Polynome und ihre Nullstellen - Universität des Saarlandes

1 Polynome und ihre Nullstellen29. Juli 2017 Inhaltsverzeichnis1 Einleitung22 Explizite Berechnung der vom Grad 0 .. vom Grad 1 .. vom Grad 2 .. vom Grad 4 .. vom Grad 3 .. von Polynomen ..1011 EinleitungIn diesem Kapitel wollen wir bestimmte Funktionen, diePolynome, betrachten. Diesesind von besonderer Bedeutung, da sie relativ einfach zu handhaben sind, man mitihnen aber auch eine gro e Klasse von Funktionen beliebig gut approximieren werden wir uns f r dieNullstellenvon Polynomen Funktionf:R Rhei tPolynom, wennfvon der Formf(x)=anxn+an 1xn 1+ +a1x+a0,n N,a0,..,an R,an,0ist. Die Zahlnhei t derGradvonf,anist derLeitkoeffizientvonfunda0ist derkonstanteTerm. Istan=1, so hei t das Zahla Rmitf(a)=0 hei Beispiele f r Polynome sind:(i) Seia R,a,0. Dann ist die konstante Funktionf(x)=af r allexein Polynom vom Grad 0 ohne Nullstellen .

2 (ii) Sein Neine nat rliche Zahl. Dann ist die Funktionf(x)=xnein Polynom vom Gradnmit der einzigen Nullstelle t auch dasMonomvom Gradn.(iii) Die Funktionf(x)=x2 1ist ein Polynom vom Grad 2 mit den beiden Nullstellen 1.(iv) Die Funktionf(x)=x2+12ist ein Polynom vom Grad 2 ohne reelle Nullstellen , das hei t, es gibt keina Rmitf(a)= Nullstellen eines Polynoms sind die Werte, an denen der Graph des Polynoms diex-Achse (x)f(x)=x2 1 11 Abbildung 1: Der Graph des Polynomsx2 1 schneidet diex-Achse an den Punkten 1(vgl. Beispiel (iii)).Bemerkung k nnen jedes gegebene Polynomfnormieren, indem wir es durch den Leitkoeffi-zientenanteilen. Dabei ndern wir nicht die Nullstellen , daf(a)=0 f(a)an=0gilt. Wir k nnen also stets vor dem Ausrechnen der Nullstellen eines Polynoms dasPolynom normieren, um so die Rechnung zu Explizite Berechnung der NullstellenDie Nullstellen eines normierten Polynoms charakterisieren dieses oftmals komplett,siehe auch den Abschnitt ber Faktorisierung von Polynomen am Ende des ist die Berechnung der Nullstellen f r Polynome von besonderer r allgemeinen Grad ist es allerdings nicht m glich, eine allgemeine Formel f r dieNullstellen hinzuschreiben.

3 Wir werden daher im Folgenden nur bestimmte F lle unter-suchen, in denen wir die Nullstellen durch bestimmte Tricks bestimmen k nnen. Dabeiwerden wir uns gem Bemerkung meistens auf normierte Polynome einschr Polynome vom Grad 0 Polynome vom Grad 0 haben lediglich einen konstanten Terma0und wurden bereits inBeispiel (i) !Die konstante Funktion f(x)=0 f r allex ist ebenfalls ein Polynom, abermit unendlich vielen Polynome vom Grad 1 Istf(x)=x+aein Polynom vom Grad 1, so sehen wir direkt, dassf(x)=0 genau dann gilt, wennx= aist. Also hatfdie eindeutige Nullstelle a(Ein Polynom vom Grad 1 hei twegen seines Graphen auchlinear). Polynome vom Grad 2 Sei nunf(x)=x2+px+q,p,q Rein Polynom zweiten Grades. Was sind die Nullstellen vonf? hier k nnen wir sie nochexplizit und schnell ausrechnen:4x2+px+q=0| q x2+px= q|+p24 x2+px+p24=p24 q|(a2+2ab+b2)=(a+b)2 (x+p2)2=p24 qWir k nnen nun auf beiden Seiten die Wurzel ziehen.

4 Daf r nehmen wir an, dassp24 q 0 ist (aus negativen Zahlen k nnen wir schlie lich keine Wurzel ziehen). Dannerhalten wir:(x+p2)2=p24 q| ( ) x+p2= p24 q| p2 x= p2 p24 qWir erhalten also diep-q-Formel:Satz rf(x)=x2+px+qsind die Nullstellenx1,x2gegeben durchx1,2= p2 p24 q,(p-q-Formel)sofernp24 q 0 sagt uns also die Zahlp2/4 q ber die Anzahl der Nullstellen ? p2/4 q<0 Es gibt keine reelle Nullstelle. p2/4 q=0 x= p/2 0 x= haben also insgesamt eine reelle p2/4 q>0 x1,2= p/2 p2/4 haben also zwei verschiedene reelle Polynom vom Grad 2 kann also entweder keine, genau eine oder zwei Nullstellenin den reellen Zahlen (i)f(x)=x2+x 6, alsop=1,q= 6. Die p-q-Formel liefert:x1,2= 12 14+6= 12 254Da 25/4>0 ist, erhalten wir die zwei Nullstellenx1= 12+52=2,x2= 12 52= Probe zeigt uns, dass dies tats chlich die Nullstellen sind:f(2)=22+2 6=4+2 6=0,f( 3)=( 3)2 3 6=9 3 6=0(ii)f(x)=x2+2x+2, alsop=2,q=2.

5 Also:p24 q=1 2= 1< hatfkeine r ein (nicht notwendig normiertes) Polynom vom Grad 2 l sst sich neben der p-q-Formel auch dieMitternachtsformelverwenden:Istf(x)=a x2+bx+cund setzen wir =b2 4ac, so erhalten wir, im Fall 0, diebeiden Nullstellen vonfalsx1,2= b beiden Formeln sind (f ra=1) vollkommen quivalent und beide k nnen beendet unsere Untersuchung der Polynome vom Grad 2. F r Polynome vom6 Grad 3 und 4 gibt es ebenfalls Formeln hnlich der p-q-Formel. Diese sind jedoch weitauskomplizierter und sie auswendig zu lernen ist nicht wirklich praktikabel. Stattdessenwerden wir f r diesen Fall einige Tricks kennenlernen, die uns in manchen F llen dieNullstellen solcher Polynome liefern. Doch zun chst eine Bemerkung, die auf Polynomebeliebigen Grades (x)=anxn+an 1xn 1+ +a1xein Polynom ohne konstanten Terma0, so ist0 stets eine Nullstelle des Polynoms.

6 Wir k nnen dannf(x)=xg(x) schreiben mitg(x)=anxn 1+ +a1. Das Polynomghat kleineren Grad alsfund die Nullstellen vongsind die restlichen Nullstellen (x)=x3+x2 6xist vom Grad 3 und l sst sich schreiben alsf(x)=x(x2+x 6). Alsoist 0 ist eine Nullstelle vonfund die anderen beiden Nullstellen haben wir bereits inBeispiel berechnet. Insgesamt hat das Polynomfalso die Nullstellen 0, 2 und stellen die Polynome vom Grad 3 f r einen Moment zur Polynome vom Grad 4 Sei ein Polynom vom Grad 4 gegeben mit der speziellen Formf(x)=x4+a2x2+a0,fenth lt also keine Terme mitx3oderx. Dann k nnen wir eineSubstitutionanwenden:Wir setzeny=x2und erhalten das Polynomg(y)=y2+a2y+a0. Dieses ist vom Grad2 und mit den Techniken von oben k nnen wir (falls vorhanden) Nullstelleny1,2desPolynoms bestimmen. Setzen wir nun (wenn m glich)x1,2= y1undx3,4= y2, soerhalten wir vier Nullstellen vonf(x).

7 Hnliches l sst sich nat rlich auch f r Polynome hnlicher Form vom Grad 6, 8 (i) Betrachten wir das Polynomf(x)=x4 5x2+6, so hat es diegew nschte Form und wir k nnen es durch die Substitutionx2=yin das Polynom7g(y)=y2 5y+6 berf hren. Die p-q-Formel liefert die beiden Nullstellen 2 und3 vong. Damit hat dannfdie vier Nullstellen 2, 3.(ii) F r das Polynomf(x)=x4 8x2+16 betrachten wir nach der Substitutiony=x2das Polynomg(y)=y2 8y+16, von dem wir (wiederum durch Anwendungder p-q-Formel) die Nullstellen 4 berechnen. Da wir aus -4 keine Wurzel ziehenk nnen, hat also auchfnur die zwei Nullstellen 4= Polynome vom Grad 3 Sei nunf(x)=x3+a2x2+a1x+a0ein Polynom vom Grad 3. hier l sst sich unse-re Vorgehensweise am besten an einem Beispiel vorf hren. Wir betrachten daf r dasPolynomf(x)=x3+4x2 51x bei Polynomen, deren Koeffizienten ganze Zahlen sind, lohnt es sich zun chst,verschiedene kleine Zahlen einzusetzen und zu schauen, ob 0 rauskommt.

8 Wirratenalso eine Nullstelle. Versuchen wir bei dem gegebenen Polynom die Zahlen 0, 1, 2,so sehen wir, dass 1 eine Nullstelle vonfist, dennf( 1)= 1+4+51 54= sehen aber weitere Nullstellen vonfaus? Hatf berhaupt weitere Nullstellen ?Um das herauszufinden, ist diePolynomdivisionein gutes Hilfmittel. Diese erm glichtuns, die Nullstelle 1 rauszuteilen und ein Polynom vom Grad 2 zu erhalten, dessenNullstellen wir wie vorher bestimmen k nnen. Wir suchen ein Polynomg(x), sodassf(x)=(x+1)g(x) gilt. hier taucht der Faktor (x+1) auf, da 1 eine bekannte Nullstellevonfist und ebenso eine Nullstelle von (x+1). Daf r gehen wir Schritt f r Schritt durchdie Polynomdivision: Zun chst schreiben wir das Polynom und seine Nullstelle, durch die wir teilenwollen, nebeneinander:(x3+4x2 51x 54) (x+1)= Nun dividieren wir den gr ten Exponenten links durch den Exponenten deszweiten Polynoms:(x3+4x2 51x 54) (x+1)=x2 Als n chstes multiplizieren wir diesen neuen Term auf der rechten Seite mit (x+1)8und ziehen das Ergebnis vom Polynom ab:(x3+4x2 51x 54) (x+1)=x2 x3 x23x2 51x Dieses Vorgehen wiederholen wir nun f r das k rzere Polynom: Erst den gr tenExponenten dividieren(x3+4x2 51x 54) (x+1)=x2+3x x3 x23x2 51x,dann alles multiplizieren und wieder abziehen.

9 (x3+4x2 51x 54) (x+1)=x2+3x x3 x23x2 51x 3x2 3x 54x 54 Nun das ganze ein letztes Mal und wir erreichen auf der linken Seite die 0.(x3+4x2 51x 54) (x+1)=x2+3x 54 x3 x23x2 51x 3x2 3x 54x 5454x+540 Nun steht unser gew nschtes Polynomg(x) auf der linken Seite, das hei tg(x)=x2+3x 54 undf(x)=(x+1)(x2+3x 54). Probe:(x+1)(x2+3x 54)=x3+3x2 54x+x2+3x 54=x3+4x2 51x 54=f(x).Die fehlenden Nullstellen vonfsind nun genau die Nullstellen vong, hier k nnen wir9also einfach die p-q-Formel anwenden und erhalten die restlichen Nullstellenx2=6undx3= 9. Wenn wir also bereits Nullstellen eines Polynoms kennen, k nnen wirmit der Polynomdivison ein zweites Polynom erhalten, das die restlichen Nullstellenhat und kleineren Grad hat. F hren wir dies weiter, f hrt uns dies zu einer besonderseinfachen Darstellung von Faktorisierung von PolynomenWenn wir zu einem gegebenen Polynom alle Nullstellen mit ihrer Vielfachheit kennen,so k nnen wir oftmals eine sehr einfache Form der Polynome seif(x) ein Polynom vom Gradnunda1.

10 ,akalle reellen Nullstellen vonf. Dannl sst sichfschreiben alsf(x)=(x a1)(x a2) (x ak)g(x), hier istgein Polynom vom Gradn kund hat keine reellen Nullstellen . Ist insbesonderen=k, das hei t, hatfgenaunreelle Nullstellen , so l sst sichfschreiben alsf(x)=(x a1)(x a2) (x an).Dies nennt man auch dieFaktorisierung von foder die Zerlegung diesen Zerlegungen kann es durchaus vorkommen, dass einige deraigleich sind,das hei t, dass also einige Nullstellen mehrfach vorkommen. In diesem Fall sprichtman von Nullstellen mitVielfachheit n, hierbei istndie H ufigkeit der Nullstelle in derFaktorisierung (x)=x3+4x2 51x 54 erhalten wir die Faktorisierung (siehe voriger Abschnitt):x3+4x2 51x 54=(x+1)(x+9)(x 6)10 Das Polynomg(x)=x3 3x2+3x 1 hat die Faktorisierungg(x)=(x 1)(x 1)(x 1),das Polynomghat also lediglich die Nullstelle 1, allerdings mit Vielfachheit