Planche no 26. Polynômes - maths-france.fr

1 Planche no26. Polyn mes* tr s facile ** facile ** difficult moyenne ** difficileI : Incontournable T : pour travailler et m moriser le coursExercice no1 (**I)Calculeran=n 1Yk=1sink npourn> no2 (**)Pourn N etk J0, n 1K, on pose k=e2ik /n. On noteQle polyn meQ=1+2X+..+nXn 1Yk=0Q( k).Exercice no3 (**I)(Calcul de+ Xn=11n2= 26)1)Soientpun entier naturel etaun r el. Donner le d veloppement de(cosa+isina)2p+1puis en choisissant astucieu-sementa, d terminerpXk=1cotan2k 2p+1. En d duire alorspXk=11sin2k 2p+ )Pournentier naturel non nul, on poseun=nXk=11k2. Montrer que la suite(un)n N converge (pour majorerun, onremarquera que1k261k(k 1)).3)Montrer que pour tout r elxde]0, 2[, on a cotanx <1x< )En d duire un encadrement deunpuis la limite de(un).Exercice no4 (**IT)D terminer le PGCD deX6 7X4+8X3 7X+7et3X5 7X3+3X2 no5 (**T)Pour quelles valeurs de l entier naturelnle polyn me(X+1)n Xn 1est-il divisible parX2+X+1?Exercice no6 (**)SoitPun polyn me coefficients r els tel que x R, P(x)>0.

2 Montrer qu il existe deux polyn mesRetS coefficientsr els tels queP=R2+ no7 (**)SoitPun polyn me diff rent deX. Montrer queP(X) XdiviseP(P(X)) no8 (**)SoitPun polyn me coefficients entiers relatifs de degr sup rieur ou gal 1. Soitnun entier relatif etm=P(n).1)Montrer que k Z, P(n+km)est un entier divisible )Montrer qu il n existe pas de polyn mes non constants coefficients entiers tels queP(n)soit premier pour tout Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits r serv no9 (**)(Polyn mesPv rifiantP(Z) Z)SoitEla partie deC[X]form e des polyn mesPv rifiant a Z, P(a) )On poseP0=1et pournentier naturel non nul,Pn=1n!nYk=1(X+k)(on peut d finir la notationPn=CnX+n). Montrerque n N, Pn )Montrer que toute combinaison lin aire coefficients entiers relatifs desPnest encore un l ment )Montrer queEest l ensemble des combinaisons lin aires coefficients entiers relatifs no10 (**)Division euclidienne deP=sinaXn sin(na)X+sin((n 1)a)parQ=X2 2 Xcosa+1,ar el donn ,n> no11 (**I)(Th or me deLucas.

3 SoitP C[X]de degr sup rieur ou gal 1. Montrer que pour toute racinezdeP , il existe des r els positifs 1, .. , n,de somme gale 1tels quez=nXk=1 kzko z1, .. ,znsont lesnracines distinctes ou confondues dePdansC(on ditque les racines deP sont des barycentres coefficients positifs des racines dePou encore que les racines deP sont dansl enveloppe convexe des racines deP). Indication : calculerP no12 (**)D composer en produit de facteurs irr ductibles dansR[X]le polyn meX6 2X3cosa+1o aest un r el donn dans[0, ].Exercice no13 (**T)Trouver un polyn me de degr 5tel queP(X) +10soit divisible par(X+2)3etP(X) 10soit divisible par(X 2) no14 (**I)Trouver les polyn mesPdeR[X]v rifiantP(X2) =P(X)P(X+1)(penser aux racines deP).Exercice no15 (**T)D terminera Ctel queP=X5 209X+aadmette deux z ros dont le produit no16 (**T)Soit(ak)16k65la famille des racines deP=X5+2X4 X 1. Calculer5Xk=1ak+2ak no17 (**)R soudre dansC3le syst me : x+y+z=11x+1y+1z=1xyz= no18 (**T)Trouver tous les polyn mesPv rifiantP(2X) =P (X)P (X).

4 Exercice no19 (**)1)SoitP=nXk=0akXkun polyn me non nul de degr n N, dont les coefficientsa0, .. ,an, sont des entiers entier relatif non nul etqun entier naturel non nul tels que PGCD(p, q) =1puisr= que siP(r) =0, )Factoriser dansC[X]le polyn me12X4+X3+15X2 20X+ no20 (**)Soitn N . Montrer que(X 1)2n X2n+2X 1est divisible par2X3 3X2+Xpuis d terminer le Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits r serv no21 (**I)1)Soitnun entier naturel non nul. D terminer deux polyn mesUetVtels queUXn+V(1 X)n=1et deg(U)< netdeg(V)< )Plus g n ralement, sinetmsont deux entiers naturels non nuls, d terminer deux polyn mesUetVv rifiantUXn+V(1 X)m=1et deg(U)< met deg(V)< no22 (**I)SoitPun polyn me r el de degr sup rieur ou gal ) a)Montrer que siPn a que des racines simples et r elles, il en est de m me deP .b)Le r sultat persiste-t-il si on suppose simplement que les racines dePsont simples mais pas n cessairement r elles ?2)Montrer que siPest scind surR, il en est de m me deP.

5 Exercice no23 (**)Former une quation du sixi me degr dont les racines sont les sink 7o k { 3, 2, 1, 1, 2, 3}puis montrer que ces sixnombres sont no24 (**)R soudre dansC3le syst me y2+yz+z2=7z2+zx+x2=13x2+xy+y2= no25 (**)D terminer et complexes tels que les z ros dez4 4z3 36z2+ z+ soient en progression arithm no26 (**)R soudre dansCl quationz4 21z+8=0sachant qu il existe deux des solutions sont inverses l unede l no27 (**)Soientx1,x2,x3les z ros deX3+2X 1. Calculerx41+x42+ no28 (**)SoitPun polyn me coefficients complexes de degr que les images dans le plan complexe des racines dePforment un parall logramme si et seulement siP etP(3)ont une racine communeExercice no29 (**I)Soitnun entier naturel sup rieur ou gal 2. Pourk Z, on pose k=e2ik )Calculern 1Yk=0(1+22 k).2)Montrer que, pour tout r ela,n 1Yk=0( 2k 2 kcosa+1)=2(1 cos(na))(questions ind pendantes.)http Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits r serv s.