Transcription of PRÁCTICA 11: Ecuaciones Diferenciales de primer orden 1.
1 PR CTICA 11: Ecuaciones Diferenciales de primer orden 1. Un cuerpo a una temperatura de 50 F se coloca al aire libre donde la temperatura es de 100 F. Si despu s de 5 minutos la temperatura del cuerpo es de 60 F, obtener el tiempo que tardar en tener una temperatura de 75 F y la temperatura despu s de 20. minutos. Utilizad la ley de Newton del enfriamiento que dice que la velocidad a que se enfr a una sustancia al aire libre es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la sustancia y la del aire. dT T (0) = 50. = k [M (t ) - T (t )] = k [100 - T (t )]. dt T (5) = 60. dT. = kdt - ln 100 - T (t ) = kt + C 100 -T (t ) = Ce -kt 100 - T (t ). T (t ) = 100 + Ce -kt T (0) = 50 50 = 100 + C C = -50 T (t ) = 100 - 50e -kt 1 4.
2 T (5) = 60 60 = 100 - 50e -5k k = - ln = 0, 044629. 5 5 . T (t ) = 100 - 50e -0,044629t 1 1 . 75 = 100 - 50e -0,044629t t = - ln = 15, 531 minutos. 0, 044629 2 . T (20) = 100 - 50e -0,044629 20 = 79, 52 F. 2. Un dep sito contiene inicialmente 100 litros de una soluci n salina que contiene 1 Kg. de sal. Para t = 0, otra soluci n salina que contiene Kg. de sal por litro se agrega al dep sito a una velocidad de 10 litros/minuto, mientras una soluci n bien mezclada sale del dep sito a la misma velocidad. Hallar: a) la cantidad de sal en el dep sito en un momento t. b) la cantidad de sal en el dep sito cuando han transcurrido 2 minutos. x (t) = Kg. de sal dentro del dep sito en el instante t 10L/min dx x 100L.
3 = 10 - 10 . dt 100 .. x (0) = 1 .. x(0) = 1kg 10L/min .. dx 10 - x dx dt t = = - ln 10 - x = +C. dt 10 10 - x 10 10. t -t 10 -t 10. ln 10 - x = - + C 10 - x = Ce x (t ) = 10 + Ce 10. -t 10. x (0) = 1 1 = 10 + C C = -9 x (t ) = 10 - 9e -2 10. x (2) = 10 - 9e = 10 - 9e -0,2 = 2,63142 kilogramos de sal 3. Un dep sito de salmuera contiene 200 litros de agua en los que hay disueltos 30 gramos de sal, y entran 4 litros por minuto de soluci n con 1 gramo de sal por litro. La mezcla permanece bien mezclada y sale al exterior con velocidad de 8 litros por minuto. Determinar la ecuaci n que modeliza el proceso y calcular la cantidad de gramos de sal que hay en el dep sito en cualquier instante. Cu ndo se vac a el dep sito?
4 , en qu . instante se alcanza la m xima cantidad de sal en el dep sito?, cu l es esa cantidad m xima? x (t) = Kg. de sal dentro del dep sito en el instante t dx x . 4L/min = 4 1- 8 . dt 200 - 4t .. 200L. x (0) = 30 .. 1g/L x(0) = 30g 8L/min dx 2x dx 2. = 4- + x =4. dt 50 - t dt 50 - t 2. 50-t dt 1. m (t ) = e = e -2 ln(50-t ) = 2. (50 - t ). 4 2 4 . x (t ) = (50 - t ) . 2 2. dt + C = (50 - t ) + C = 4 (50 - t ) + C (50 - t ). (50 - t )2. 50 - t .. 2. x (0) = 30 30 = 4 50 + C (50) = 30 - 200 = -170 C = -0,068. 2. x (t ) = 4 (50 - t ) - 0,068 (50 - t ). V (t ) = 200 - 4t 200 - 4t = 0 t = 50 minutos x (t ) = 0 -4 + 0,136 (50 - t ) = 0 0,136 (50 - t ) = 4 t = 20,5882. minutos 2. x (20,5882) = 4 (50 - 20,5882) - 0,068 (50 - 20,5882) = 58,8235 kilos de sal Ejercicio 1.
5 Resolver ( T'(t) k ( 100 T(t) ) ). 100 e k t c T (t). e k t 100 e k 0 c 50. e k 0. resolver 100 e k 5 c 60. e k 5. { {c 50.,k } }. 100 e t 50. resolver 75 { { t } }. e t 100 e 20 50. e 20. Ejercicio 2. t x(t) 10 e 10 c resolver x'(t) 1 x (t) t 10. e 10. 0. 10 e 10 c resolver 0. 1 { {c 9} }. e 10. 2. 10 e 10 9. 2. e 10. 1/2. Ejercicio 3. 8 x(t). resolver x'(t) 4. 200 4 t { {x (t) c t2 100 c t 2500 c 4 t 200 } }. resolver ( c 0 2 100 c 0 2500 c 4 0 200 30. ). { {c } }. resolver ( 200 4 t 0 ) { { t 50 } }. resolver ( ( t 2 100 t 2500 4 t 200 ) ' 0 ). { { t } }. 2 100 2500 4 . 200. 2/2.
