POTENCIAS Y RAÍCES - unizar.es

1 CURSO B SICO DE MATEM TICAS PARA ESTUDIANTES DE ECON MICAS Y EMPRESARIALES. Unidad did ctica 1. C lculo operacional: fracciones, POTENCIAS , ra ces y logaritmos Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguill n, Trinidad Zabal POTENCIAS Y RA CES. CONCEPTOS. Se llama potencia de base a y exponente el n mero natural n al resultado de multiplicar n veces n veces). el n mero a y se representa an = a. a .. a 3. Ejemplo 1: 72 = = 49 (-3)4 = (-3) (-3) (-3) (-3) = 81. 1 =. 1.. 1.. 1. =. 1.. 2 2 2 2 8. 1. Si el exponente es un n mero entero negativo la potencia se define a n =. an -3 3. Ejemplo 2: 6. -2. =. 1. =. 1 3 =. 5 =. 125.. 6. 2 36 5 3 27. n n Se llama ra z n- sima de a al n mero b tal que b = a y se representa a = b. Al n mero n se le llama ndice de la ra z y al n mero a radicando. Ejemplo 3: 4 2. 4. 625 = 5 ya que 5 = 625 121 = 11 ya que 11 = 121.

2 3. 0 001 = -0 1 ya que ( 0 1)3 = 0 001. q Si el exponente de una potencia es un n mero fraccionario, la potencia se define ap / q = ap 3 2 1 1 1. Ejemplo 4: 22/3 = 2 = 34 25 -1/2 = = =. 25 1/2 25 5. CONVENIO: a0 = 1, cualquiera que sea el n mero real no nulo a . PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS . 1. Para multiplicar POTENCIAS de la misma base se suman los exponentes, es decir, an . am = an + m -2 3 4 -2+3+4 5 -3 1/2 5-3+1/2 5/2. Ejemplo 5: 6 .6 .6 =6 = 65 7 .7 .7 =7 =7. an 2. Para dividir POTENCIAS de la misma base se restan los exponentes, es decir, = an m m a 5 3 8 8/3. 6 2 2 3. Ejemplo 6: = 65-2 = 63 = = 28/3 - 2 = 22/3 = 22. 62 22 22. ( ). m 3. Para elevar una potencia a otra potencia se multiplican los exponentes, es decir, a n = a n. m (5 ) ( ). 2 1/2. 3. Ejemplo 7: = 5-6 3. 5 = 51 / 3 = 51/6 = 6. 5. 4. La potencia de un producto es igual al producto de las POTENCIAS , es decir, ( ) n = an.

3 Bn Ejemplo 8: (6x)3 = 63x3 = 216x3. n a an 5. La potencia de un cociente es igual al cociente de las POTENCIAS , es decir, =. b bn 3. x x3 x3. Ejemplo 9: 2 = =. 23 8. Proyecto de innovaci n ARAG N TRES 1. CURSO B SICO DE MATEM TICAS PARA ESTUDIANTES DE ECON MICAS Y EMPRESARIALES. Unidad did ctica 1. C lculo operacional: fracciones, POTENCIAS , ra ces y logaritmos Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguill n, Trinidad Zabal PROPIEDADES DE LAS RA CES. 1. La ra z de un producto es igual al producto de las ra ces (corresponde a la propiedad 4 de n n n POTENCIAS ) = a. b 3 3 3. Ejemplo 10: 27000 = = 27 . 3 1000 = = 30. 2. La ra z de un cociente es igual al cociente de las ra ces (corresponde a la propiedad 5 de n a a POTENCIAS ) n =. b n b 3. 8 8 2. Ejemplo 11: 3 = =. 125 3. 125 5. 3. Al dividir el ndice de la ra z y el exponente del radicando por un mismo n mero el valor de la ra z no var a.

4 Am = n a Esta propiedad es til para sacar factores fuera de una ra z. Ejemplo 12: 6 15. a) 5 = 55 (se ha dividido el ndice y el exponente entre 3). 3. b) 3. -343 = (-7)3 = -7 (se ha dividido el ndice y el exponente entre 3). 5 16 5 15 5 15 5. c) 3 = 3 .3 = 3 . 3 = 33 5. 3 (se ha dividido el ndice y el exponente entre 5). Aplicando las anteriores propiedades anteriores, el producto y cociente de ra ces se calculan de la siguiente forma: n n n n a a Si tienen el mismo ndice: a. b= = n n b b 3 200 200. Ejemplo 13: 3. 5 3. 0 025 = 3. 5. 0 025 = 3. 0 125 = 0 53 = 0 5 = = 4 =2. 50 50. Si tienen distinto ndice, es necesario conseguir que tengan el mismo. Para ello, previamente se halla el m nimo com n m ltiplo de los ndices y se consigue que todas las ra ces tengan ese n m ndice aplicando la propiedad 3 escrita de la forma a = a Ejemplo 14: 6 4.

5 A) 5 125. En primer lugar, se ha de conseguir un ndice com n para ambas ra ces. Este ser el (6, 4) = 12. Aplicando la 2 12 2 1253 = 1253 . 6 4 12. propiedad 3, se tiene 5 = 5 = 5 y 125 =. (5 ). 3. 12 2 12 12 2 12 2 9 12 11. Por tanto, 6. 5 4. 125 = 5 1253 = 5 1253 = 12 52 3. = 5 5 = 5. 3. 7. b). 6. 14. 3 2. 7 7 49 7. Como (6, 3) = 6, se tiene = = 6 = 6. 6. 14 6. 14 14 2. Proyecto de innovaci n ARAG N TRES 2. CURSO B SICO DE MATEM TICAS PARA ESTUDIANTES DE ECON MICAS Y EMPRESARIALES. Unidad did ctica 1. C lculo operacional: fracciones, POTENCIAS , ra ces y logaritmos Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguill n, Trinidad Zabal FUNCI N POTENCIAL Y FUNCI N EXPONENCIAL. (Para m s informaci n ver Unidad did ctica 7: Funciones reales de variable real). Se llama funci n potencial a cualquier funci n de la forma f(x) = x a , siendo a un n mero real fijo.

6 Ejemplo 15: Son funciones potenciales: f(x) = x 2 , g(x) = x 1 , h(x) = x1 / 2 . El dominio, gr fica y caracter sticas de una funci n potencial depende del n mero a que figura en el exponente. Ejemplo 16: Los dominios y gr ficas de las funciones potenciales del ejemplo anterior son: f(x) = x 2 con D = (- , + ) g(x) = x 1 con D = R - {0} h(x) = x1 / 2 con D = [0, + ). Se llama funci n exponencial de base a , con a > 0, a la funci n f(x) = aX . Tambi n de denota f(x) = expa x. La funci n exponencial m s utilizada es la que tiene por base el n mero e, de hecho cuando hablemos de la funci n exponencial sin especificar la base, entenderemos que es la que tiene por base dicho n mero. x 1 . Ejemplo 17: Son funciones exponenciales f(x) = y g(x) = e x 2 . El dominio de las funciones exponenciales es R y las gr ficas son similares, dependiendo del valor de la base a: Si 0 < a < 1, la funci n f(x) = aX es estrictamente decreciente y su gr fica es del tipo: Proyecto de innovaci n ARAG N TRES 3.]

7 CURSO B SICO DE MATEM TICAS PARA ESTUDIANTES DE ECON MICAS Y EMPRESARIALES. Unidad did ctica 1. C lculo operacional: fracciones, POTENCIAS , ra ces y logaritmos Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguill n, Trinidad Zabal x Si a = 1, se obtiene la funci n constante f(x) = 1 = 1, cuya gr fica es: Si a > 1, la funci n f(x) = aX es estrictamente creciente y su gr fica es del tipo Ejemplo 18: Las gr ficas de las funciones exponenciales del ejemplo anterior son: x 1 . f(x) = g(x) = e x 2 . Proyecto de innovaci n ARAG N TRES 4.