Physique

1 Physique 1 re ann e - 2 me ann e PSI. Vincent D mery 2. Ce document est publi sous licence libre CC by SA . Le texte int gral est disponible l'adresse suivante : Table des mati res I l ments math matiques 7. 1 l ments d'analyse vectorielle 9. 2 Notions sommaires d'analyse de Fourier 13. II M canique du point et des syst mes de points 15. 3 Cin matique du point 17. 4 Dynamique du point mat riel dans les r f rentiels galil ens 19. 5 tude nerg tique 21. 6 Th or me du moment cin tique 23. 7 Changement de r f rentiel 25. 8 Dynamique dans les r f rentiels non galil ens 27. 9 Syst me de deux points mat riels 29. 10 Syst me isol de deux particules 31. 11 Particules en interaction newtonienne 33. 12 Oscillateurs 35. III Thermodynamique 37. 13 Th orie cin tique du gaz parfait 39. 14 Gaz r els 41.

2 15 Statique des fluides 43. 16 Premier principe de la thermodynamique 45. 17 Second principe de la thermodynamique 47. 18 tude d'un corps pur sous deux phases 49. 19 Ph nom nes de transfert 53. IV lectromagn tisme 55. 20 lectrostatique 57. 21 Analogies avec l'interaction gravitationnelle 59. 22 Dip le lectrostatique 61. 23 Milieux conducteurs 63. 24 Magn tostatique 65. 4 TABLE DES MATI RES. 25 Mouvement d'une particule dans un champ lectromagn tique 67. 26 quations de Maxwell 69. 27 Induction lectromagn tique 73. 28 Effet Hall 75. 29 Dip le magn tique 77. 30 Ferromagn tisme et applications 79. V lectricit , lectronique, conversion de puissance 83. 31 Mod lisation des circuits, lois de Kirchhoff 85. 32 Dip les lectrocin tiques 87. 33 Th or mes g n raux 89. 34 R seaux en r gime sinuso dal forc 91.

3 35 Syst mes lin aires invariants : g n ralit s 93. 36 Syst mes lin aires classiques 95. 37 Syst me lin aire en r gime non sinuso dal 97. 38 Grandes fonctions lin aires 99. 39 Commande d'un syst me lin aire 101. 40 Multiplication des signaux 103. 41 Modulation, d modulation 105. 42 Applications de la multiplication et de la d tection synchrone 107. 43 Conversion lectrom canique 111. 44 Conversion lectronique statique 115. VI Ondes 117. 45 Mat riaux structure discontinue et structure continue 119. 46 Cordes 121. 47 Ondes longitudinales unidimensionnelles dans un solide 125. 48 Dispersion, absorption 127. 49 Ondes lectromagn tiques dans le vide 129. 50 Ondes lectromagn tiques transversales dans d'autres milieux 131. VII Optique 135. 51 Fondements de l'optique g om trique 137.

4 52 Miroirs et lentilles dans l'approximation de Gauss 139. TABLE DES MATI RES 5. 53 Interf rences lumineuses 141. 54 Interf rences donn es par des lames minces 145. 55 Interf rom tre de Michelson 147. 56 Diffraction des ondes lumineuses 151. 57 R seaux plans 155. 58 Interf rences ondes multiples 159. VIII M canique des fluides 161. 59 Cin matique des fluides 163. 60 quation d'Euler, th or me de Bernouilli 167. 61 Fluides visqueux 169. 62 Bilans m canique et thermodynamique 171. 63 Ondes sonores dans les fluides 175. A Unit s et constantes 179. 6 TABLE DES MATI RES. Premi re partie l ments math matiques 1. l ments d'analyse vectorielle D finitions Champ de scalaires : application qui chaque point de l'espace associe un scalaire ( un nombre). Champ de vecteurs : application qui chaque point de l'espace associe un vecteur.

5 Bords de volumes et de surfaces : pour un volume V , on note V la surface d limitant ce volume, orien- t e vers l'ext rieur (on l'appelle aussi bord de V ). De m me, pour une surface orient e (non ferm e) S , on note S le contour faisant le tour de cette surface ; son orientation d pend de celle de la surface (c'est le bord de S ). Un exemple est donn Fig. 1. Caract ristiques usuelles des champs Surface de niveau : pour un champ scalaire f , ensemble de points M tel qu'il existe une constante k v rifiant f (M ) {k} .. Ligne de champ : pour un champ vectoriel A , ligne L telle que M L , t (M ) est colin aire A (M ) , .. o t (M ) est le vecteur tangent L en M . Grandeurs fondamentales associ es un champ de vecteurs . Z.. Circulation d'un champ de vecteurs : sur un contour C orient , C = A d l.

6 Plus pr cis ment, un C.. Z 1 .. contour est une application : [0, 1] R3 et C = A (s) (s) d s. 0 s . Z.. Flux d'un champ de vecteurs : travers une surface S orient e : = A d S . Une d finition plus S. pr cise fait intervenir une param trisation de la surface. S. S. Fig. Surface orient e et son bord. 10 1 l ments d'analyse vectorielle z u z z u z . u r M M . u . u y M.. u .. u . x ur r u .. x y . r Fig. Coordonn es cart siennes, cylindriques et polaires. Rep rage d'un point dans l'espace Coordonn es cart siennes : un point M est rep r par ses coordonn es (x, y, z) telles que . OM = x . u + y . x u + z . y u . z Coordonn es cylindriques : un point M est rep r par ses coordonn es (r, , z) telles que . OM = r . u + z . r u . z . Coordonn es sph riques : un point M est rep r par ses coordonn es (r, , ) telles que OM = r.

7 U r . Op rateurs fondamentaux Gradient : grandeur vectorielle associ e un champ scalaire : D finition : le gradient du champ scalaire f v rifie .. d f = grad f d r o d f = f r + d r f r .. A d rive d'un potentiel scalaire f si A = grad f . Expression du gradient dans les diff rents syst mes de coordonn es : f f f .. u x + u y + u z .. x y z .. f 1 f f .. grad f = u r + u + u z r r z f 1 f 1 f .. u r + u .. + u .. r r r sin .. x .. Expression avec l'op rateur = y : grad f = f .. z Rotationnel : grandeur vectorielle associ e un champ vectoriel : . A. x .. D finition : pour un champ A = A y , rot A = A . Az . I Z.. Th or me de Stokes : pour une surface orient e S , A dl = rot A d S . Ce th or me se S S. montre facilement pour des contours et surfaces l mentaires et bien orient s, ce qui s' tend ensuite naturellement au cas g n ral.

8 Propri t : on montre ais ment que rot grad f = 0 . Si rot A = 0 sur un volume convexe, A. d rive d'un potentiel scalaire sur ce volume (ce volume sera le plus souvent l'espace tout entier). Formules d'analyse vectorielle 11. Divergence : grandeur scalaire associ e un champ vectoriel : . A y D finition : avec les m mes notations, div A = A = A x A z x + y + z . Th or me d'Ostrogradski : pour une surface S ferm e, orient e vers l'ext rieur et le volume V , . I Z.. int rieur la surface : A d S = div A dV . Ce th or me se montre de la m me mani re V V. que le th or me de Stokes.. Propri t : on montre que div rot A = 0 . Si div A = 0 sur un volume convexe, A d rive d'un potentiel vectoriel sur ce volume.. Laplacien : il est d finit pour un champ scalaire f par f = div grad f = 2 f.

9 En coordonn es car- 2 2 2. t siennes, = x 2. + y 2 + z 2 . Cette derni re expression permet de d finir le laplacien pour un champ vectoriel. Formules d'analyse vectorielle Formule du gradient : cette formule,Zde m me que Iles deux formules suivantes, se montre de la m me . mani re que le th or me de Stokes : grad f dV = f dS. V V.. I Z. Formule de Kelvin : f dl = d S grad f . S S.. Z I.. Formule du rotationnel : rot A dV = dS A . V V. 12 1 l ments d'analyse vectorielle 2. Notions sommaires d'analyse de Fourier Th or me de Fourier : toute fonction T -p riodique f valeurs complexes peut se d composer sous la forme : + . c n e i n t X. f (t ) =. n= . 2 . avec = T et c n C n-i me coefficient de Fourier de f . Cette d composition est appel e d veloppe- ment en s rie de Fourier.

10 La convergence de la suite de fonctions du deuxi me membre vient de r sultats purement math ma- tiques : th or me de Weierstrass (approximation d'une fonction p riodique par des polyn mes trigono- m triques) et alg bre sur des espaces complexes. Calcul des coefficients de la d composition : on montre facilement en utilisant la d composition de f dans le calcul de l'int grale que : 1 t0 +T. Z. cn = f (t )e i n t d t T t0. D composition des fonctions r elles : dans le cas o f est une fonction valeurs r elles, elle peut se d composer sous la forme : + . X. f (t ) = a 0 + a n cos n t + b n sin n t n=1. o les coefficients r els a n et b n sont donn s par : 1 t1 +T. Z. a0 = f (t )d t T t1. Z t1 +T. 2. an = f (t ) cos(n t )d t T t1. Z t1 +T. 2. bn = f (t ) sin(n t )d t T t1. Formule de Parseval : on montre la relation suivante pour la d composition ci-dessus d'une fonction.