PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA - DCB

1 FACULTAD DE INGENIER APROBABILIDADYESTAD STICAI rene Patricia Valdez y N A MVersi n revisada: junio 2018 Preparado por Irene Patricia Valdez y AlfaroT E M A S DEL lisis Estad stico de datos de la Teor a de la probabil sticos aleatorias por Irene Patricia Valdez y AlfaroCONTENIDO TEMA de la teor a de la :El alumno comprender el concepto de PROBABILIDAD , as como los teoremas en los que se basa esta teor determin sticos y aleatorios. Eventos y espacio de de PROBABILIDAD , c lculo de probabilidades a trav s de t cnicas de conteo y diagramas de n axiom tica de la conjunta, marginal y condicional, eventos independientes. PROBABILIDAD total, teorema de por Irene Patricia Valdez y AlfaroFUNDAMENTOS DE LA TEOR A DE LA PROBABILIDADCONCEPTOS B SICOSP reparado por Irene Patricia Valdez y AlfaroDEFINICIONES PREVIAS FEN MENO (EXPERIMENTO):Es todo aquel acto o acci n que se realiza con el fin de observar sus resultados y fen menos pueden clasificarse de acuerdo al tipo de resultados en: Determin sticoEs aquel cuyos resultados se pueden predecir de antemano.

2 Probabil stico (aleatorio) Es aquel en el que para las limitaciones actuales del conocimiento cient fico, no se puede predecir con certeza el por Irene Patricia Valdez y AlfaroESPACIO DE EVENTOS Al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio se le denomina ESPACIO DE EVENTOS (S). A cada posible resultado del espacio le llamaremos ELEMENTO. Un EVENTO en general es un conjunto de eventos simples (o posibles resultados del experimento). Si el evento est compuesto por un nico elemento le llamaremos EVENTO SIMPLE. Si el evento no tiene ning n resultado posible se le denomina EVENTO VAC espacio de eventos puede ser FINITO o INFINITO y a su vez DISCRETO O CONTINUOP reparado por Irene Patricia Valdez y AlfaroEJEMPLO: ESPACIO DE EVENTOSE xperimento:Arrojar dos dados y observar la suma de los puntos de las caras que quedan hacia :Y1 = los puntos del primer dado Y2 = los puntos del segundo dadoX = Y1+Y2 Cu l es el espacio de eventos de X?

3 S = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }S = { x| 2 x 12, x }Nota: debe observarse, en este caso, que el resultado x=4 puede presentarse siY1=2 y Y2=2,o bien siY1=1 y Y2= mismo ocurre con otros por Irene Patricia Valdez y AlfaroEJEMPLO: ESPACIO DE EVENTOSA lgunos eventos de este espacio son:A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 }S = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }B = { 7, 10, 11 }C = { 3, 5, 7, 9, 11 }ALGUNAS OPERACIONES ESTOS CON EVENTOS:A C = SA C = A B = { 10 }B C = { 3, 5, 7, 9, 10, 11 }B C = { 7, 11 }D = { 9 }C D = DNota: debe observarse, en este caso, que el resultado x=4 puede presentarse siY1=2 y Y2=2,o siY1=1 y Y2= mismo ocurre con otros por Irene Patricia Valdez y AlfaroDEFINICIONES PREVIAS Eventos mutuamente excluyentes: Si se tienen dos o m s eventos que pertenecen a S y al realizar el experimento solo puede ocurrir uno u otro, pero no simult neamente.

4 Eventos colectivamente exhaustivos: Si la uni n de los eventos es igual al especio de eventos. Eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos: Si se cumplen las dos condiciones anterioresPor ejemplo: A B = Por ejemplo: A B = SPor ejemplo: A B = y adem s A B = SPreparado por Irene Patricia Valdez y AlfaroEVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y COLECTIVAMENTE S, i=1, 2, .. k Ai= , i=1, 2, .. k Ai= S, i=1, 2, .. kLa intersecci n de todos los eventos Aies el conjunto uni n de todos los eventos Aies igual al especio de los eventos Aipertenecen al espacio de eventos por Irene Patricia Valdez y AlfaroCONCEPTO DE PROBABILIDADD ellat nprobabilitas,verosimilitud(verus,verdad eroy similissemejante). Fundadaaparienciadeverdad,calidaddeproba ble, INTERPRETACIONES DE PROBABILIDAD : SUBJETIVA CL SICA FRECUENTISTAP reparado por Irene Patricia Valdez y AlfaroINTERPRETACI N SUBJETIVADE LA PROBABILIDADD eacuerdoconestainterpretaci n,laprobabilidaddeuneventoeselgradodecer tidumbrequetieneunapersona,ogrupodeperso nas, ceroindicaunacertezaabsolutadequeelevent onoocurrir y unaprobabilidadiguala 1(100%)indicaunacertezaabsolutadequeelev entoocurrir.

5 Preparado por Irene Patricia Valdez y AlfaroINTERPRETACI N CLASICADE LA PROBABILIDADSean(S)eseln merodeelementos,igualmenteposiblesymutua menteexcluyentes,delespaciomuestralSdeun experimentoaleatorio, y sean(A)eln merodeelementosdeuneventocualquieraA ,alrealizarelexperimento,eslaproporci nden(A)conrespectoa n(S).)()(=)(SnAnAPPreparado por Irene Patricia Valdez y AlfaroINTERPRETACI N FRECUENTISTADE LA PROBABILIDADS iunexperimentoaleatorioseejecutanvecesba jolasmismascondiciones,ymdelosresultados sonfavorablesaleventoA,laprobabilidaddeq ueocurraeleventoA alrealizarnuevamenteelexperimentoes:nml mAPn =)(Unaformacom ndecalcularlaprobabilidadaproximadadeune ventoA,desdeelpuntodevistafrecuentista,e sdividiendoeln merodevecesqueocurreA,n(A); entreeln merototaldevecesqueseefect aelexperimentos,n(S) )(=)(Preparado por Irene Patricia Valdez y AlfaroEJEMPLOS DE INTERPRETACIONESDE LA PROBABILIDADSUBJETIVA:Est nublado, hay un 70%de PROBABILIDAD de SICA:Si en un grupo hay40 ingenierosy 20 arquitectos, la PROBABILIDAD de que al seleccionar aleatoriamente a una persona del grupo, su profesi n sea de ingeniero es:40/60 = 4 :Al sacar de una urna muy grande 100pelotas, se observaron30 rojasy 70 blancas.

6 La PROBABILIDAD de que al sacar otra pelota, sta sea blanca es:70/100 =7/10. (se desconoce cu ntas pelotas hay dentro de la urna)Preparado por Irene Patricia Valdez y AlfaroAXIOMAS DE (S) = (E) para E1, E2, .. se cumple que Ei Ej= , para toda i j, entonces:P(E1 E2 ..)= P(E1) + P(E2) + ..Sea Sel espacio de eventos de un experimento,yEun evento cualquiera de por Irene Patricia Valdez y AlfaroTEOREMAS DERIVADOS DE LOS ( ) = P(E) 1 , para cualquier E de la adici n para cualesquiera eventos:Si A y B pertenecen aS, se cumpleque:P( A B ) = P(A) + P(B) - P( A B )Sea Sel espacio muestral de un experimento, yEun evento cualquiera de por Irene Patricia Valdez y AlfaroPROBABILIDAD CONDICIONALSup nganse dos conjuntos A y B que pertenecen al espacio muestral SABA BSi se sabe que ya ocurri el evento B, la PROBABILIDAD de que tambi n haya ocurrido A se escribe: P(A|B)y se lee la PROBABILIDAD de A dado B.

7 P(A|B)equivale a calcular la PROBABILIDAD de A cuando el espacio muestral se reduce a B. BA B)()()|(BnBAnBAP =Pero tambi n, si dividimos numerador y denominador entre n(s) tenemos:)()()()()()()|(BPBAPSnBnSnBAnBAP = =)()()|(BPBAPBAP =y an logamente:)()()|(APBAPABP =Preparado por Irene Patricia Valdez y AlfaroPROBABILIDAD CONJUNTASup nganse dos eventos A y B que pertenecen al espacio muestral SABA BLaprobabilidadconjuntadeA y B,eslaprobabilidaddequeocurraneleventoAy eleventoBdemanerasimult nea.)()|()(BPBAPBAP= o bien:)()|()(APABPBAP= A BDespejando de la expresi n dada antes para PROBABILIDAD condicional se tiene:Preparado por Irene Patricia Valdez y AlfaroEVENTOS INDEPENDIENTESSup nganse dos eventos A y B que pertenecen al espacio muestral S)()()(BPAPBAP= Se dice que A es independiente de B si resulta que P(A|B)=P(A), lo que significa que el evento B no influye en absoluto para la realizaci n o no del evento A.

8 ()()|(BPBAPBAP =Si es ste el caso, y puesto que tenemos que: )()()(BPBAPAP =y por lo tanto, los eventos A y B son independientes si, y solo si:BATeorema: si A y B son independientes, entonces:A y B son y B son y Bson por Irene Patricia Valdez y AlfaroTEOREMA DE LA MULTIPLICACI NPARA PROBABILIDAD CONDICIONALSean A1, A2, .. Ann eventos cualesquiera de un espacio muestral S.)..|( .. )|()|()()..(12121312121 = nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAPSi los eventos Ai yAjson independientes i j, entonces:)( .. )()()()..(32121nnAPAPAPAPAAAP= En una urna hay 60 esferas azules y 40 rojas, cu l es la PROBABILIDAD de que al sacar tres consecutivamente sin regresarlas, la secuencia sea: {a,a,r} {a,a,r} Calcular la PROBABILIDAD de que la secuencia sea {a,a,r} si cada que se saca una esfera se observa el color y se regresa a la por Irene Patricia Valdez y AlfaroPROBABILIDAD CONDICIONAL, CONJUNTA Y MARGINALEn un curso de verano de regularizaci n los alumnos inscritos se distribuyen como se muestra en la tabla.)

9 A cierto profesor se le asignar aleatoriamente a un PROBABILIDAD de que le asignen un alumno de primer grado de f sica es de 46 PROBABILIDAD de que le asignen un alumno de f sica (de cualquier grado) es 111 le asignaron un alumno de qu mica, la PROBABILIDAD de que ste sea de tercer grado es 42 GRADOSEGUNDO GRADOTERCER GRADOS umasF SICA463530111QU MICA454042127 MATEM TEM TICAS523822112 Sumas14311394350 Ejemplo:Preparado por Irene Patricia Valdez y AlfaroPROBABILIDAD MARGINALP robabilidad marginal de un evento es la PROBABILIDAD simplede ese evento, pero expresada como una suma de probabilidades GRADOSEGUNDO GRADOTERCER GRADOS umasF SICA463530111QU MICA454042127 MATEM TEM TICAS523822112 Sumas14311394350En un curso de verano de regularizaci n los alumnos inscritos se distribuyen como se muestra en la tabla.

10 A cierto profesor se le asignar aleatoriamente a un observar, con base en el rengl n de sumas, que la PROBABILIDAD del evento A es simplemente 143/350, pero tambi n:P(A) = P(A F) + P(A Q) + P(A M) = 46/350 + 45/350 + 52/350 = 143/350An logamente, con base en la columna de sumas, podemos ver queP(Q) = 127/350, pero tambi n:P(Q) = P(Q A) + P(Q B) + P(Q C) = 45/350 + 40/350 + 42/350 = 127/350 Preparado por Irene Patricia Valdez y AlfaroPROBABILIDAD resequeelespaciomuestralSest particionadoenkeventosAi(mutuamenteexclu yentesy colectivamenteexhaustivos); y quesobreelmismoespaciomuestralS sedefineuneventoB, conloseventoAiP(B)=P(A1 B) + P(A2 B) +..+ P(Ai B) +..+ P(Ak B) = =kiiBAPBP1)()(Preparado por Irene Patricia Valdez y AlfaroPROBABILIDAD TOTALC onsidereselaprobabilidadtotaldeleventoB: RecordandoqueparacadaeventoAi:Sustituyen do ste ltimohechoenla expresi nparala probabilidadtotaldeB:)()|()(iiiAPABPBAP= )(.