Probabilités Exercices corrigés

1 Terminale S. Probabilit s Exercices corrig s 1. Combinatoire avec d monstration 22. Urnes 2. Rangements 23. Boules et suite 3. Calcul d' v nements 1 24. Exercice de base : Efficacit d'un test 4. Calcul d' v nements 2 25. Exercice de base 1 : temps d'attente 5. Calcul d' v nements 3 26. Exercice de base 2 : attente 6. D s pip s 27. Exercice de base 3 : ABS. 7. Pi ces d'or 28. Cubes pour enfants 8. Fesic 2001 : Exercice 17 29. Urne 9. Fesic 2001 : Exercice 18 30. Tulipes 10. Fesic 2002 : Exercice 15 31. Jetons 11. Fesic 2002 : Exercice 16 32. Vie et mort de bact ries, concours Geipi, juin 2001. 12. Fesic 2004 : Exercice 13 33. Erreurs d'impression, Am. du Sud, sept 1999. 13. Fesic 2004 : Exercice 14 34. Contr le de chaudi res, Antilles juin 02. 14. Urnes et d s, Pondichery 2004 35. Clefs et portes, Pondich ry, juin 2000. 15. Entropie, France, sept 2004 36. Boules, Centres trangers, juin 2000. 16. Loi exponentielle, France, juin 2004 37. Cin ma, Antilles, juin 2000.

2 17. Boules, Am. du sud, nov 2004 38. Boules et fonction, Liban, juin 2000. 18. Club photo 39. Jetons+VA, Polyn sie, juin 2000. 19. Cartes 40. Promenades familliales, Liban juin 2001. 20. Boules et urnes 41. Fourmis markoviennes, Antilles, sept 2000. 21. Boules, Antilles Guyane, sept 1999 42. Ad quation une loi quir partie 1. Combinatoire avec d monstration 1. D monstration de cours. D montrer que, pour tous entiers naturels n et k tels que 1 k < n , on a : n 1 n 1 n . k 1 + k = k .. 2. En d duire que pour tous entiers naturels n et k tels que 2 k < n 1 , on a : n 2 n 2 n 2 n . k 2 + 2 k 1 + k = k .. 3. On consid re deux entiers naturels n et k tels que 2 k < n 1 . On dispose d'une urne contenant n boules indiscernables au toucher. Deux des boules sont rouges, les autres sont blanches. On tire au hasard et simultan ment k boules de l'urne. On appelle A l' v nement au moins une boule rouge a t tir e . a. Exprimer en fonction de n et de k la probabilit de l' v nement A , contraire de A.

3 En d duire la probabilit de A. b. Exprimer d'une autre mani re la probabilit de l' v nement A et montrer, l'aide de la formule obtenue la question 2, que l'on retrouve le m me r sultat. Correction n n(n 1)..( n k + 1) n n! 1. D monstration : il est plus simple d'utiliser = que = , la mise au k k( k 1).. k k!(n k)! m me d nominateur tant plus visible. n 1 n 1 n (n 1)..( n 1 k + 1 + 1) (n 1)..(n 1 k + 1) (n k + 1). k 1 + k = k + = ;. ( k 1).. k( k 1).. k( k 1).. le d nominateur commun appara t alors : k! Terminale S 1 F. Laroche Probabilit s Exercices corrig s Il suffit donc de multiplier la premi re fraction par k en haut et en bas, ce qui donne k( n 1)..(n k + 1) + (n 1)..(n k) ( n k + 1). = . k! k! On peut mettre (n 1)..( n k + 1) en facteur du num rateur de la fraction de gauche : ( n 1)..(n k + 1) k + n k n(n 1)..(n k + 1). =. k! k! et c'est fini. n 1 n 1 n n 2 n 2 n 1 . 2. R crivons + = un rang plus bas pour n et pour k : + = ;. k 1 k k k 2 k 1 k 1.

4 N 1 n 1 n n 2 n 2 n 1 . r crivons . k 1 + k = k un rang plus bas pour n mais pas pour k : k 1 + k = k ;.. n 2 n 2 n 2 n 1 n 1 n . ajoutons les deux lignes : + 2 + = + = . k 2 k 1 k k 1 k k . n . 3. Dans l'urne on a 2 boules rouges et n 2 boules blanches ; il y a tirages simultan s possibles de k k . boules de l'urne. a. A = au moins une boule rouge a t tir e ; A = aucune boule rouge n'a t tir e = les k boules n 2 .. n 2 k . tir es sont blanches : il y a mani res de faire et P(A) = . k n .. k . n 2 n n 2 .. k k k . On a donc P(A) = 1 = . n n .. k k . 2 n 2 n 2 . b. A peut se produire si on tire 1 rouge et k 1 blanches, nombre de mani res : = 2 , 1 k 1 k 1 . 2 n 2 n 2 . ou 2 rouges et k 2 blanches : nombre de mani res : = . 2 k 2 k 2 . n 2 n 2 . 2 + . k 1 k 2 . On a alors P(A) = . L' galit entre les deux est alors l' galit des num rateurs : n .. k . n n 2 n 2 n 2 n n 2 n 2 n 2 . = 2 + = + 2 + , k k k 1 k 2 k k k 1 k 2 . soit l' galit du 2. 2. Rangements On constitue une file d'attente en attribuant au hasard des num ros d'ordre n personnes (n 2).

5 Deux amis A et B se trouvent dans cette file d'attente. 1. Quelle est la probabilit que les deux amis soient situ s l'un derri re l'autre ? 2. Quelle est la probabilit que les deux amis soient distants de r places ( s par s par r 1 personnes) ? Terminale S 2 F. Laroche Probabilit s Exercices corrig s Correction Le nombre total de possibilit s de rangement est n! 1. Supposons que A est en premier, B est derri re, il reste ( n 2 )! r partitions possibles. Comme A peut tre plac n'importe o dans la file avec B derri re lui, il y a ( n 1 ) places possibles pour A et donc la ( n 1 )! 1 2. probabilit = d'avoir A suivi de B ; c'est pareil pour B suivi de A, soit la probabilit finale . n! n n 2. M me raisonnement ; au pire B est en dernier et A r places devant ; on peut placer A de n r mani res, ( n r )( n 2 )! 2 ( n r ). la probabilit finale est alors 2 = . n! n( n 1 ). 3. Calcul d' v nements 1. 1 1. Soient A et B deux v nements tels que P ( A ) = et P ( A B ) =.

6 5 2. 1. Supposons que A et B soient incompatibles. Calculer P ( B ) . 2. Supposons que A et B soient ind pendants. Calculer P ( B ) . 3. Calculer P ( B ) en supposant que l' v nement A ne peut tre r alis que si l' v nement B est r alis . Correction 1 1 3. 1. A et B incompatibles donc A B = d'o P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) P ( B ) = = . 2 5 10. 1 1 1 4 3 3. 2. A et B ind pendants : P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) = + P ( B ) P ( B ) P ( B ) = P( B) = . 2 5 5 5 10 8. 3. A ne peut tre r alis que si B est r alis : tous les v nements de A sont dans B, 1 1 1 1. P( A B) = P( A) = + P( B) P( B) = . 2 5 5 2. 4. Calcul d' v nements 2. 1. Montrer que, pour 3 v nements quelconques A, B, C, on a : P( A B C ) = P( A)+ P( B) + P( C ) P( A B) P( B C ) P( C A) + P( A B C ) . 2. G n raliser dans le cas de n v nements A1 , A2 , .., An . Correction 1. On prend par exemple B C = E , soit P ( A E ) = P ( A ) + P ( E ) P ( A E ) , P ( E ) = P ( B ) + P ( C ) P ( B C ) et A E = ( A B) ( A C ) P( A E ) = P( A B) + P( A C ) P( A B A C ).

7 = P( A B) + P( A C ) P( A B C ). donc en rempla ant on obtient la formule. 2. M me chose, par r currence (bof et tr s p nible). 5. Calcul d' v nements 3. Soient A, B et C des v nements. On pose E1 = A B C et E2 = A ( B C ) . 1. Montrer que E1 et E2 sont incompatibles. 2. D terminer l'ensemble E1 E2 . Terminale S 3 F. Laroche Probabilit s Exercices corrig s 3. On sait que P ( A ) = 0,6 , P ( B ) = 0, 4 , P ( C ) = 0, 3 , P ( B C ) = 0,1 , P ( A C ) = 0,1 , P ( A B ) = 0, 2 et P ( A B C ) = 0,05 . Calculer P ( E1 ) et P ( E2 ) . Correction ( ) (. 1. E1 E2 = A B C A ( B C ) = A B C B A B C C = = . ). ( ). 2. A B C = A B C donc en appelant K = B C , on a E1 E2 = A K ( A K ) = A . ( ). ( ). 3. On calcule P ( B C ) = 0, 4 + 0, 3 0,1 = 0,6 , P B C = 0, 4 ; P ( E1 ) + P ( E2 ) = P ( A ) = 0,6 . En utilisant la formule de l'exo 9, on a P ( A K ) = P ( A B C ) = 0,6 + 0, 4 + 0,3 0,1 0,1 0,2 + 0,05 = 0,95 ; par ailleurs P ( A K ) = P ( A ) + P ( K ) P ( A K ) 0,95 = 0,6 + 0,6 P ( E2 ) P ( E2 ) = 0,25.

8 Et enfin P ( E1 ) = 0,6 0,25 = 0, 35 . 6. D s pip s On lance deux fois un d pip tel que P(1)=P(3)=P(4)=1/2 et P(2)=P(6)=1/4. Quelle est la probabilit que la somme des points obtenus soit sup rieure 10 (strictement) sachant que : 1. un des r sultats est 6. 2. le premier r sultat est 6. Correction 1 1 1. Il manque P ( 5 ) = 1 3 2 = . 8 4 8. 1. Il faut avoir des r sultats comme (x, 6) ou (6, x) avec x = 5 ou 6 ; on a donc la probabilit . 1 1 1 2 1. 2 + = = (on enl ve 1/4 pour ne pas compter (6, 6) deux fois). 8 4 4 4 2. 1 1 3. 2. L c'est simplement (6, x), soit + = . 8 4 8. 7. Pi ces d'or Trois coffres not s C1, C2, C3 ont chacun deux tiroirs, et dans chaque tiroir, il y a une pi ce. Le coffre C1. contient 2 pi ces d'or, C2 2 pi ces d'argent et C3 une pi ce d'or et une d'argent. 1. On ouvre au hasard l'un des 6 tiroirs et on trouve une pi ce d'argent. Quelle est la probabilit pour que l'on ait ouvert un tiroir du coffre C2 ? 2. On ouvre nouveau et ind pendamment de la premi re fois l'un des 6 tiroirs et on trouve encore une pi ce d'argent.

9 Quelle est la probabilit pour que l'on ait ouvert deux fois le m me coffre ? Correction 1 1 1 1. 1. P ( A ) = PC1 ( A ) P ( C1 ) + PC2 ( A ) P ( C2 ) + PC3 ( A ) P ( C3 ) = 0 + 1 + = ;. 3 2 3 2. P ( A C2 ) PC2 ( A ) P ( C2 ) 1/3 2. PA ( C2 ) = = = = (ce qui tait totalement vident ). P( A) P( A) 1/ 2 3. 1 1 1. 2. Puisqu'on a d j pris une pi ce d'argent, il faut retomber sur C2, donc = (attention . 3 3 9. l'ind pendance, sinon on aurait quelque chose plus compliqu ). 8. Fesic 2001 : Exercice 17. On consid re une succession de sacs qu'on d signe par S1 , S2 , , Sn . Terminale S 4 F. Laroche Probabilit s Exercices corrig s Au d part le sac S1 contient 2 jetons noirs et 1 jeton blanc ; tous les autres sacs contiennent chacun 1 jeton noir et 1 jeton blanc. On tire au hasard un jeton du sac S1 que l'on place dans le sac S2 . Puis, on tire au hasard un jeton du sac S2, que l'on place dans le sac S3 , et ainsi de suite. On note Bk l' v nement : le jeton tir du sac Sk est blanc , et pk = P ( Bk ) sa probabilit.

10 2. a. On a : P ( B2 /B1 ) =. 3. et P B2 /B1 = .( 1. 3. ). 1 2. b. On a, pour tout entier n 1 : pn+1 = pn + . 3 3. 1. Pour tout n * , on pose qn = pn . 2. c. Alors la suite ( qn )n * est arithm tique. 1. d. La suite ( pn )n * converge vers . 2. Correction a. Vrai : Si on tire un jeton blanc de S1, on en a 2 dans S2 pour un total de 3 jetons dans S2, donc 2. P ( B2 / B1 ) = . Si on tire un jeton noir de S1, on a 1 jeton blanc dans S2, et 3 jetons dans S2, donc 3. (. P B2 / B1 = .) 1. 3. 2. b. Faux : Le raisonnement fait en a. reste le m me si on est au tirage n : P ( Bn+1 / Bn ) = et 3. (. P Bn+1 / Bn = ). 1. 3. ( ). d'autre part pn+1 = P ( Bn+1 ) donc pn+1 = P ( Bn+1 / Bn ) .P( Bn ) + P Bn+1 / Bn .P( Bn ) soit 2 1 1 1. pn+1 = pn + (1 pn ) d'o pn+1 = pn + . 3 3 3 3. 1 1. c. Faux : On remplace dans la relation de r currence qui d finit pn : pn+1 = pn + , 3 3. 1 1 1 1 1. qn+1 + = qn + + qn+1 = qn donc qn est g om trique. 2 3 6 3 3. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. Comme p1 = , on a q1 = = d'o qn =.