PERSAMAAN DIFERENSIAL BAGIAN I Oleh: Drs. Rochmad, M

1 1 BAHAN AJARPERSAMAAN DIFERENSIALBAGIAN IOleh:Drs. Rochmad, MatematikaFMIPA UNNESS emarang2 BAB 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN PENYELESAIANNYAD ewasa ini ilmu pengetahuan, teknologi dan seni (ipteks) berkembangdenganpesat. Misalnya sistem transportasi, komunikasi, dan informasi tumbuhdan bekembang dengan awal millenium ke-3 ini, era globalisasi danpasar bebas dunia dimulai. Dengan didukung peralatan modern jaringan internetdan telekomunikasi canggih lainnya informasi dengan bebas menembus batasantar negara dan orang mulai memandang dunia sebagai satu kesatuan.

2 Kerjasistem komunikasi modern tak mengenal batas wilayah sehingga peristiwa disuatu tempat dalam waktu relatif singkat beritanya segera menyebarmenembusseluruh penjuru dunia. Kemajuan di bidang teknologi transportasi menjadikanjarak antar dua dua tempat terasa dekat , dan kecepatan serta ketepatan waktutransportasi menjadikan mobilitas kegiatan manusia lebih ataupuntidak dalam kehidupan kini dan mendatang manusiasenantiasa berhadapan dan bersentuhan dengan ipteks.

3 Dalam rangkamenyesuaikan diri dengan kemajuan jaman orang merasa perlu meningkatkanpengetahuannya yang berkaitan dengan kemajuan ipteks. Manusia dalammenjalani kehidupan sehari-hari termasuk dalam menghadapi dunia kerjanyamemerlukan bukan saja pengetahuan yang memadai tetapi juga dituntut memilikikemampuan beradaptasi mengikuti perkembangan kemajuan ipteks itu ini tuntutan terhadap penguasaan matematika terapan (appliedmathematics) semakin kuat. Kerja efektif, praktis dan akurat diperlukan baikuntuk menjalani kehidupan saat ini (sebagai mahasiswa) maupun nanti bilamemasuki dunia kerja.

4 Matematika terapan diperlukan orang khususnya dalammembantu memecahkan masalah-masalah yang berkaitan denganperkembangan ipteks. Banyak masalah matematik dapat disajikan dalam bentukmodel matematika (mathematical model). Oleh karena itu, khususnya bagimahasiswa yang mengambil jurusan matematika, IPA dan Teknik perlupengetahuan dasar bagaimana cara mencari solusi suatu model mahasiswa sudah saatnya memperhatikan pendayagunaanmatematika terapan yang berkaitan dengan pemodelan matematika.

5 Dasar-dasar matematika dan sain (mathematics and sciences) yang mengarah pada3pemecahan masalah sehari-hari perlu dipelajari dan dikuasai sedini mungkinoleh mahasiswa, agar nanti pada saat memasuki dunia kerja mereka dapatberadaptasi dengan ipteks yang diprediksi jauh lebih maju dari saat ini. Bagimahasiswa, mata kuliah PERSAMAAN DIFERENSIAL biasa (ordinary differentialequation)merupakan mata kuliah yang dapat mengantarkan ke pemikiran-pemikiran menerapkan matematika baik secara konseptual untuk memecahkanmasalah gejala alammaupun secara praktis untuk mengembangkan yang ingin mendalami masalah pemodelan matematikadiharapkan mempelajari konsep-konsep dasar materi ilmu lainnya.

6 Salah satuupaya agar para mahasiswa menyadari bahwa matematika memiliki daya gunadalam kehidupan sehari-hari adalah pertama-tama dengan mengamati gejalaatau fenomena alam yang kemudian secara matematik dicari modelnya dalambentuk PERSAMAAN DIFERENSIAL . Bagi mahasiswa masalah pemodelan matematikaini termasuk materi yangsulit dipahami apalagi bila mahasiswa dituntut mencariatau mengembangkan model matematika baru, sebab pada umumnyapenguasaan mahasiswa terhadap konsep bidang ilmu lainnya umumnya padatingkatan rendah.

7 Oleh karena itu, mahasiswa diharapkan mempelajari konsepdasar bidang ilmu lainnya yang berkaitan dengan masalah yang satu cara mempelajari PERSAMAAN DIFERENSIAL dalam rangkamemahami peran matematika dibidang ipteks adalah dengan mempelajaricontoh-contoh penerapan matematikayang sudah ada (literature study). Di awalketika mempelajari PERSAMAAN DIFERENSIAL mahasiswa diharapkan lebihmenekankan pada penguasaan konsep dasar matematik dan keterampilanmencari solusi PERSAMAAN DIFERENSIAL .

8 Karena terdapat banyak bentukpersamaandiferensial, maka dalam mencari solusi ini umumnya melibatkanberbagai teknik mencari solusi PERSAMAAN DIFERENSIAL . Oleh karena itu,mahasiswa perlu menguasai dan memahami berbagai teknik mencari solusipersamaan DIFERENSIAL . Selanjutnya mahasiswa diharapkan dapat memfokuskanpada penguasaan konsep-konsep yang melatarbelakangi munculnya modelmatematika dalam bentuk PERSAMAAN DIFERENSIAL . Di samping itu, agarmahasiswa dapat memahami sifat solusi suatu PERSAMAAN DIFERENSIAL denganlebih baik dapat digunakan komputer sebagai alat bantu dalam mencari solusimaupun menggambar grafik Pengertian PERSAMAAN DiferensialDalam mata kuliah kalkulus dipelajari bagaimana cara mencari turunanfungsi y = f(x), yaknidxdy= y = f (x).

9 Misalnya y = cos 2x + 7ex , maka turunannya adalahdxdy=-2 sin 2x-7ex .( )Atau bila diberikan suatu PERSAMAAN berbentuk h(x,y) = konstan, maka dapatditurunkan secara implisit untuk memperolehdxdy, misalnya x2+ y2= 16 dapatditurunlan secara implisit menjadi2x + 2ydxdy= 0, ataudxdy=-yx .( ) PERSAMAAN ( ) dan ( ) memuat suatu fungsi dan turunannya merupakancontoh-contoh PERSAMAAN Definisi ( PERSAMAAN DIFERENSIAL ) PERSAMAAN DIFERENSIAL adalah suatu PERSAMAAN yang memuat turunanterhadap satu atau lebih dari variabel-variabel bebas (independent variables).

10 Bila hanya ada satu variabel bebas yang diasumsikan, maka subyek disebutpersamaan DIFERENSIAL biasa (ordinary differential equation). Kedua contoh ( )dan ( ) adalah contoh PERSAMAAN DIFERENSIAL biasa. Contohlain persamaandiferensial biasa sebagai 2x + + 2y = dy + y dx = 4 + 2 (y )2+ y = cos (y )2+ (y )3+ 3y = pada PERSAMAAN DIFERENSIAL ada dua atau lebih variabel bebas dan memuatturunan parsial maka dinamakan PERSAMAAN DIFERENSIAL parsial (partialdifferential equation).