pod osou x je B. p Obr. 4 K ivost kru nice y2 = 4x x2 . Pro st pod kru nic je tedy 1 4 2x x 2. y = = , 2 4x x2 4x x2. 2 2. y (B) = = 0, 4 2 22.. 1 4 2x 1 4x x2 (x 2) . 2 3. (4x x2 ) 2. y = , 4x x2. x4 8x3 + 15x2 + 4x 4. y = 5.. (4x x2 ) 2. Po dosazen . 1. y (B) = . 2. Analogicky bychom ur ili, e pro st kru nice nad osou x je x 2.


Related search queries