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1 CCRRPPEE CRPE 2010-2011 CMJ M1. M thodes en NUMERATION On se place ici dans l ensemble des nombres entiers naturels 0;1; 2;3;.. Nous avons vu en S1 que notre num ration d cimale s appuie sur un principe de groupements et d changes en base 10, c est dire qu il faut 10 unit s pour former une dizaine, 10 dizaines pour former une centaine, 10 centaines pour former un Nous comptons en base dix. On appelle base d un syst me de num ration, le nombre d unit s de chaque ordre que l on groupe pour former l unit d ordre imm diatement sup rieur. Base 10 : 42 pistaches Base 5 : 5132pistaches Base 3 : 31120pistaches L criture d cimale chiffr e du nombre nous permet de d terminer rapidement le nombre de groupements dans un rang sans avoir calculer. Il faudra veiller ne pas confondre chiffre et nombre.

2 Ainsi, on sait que le nombre 1045 se d compose en 1 millier, 0 centaines, 4 dizaines, 5 unit s, mais on voit aussi qu il y a 10 centaines et 45 unit s, ou encore 104 dizaines et 5 unit s. Cependant pour travailler sur la valeur d un nombre entier, il est difficile de rester sur cette criture d cimale, de la forme mcdupour un nombre quatre chiffres. On utilisera plut t sa d composition canonique qui permet de faire le lien entre cette criture chiffr e et sa valeur : 3210100010010110101010mcdu mcdumcdu avec09m ,09c , 09d ,09u (0 ' mcar le nombre est de l ordre du millier ). M thode pour d nombrer dans une base donn e Dans les autres bases de num ration, le principe est le m me. Nous avons vu en S2 que, dans une base n, il faut n unit s d un rang pour obtenir une unit du rang sup rieur.

3 On utilisera alors n chiffres pour crire les nombres. La d composition canonique d un nombre nabcden base n est alors : 3210nabcda nb nc nd n CRPE 2010-2011 CMJ Voici travers un exemple, quatre proc dures qui peuvent tre utilis es : Soit une collection de 538 objets d nombrer en base 5 Le d nombrement par groupements- changes1 : on va grouper les objets par paquets de 5 l ments (les cinquaines , on obtient 107 paquets de 5 et il reste 3 unit s. Ces paquets sont ensuite regroup s en sachet de 5 paquets (les vingt-cinquaines ) : on obtient 21 sachets et il reste 2 paquets. On continue en groupant 5 sachets dans un sac (les cent vingt-cinquaines : on obtient 4 sacs et il reste 1 sachet. Le nombre 538 s crit donc 54123 en base 5. Il s agit l de la m me proc dure en rempla ant la manipulation ou le dessin par le calcul.))

4 On effectue alors les divisions successives par la base, c'est- -dire ici par 5 en organisant les quotients et restes obtenus pour crire le nombre correctement : N b Quotient Reste 538 5 107 3 5 107 5 21 2 5 +3 5 21 5 4 1 32105 +5 +15 +5234 N = 54123 Le tableau de num ration en base 5 : on va chercher quelle est la puissance de 5 la plus lev e contenue dans 538 : 435625 ; 5125 . C est donc 53 avec3538 4 538 . On d compose ensuite 38 selon les autres puissances de la base : 38 25 2 5 3 1 5 2 5 3 Cent vingt-cinquaine Vingt-cinquaine Cinquaine Unit s 53 52 51 50 4 1 2 3 Cette proc dure de calcul s appuie cette fois sur la recherche de la puissance la plus lev e de la base contenue dans le nombre 538. On effectue alors les divisions euclidiennes successives selon les puissances d croissantes de 5.

5 Quotients et restes nous donnent le nombre crit directement de gauche droite. 43 15625 ; 5125 ; 525 ; 55 538 Puissances de la base Quotient Reste 538 125 4 38 345 .. 38 25 1 13 355 41 .. 13 5 2 3 3554213 5 1 Cette proc dure est utilis e en cycle 2 pour faire comprendre aux enfants les grands principes de la num ration en base dix.