Penerapan Metode Pengganda Lagrange Dalam Bidang …

1 Jurnal EksponensialVolume2,Nomor2,Nopember2011 ISSN 2085-7829 Program studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman29 Penerapan Metode Pengganda Lagrange Dalam Bidang EkonomiThe Application of The Method of Lagrange Multipliers in The EconomySyaripuddinProgram studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman SamarindaAbstractThis paper discusses the application of the method of Lagrange multipliers in the economy. The purpose ofthis study was to change the shape optimization problem in economics is a problem of constrainedoptimization without constraints and modeled in the form of optimization, the discussion focused on theissue of partial and marginal utility of consumption and production balance and equilibrium partialmarginal : Lagrange Multipliers, Optimization Problem, Partial and Marginal Utility,Partial Marginal PendahuluanTeorioptimasisangataplikatifp adapermasalahan-permasalahanyangmenyangk utpengoptimalan, baik itu kasus maksimasi atauminimasi.

2 Ada banyak Metode - Metode optimasiyangberkembangmengikutiperkemban ganterutama dibidang industri, perdagangan danbidang- Bidang lain yang juga menggunakan Pengganda Lagrange adalah sebuahkonsep populer Dalam menangani permasalahanini untuk program-program non-linear. Sesuainamanya, konsep ini dikemukakan oleh JosephLouis Langrange (1736-1813). Teori ini dapatdigunakan untuk menangani optimalitas daripermasalahan program Bidang ekonomi optimasi sangatdibutuhkan,seringkitadihadap-kanpa dapersoalanpenyelesaiantermurahdenganmem enuhi kendala yang ada. Kasus optimasibersyarat banyak dijumpai misalnya seseoranghendak memaksimumkan utilitas. Fungsi utilitasialah fungsi yang menjelaskan besarnya utilitas(kepuasan, kegunaan) yang diperoleh seseorangdari mengkonsumsi suatu barang atau dibagi dua yaitu utilitas total dan utilitasmarginal.

3 Utilitas total ialah fungsi dari jumlahbarang yang dikonsumsi. Sedangkan utilitasmarginal ialah utilitas tambahan yang diperolehdari setiap satu unit barang yang umumnya semakin banyak jumlah suatubarang dikonsumsi semakin besar utilitas yangdiperoleh, kemudian mencapai titik puncaknya(titik jenuh) pada jumlah konsumsi tertentu,sesudah itu justru menjadi berkurang atau bahkannegatif jika jumlah barang yang dikonsumsi terusmenerus matematik, persamaan utilitas total(total utility,U)dari mengkonsumsi suatu jenisbarang berupa fungsi kuadrat parabolik, dengankurva berbentuk parabola terbuka ke fungsi utilitas marginal merupakanderivatif pertama dari fungsi utilitas total. Dengankata lain jika fungsi utilitas total dinyatakandenganU = f (Q)dimanaUmelambangkanutilitastotaldanQj umlahbarangyangdikonsumsi, maka utilitas marjinalnya:MU=U =dUdQPenelitian ini membahas tentang aplikasimetodePenggandaLagrangedalam bidangekonomi dimodelkan Dalam bentuk disajikan contoh-contoh persoalan bidangekonomi Dalam bentuk optimasi dengan kendaladan akan diubah menjadi persoalan optimasi tanpakendala menggunakan fungsi Tinjauan PustakaOptimasi BersyaratOptimasi bersyarat adalah masalah optimasiyang memiliki syarat atau memiliki batasan -batasan yang merupakan masalah pemodelanmatematikadalamoptimasifungsiya ngmensyaratkan beberapa kondisi atau syarat untukdiperoleh solusi optimal yaitu syarat yangmengoptimumkan fungsi (X)Kendalagj(X),j= 1, 2, 3.

4 ,mdengan:X= (x1,x2,x3, ..,xn)Tdanm nMetodeyangdapatdigunakanuntukmenyelesai kan masalah optimasi adalah metodePengganda Lagrange . Metode ini dimulai denganpembentukan fungsi Lagrange yang didefinisikansebagai: mjjjXgXfXL1)()(),( Teorema 1: Suatu matriks Anxndisebut definitepositif jika determinan dari setiap sub matriknyaJurnal EksponensialVolume2,Nomor2,Nopember2011 ISSN 2085-7829 Program studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman30lebih besar nol dan disebut definite negatif jikadeterminan dari sub matrik pertama lebih kecilnol, determinan dari sub matrik kedua lebih besarnol, determinan dari sub matrik ketiga lebih kecilnol dan 2: Syarat perlu bagi sebuah fungsif(X)dengan kendalagj(X) = 0, denganj=1,2,..,nagarmempunyai maksimum/minimum relatif pada titikX*adalah turunan parsial pertama dari fungsiLagrangenya yang didefinisikan sebagaiL=(x1,x2, ..,xn, 1, 2.)

5 , n) terhadap setiapargumentnya mempunyai nilai 3: Syarat cukup bagi sebuah sebuahfungsif(X) agar mempunyai minimum/maksimumrelatif pada titikX*adalah jika fungsi kuadratQyang didefinisikan sebagai :jininjjidxdxxxLQ 112 Dievaluasi pada titikX=X*harus definit positif(atau definit negatif) untuk setiap variasi nilaidxadalah setiap akar dari polinomialzi, yang didapatdari determinan persamaan dibawah ini haruspositif (atau negatif).dimana:jiijxxXLL ),((*2 ,jiijxXgg )(*.Fungsi Utilitas MarginalFungsi utilitas merupakan fungsi yangmenjelaskanbesarnyautilitas(kepuasan ,kegunaan)yangdiperolehseseorangdarimeng konsumsi suatu barang atau jasa. Padaumumnya semakin banyak jumlah suatu barangdikonsumsi semakin besar utilitas yang diperoleh,kemudian mencapai titik puncaknya (titik jenuh)pada jumlah konsumsi tertentu, sesudah itu justrumenjadi berkurang atau bahkan negatif jikajumlah barang yang dikonsumsi terus total merupakan fungsi dari jumlahbarang yang dikonsumsi.

6 Adapun persamaanutilitas total (total utility,U) dari mengkonsumsisuatujenisbarangberupafungsi kuadratparabolik, dengan kurva berbentuk parabolaterbuka kebawah. Utilitas marginal (marginalutility,MU) merupakan utilitas tambahan yangdiperoleh dari setiap unit barang yang ,fungsiutilitasmarginalmerupakan derivative pertama dari fungsi utilitastotal. Jika fungsi utilitas total dinyatakan denganU=f(Q)dimanaUmelambangkan utilitas totaldanQjumlah barang yang dikonsumsi, makautilitas marginal:MU=U =dUdQIII. Metode PenelitianMetodepenelitiandalamtulisanin idilakukan dengan melakukan penelitian melaluitinjauan pustaka. Adapun langkah langkahmenentu-kannilai ekstrim suatu fungsi dengan (X)Kendalagj(X),j= 1, 2, 3, ..,mdengan:X= (x1,x2,x3, ..,xn)Tdanm menjadi : mjjjXgXfXL1)()(),( syarat perlu untuk mendapatkantitik ekstrim011 mnLLxLxL semua solusi syarat cukup untukekstrim relatif.

7 Dievaluasi pada titikX=X*harus definit positif (atau definit negatif)untuk setiap variasi nilaidxadalah setiapakar dari polinomialzi, yang didapat darideterminan persamaan :jininjjidxdxxxLQ 112harus positif (atau negatif). Ini digunakanuntuk mengetahui prilaku dariL(x, ) pada nilai solusi optimal dari persoalanoptimasi bersyarat meng-gunakan metodepengganda Lagrange serta penerapannyadidalam Bidang hasil dan informasi daripenyelesaian permasalahan optimasi yangtelah Hasil dan BersyaratMetode Pengganda Lagrange merupakansalah satu Metode yang dapat digunakan untukmenentukan nilai ekstrim bersyarat. Misalkan0000000000)()()(3212232221113121 121321212122232221121111131211 mnmmmnnmnmmnnnnnmnmngggggggggggggggzLLLL gggLLzLLgggLLLzLJurnal EksponensialVolume2,Nomor2,Nopember2011 ISSN 2085-7829 Program studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman31),(yxfakandimaksimumkanataud iminimumkandengansyarat0),( fungsi objektifnya adalah :),(),(),,(yxgyxfyxF dimana adalah Pengganda Lagrange .

8 Syaratperlu untuk mendapatkan titik eksrim fungsi),,( yxFadalah :0 xgxfxF ..(1)0 ygyfyF ..(2)0),( (3)Dengan memecahan ketiga persamaan diatasmaka diperoleh titik-titik kritis fungsi),,( yxFyang akan dimaksimumkan atau : Hubungan antara jumlah penjualanSdengan jumlah-jumlahxdanyyang dibelanjakanuntukduamacammediaiklanadala h)10(100)5(200yyxxS .Lababersihadalahseperlima dari jumlah penjualan dikurangi biayaiklan. Anggaran belanja untuk iklan adalah alokasi anggaran belanja untuk keduamacam media iklan itu supaya diperoleh Langrange adalah :)25()10(20)5(40)25()10(100)5(20051),,( yxyxyyxxyxyxyyxxyxF Menentukan syarat perlu untuk mendapatkan titikekstrim:01)5(2002 xxF2)5(2001x ..(1)01)10(2002 yyF2)10(2001y ..(2)025 (3)Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :22)10(200)5(200yx 22)10()5(yx ..(4)Subtitusi persamaan (3) ke (4) diperoleh :22)10()255(yy yy 103021dan15,10 xyJadi titik ekstrimnya (x0,y0) = (10, 15).

9 Selanjutnya akan titik ekstrim ini akan di ujiapakah titik ekstrimnya (x0,y0) = (10, 15)maksimum atau zzgggzLLgLzLQDiperolehz=801 . Karena nilaizsemua (satu-satunya titik kritis) negatif maka titik ekstrim(x0,y0) = (10, 15) KonsumsiBentukumumfungsiutilitasadalah), ,,(21ngggfU . Pada pembahasan inikonsumen dimisalkan hanya mengkonsumsi duamacam barang saja, misalkanxdanysehinggafungsi utilitasnya adalah),(yxfU . Turunanpertama terhadap-xdisebut utilitas marginal yangbesesuaian denganxditulisxU dan Turunanpertama terhadap-ydisebut utilitas marginal yangbesesuaian denganyditulisyU .Keseimbangankonsumsiadalahsuatukeadaan dimana kombinasi konsumsi beberapamacam barang memberikan kepuasan kurva),(yxfU dengan garisanggarankonsumsiconsumenyaituyxyPxP M dimanaMadalah pendapatankonsumen,Pxadalah harga barangxdanPyadalahharga barangy. Keseimbangan konsumen dicarimenggunakan Metode penggada Lagrange denganfungsi Lagrange sebagai berikut:yxyPxPyxfyxF (),(),,( Jurnal EksponensialVolume2,Nomor2,Nopember2011 ISSN 2085-7829 Program studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman32 Syarat supaya),,( yxFmencapai maksimumadalah:0 xxPxUPxfxF 0 yyPyUPyfyF Dari kedua persamaan diatas diperoleh ,xPxU =yPyU Dengan kata lain keseimbangan konsumsi akanterjadi jika hasil bagi antara utilitas marginalmasing-masing barang terhadap harga barangmasing-masing bernilai : Fungsi utilitas untuk kedua komoditasyang diberikan oleh fungsiyxU2 dananggaranpengeluaran1863 nilaixdanyyang memberikankepuasan optimum :Penyelesaian :Fungsi Lagrange adalah :)1863(),,(2 yxyxyxL Menentukan syarat perlu untuk mendapatkan titikekstrim:032 xyxL32xy.)

10 (1)062 xyL62x ..(2)01863 yxL ..(3)Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :6322xxy atau2312xxy atau4xy .Subtitusi4xy kepersamaan (3)diperoleh18463 xxJadix=4 dany=1 dengan nilaiU= ProduksiBentukumumfungsiproduksiadalah), ,,(21nxxxfP .Padapembahasaninidimisalkan hanya diproduksi dua macam barangsaja,misalkanxdanysehinggafungsipr oduksinyaadalah),(yxfP .Turunanpertama terhadap-xdisebut produksi marginalyang besesuaian denganxditulisxP dan turunanpertama terhadap-ydisebut produksi marginalyang besesuaian denganyditulisyP .Keseimbanganproduksiadalahsuatukeadaan dimana kombinasi faktor-faktor produksimemberikan pencapaian produksi dengan biayayang terendah (optimum). Jika jumlah dana yangdianggarkan untuk membeli faktorxdanyadalahMserta harga faktorxdan faktorymasing-masingPxdanPymaka persamaan tersebut ditulisyxyPxPM . Keseimbangan produksi dicarimenggunakanmetodepenggandaLagrange dengan fungsi Lagrange sebagai berikut:)(),(),,(yxyPxPyxfyxF Syarat supaya),,( yxFmencapai maksimumadalah:0 xxPxPPxfxF 0 yyPyPPyfyF Dari kedua persamaan diatas diperoleh,xPxP =yPyP Dengan kata lain keseimbangan produksi akantercapai jika hasil bagi antara produksi marginalmasing-masing masukan terhadap harga masukanmasing-masing bernilai : Sebuah pabrik menghasilkan dua tipemesin berat produksinya adalah:xyyxyxP 222),(.