Problemas de Selectividad de Matem aticas II Comunidad de ...

1 De Selectividad de Matem aticas IIComunidad de madrid ( resueltos )Isaac Musat Herv as23 de diciembre de Indice general1. A no Modelo 2000 - Opci on A.. Modelo 2000 - Opci on B.. Junio 2000 - Opci on A.. Junio 2000 - Opci on B.. Septiembre 2000 - Opci on A.. Septiembre 2000 - Opci on B.. 272. A no Modelo 2001 - Opci on A.. Modelo 2001 - Opci on B.. Junio 2001 - Opci on A.. Junio 2001 - Opci on B.. Septiembre 2001 - Opci on A.. Septiembre 2001 - Opci on B.. 513. A no Modelo 2002 - Opci on A.. Modelo 2002 - Opci on B.. Junio 2002 - Opci on A.. Junio 2002 - Opci on B.. Septiembre 2002 - Opci on A.. Septiembre 2002 - Opci on B.. 824. A no Modelo 2003 - Opci on A.. Modelo 2003 - Opci on B.. Junio 2003 - Opci on A.. Junio 2003 - Opci on B.. Septiembre 2003 - Opci on A.

2 Septiembre 2003 - Opci on B .. A no Modelo 2004 - Opci on A.. Modelo 2004 - Opci on B.. Junio 2004 - Opci on A.. Junio 2004 - Opci on B.. Septiembre 2004 - Opci on A.. Septiembre 2004 - Opci on B.. 1286. A no Modelo 2005 - Opci on A.. Modelo 2005 - Opci on B.. Junio 2005 - Opci on A.. Junio 2005 - Opci on B.. Septiembre 2005 - Opci on A.. Septiembre 2005 - Opci on B.. 1517. A no Modelo 2006 - Opci on A.. Modelo 2006 - Opci on B.. Junio 2006 - Opci on A.. Junio 2006 - Opci on B.. Septiembre 2006 - Opci on A.. Septiembre 2006 - Opci on B.. 1728. A no Modelo 2007 - Opci on A.. Modelo 2007 - Opci on B.. Junio 2007 - Opci on A.. Junio 2007 - Opci on B.. Septiembre 2007 - Opci on A.. Septiembre 2007 - Opci on B.. 1929. A no Modelo 2008 - Opci on A.. Modelo 2008 - Opci on B.

3 Junio 2008 - Opci on A.. Junio 2008 - Opci on B.. Septiembre 2008 - Opci on A.. Septiembre 2008 - Opci on B.. no Modelo 2009 - Opci on A.. Modelo 2009 - Opci on B.. Junio 2009 - Opci on A.. Junio 2009 - Opci on B.. Septiembre 2009 - Opci on A.. Septiembre 2009 - Opci on B.. Septiembre 2009 - Opci on A (Reserva).. Septiembre 2009 - Opci on B (Reserva).. no Modelo 2010 - Opci on A.. Modelo 2010 - Opci on B.. General-Junio 2010 - Opci on A .. General-Junio 2010 - Opci on B .. Espec fica-Junio 2010 - Opci on A.. Espec fica-Junio 2010 - Opci on B.. General-Septiembre 2010 - Opci on A.. General-Septiembre 2010 - Opci on B.. Espec fica-Septiembre 2010 - Opci on A.. fica-Septiembre 2010 - Opci on B.. no Modelo 2011 - Opci on A.. Modelo 2011 - Opci on B.. Junio 2011 - Opci on A.. Junio 2011 - Opci on B.

4 Septiembre 2011 - Opci on A.. Septiembre 2011 - Opci on B.. no Modelo 2012 - Opci on A.. Modelo 2012 - Opci on B.. Junio 2012 - Opci on A.. Junio 2012 - Opci on B.. Junio 2012 (coincidente)- Opci on A .. Junio 2012 (coincidente)- Opci on B.. Septiembre 2012 - Opci on A.. Septiembre 2012 - Opci on B.. no Modelo 2013 - Opci on A.. Modelo 2013 - Opci on B.. Junio 2013 - Opci on A.. Junio 2013 - Opci on B.. Junio 2013 (coincidente)- Opci on A .. Junio 2013 (coincidente)- Opci on B.. Septiembre 2013 - Opci on A.. Septiembre 2013 - Opci on B.. Septiembre (coincidente)2013 - Opci on A .. (coincidente)2013 - Opci on B .. no Modelo 2014 - Opci on A.. Modelo 2014 - Opci on B.. Junio 2014 - Opci on A.. Junio 2014 - Opci on B.. Junio 2014 (coincidente)- Opci on A .. Junio 2014 (coincidente)- Opci on B.. Septiembre 2014 - Opci on A.

5 Septiembre 2014 - Opci on B.. no Modelo 2015 - Opci on A.. Modelo 2015 - Opci on B .. Junio 2015 - Opci on A .. Junio 2015 - Opci on B .. Junio 2015 (coincidente)- Opci on A .. Junio 2015 (coincidente)- Opci on B .. Septiembre 2015 - Opci on A .. Septiembre 2015 - Opci on B .. Septiembre 2015 (coincidente)- Opci on A .. 2015 (coincidente)- Opci on B .. no Modelo 2016 - Opci on A.. Modelo 2016 - Opci on B.. Junio 2016 - Opci on A.. Junio 2016 - Opci on B.. Junio 2016 (coincidente) - Opci on A .. Junio 2016 (coincidente) - Opci on B .. Septiembre 2016 - Opci on A.. Septiembre 2016 - Opci on B.. no Modelo 2017 - Opci on A.. Modelo 2017 - Opci on B.. Junio 2017 - Opci on A.. Junio 2017 - Opci on B.. Junio 2017 (coincidente) - Opci on A .. Junio 2017 (coincidente) - Opci on B .. Septiembre 2017 - Opci on A.

6 Septiembre 2017 - Opci on B.. Septiembre 2017 (coincidente) - Opci on A .. 2017 (coincidente) - Opci on B .. no Modelo 2018 - Opci on A.. Modelo 2018 - Opci on B.. tulo 1A no Modelo 2000 - Opci on AProblema (2 puntos)Dados los vectores u= (a,1 +a,2a), v=(a,1,a) y w= (1,a,1), se pide:a) (1 punto) Determinar los valores deapara que los vectores u, vy wsean linealmente ) (0,5 puntos) Estudiar si el vector c= (3,3,0) depende linealmente delos vectores u, vy wpara el casoa= 2. Justificar la ) (0,5 puntos) Justificar razonadamente si paraa= 0 se cumple la igual-dad u ( v w) = 0 Nota: el s mbolo significa producto on:a) a1 +a2aa1a1a1 =a(a2 1)0 = a= 0, a= 1 Sia6= 0 ya6= 1 = u, vy wson Linealmente 0 oa= 1 = u, vy wson Linealmente ) sia= 2, los tres vectores son linealmente independientes y, por tanto,forman una base. Luego el vector c= (3,3,0) es combinaci on u, vy w.

7 Veamos de que combinaci on lineal se trata, tenemos: u= (2,3,4) v= (2,1,2) w= (1,2,1)(3,3,0) =a(2,3,4) +b(2,1,2) +c(1,2,1) = 2a+ 2b+c= 33a+b+ 2c= 34a+ 2b+c= 0= a= 32b=32c= 3 c= 32 u+32 v+ 3 wc) Sia= 0 tenemos: u= (0,1,0) v= (0,1,0) w= (1,0,1)Sabemos que [ u , v , w] = u ( v w). Pero[ u , v , w] = 0 1 00 1 01 0 1 = 0 Luego u ( v w) = 0 Problema (2 puntos)a) Hallar la ecuaci on del lugar geom etrico de los puntos del plano talesque su distancia al puntoA(4,0) es el doble de su distancia a la rectax= ) Comprobar que el anterior lugar geom etrico es una c onica. Indicar eltipo de c onica que es y hallar sus on:a)d(P,A) = 2d(P,r), r:x= 1, A(4,0) d(P,A) =| AP|= (x 4)2+y2d(P,r) =|x 1|1= (x 4)2+y2= 4(x 1)2= x24 y212= 1b) Se trata de una hip erbolaa2= 4 yb2= 12, comoc2=a2+b2=16 = c= 4. Los focos ser an los puntosF ( 4,0) yF(4,0).Problema (3 puntos)Seaf(x) = sinxx+ 2 six6= 0ksix= 0a) (1 punto) Hay alg un valor dekpara el cualf(x) sea continua enx= 0?

8 B) (1 punto) Hay alg un valor dekpara el cualf(x) sea derivable enx= 0?c) (1 punto) Determinar sus as on:a)l mx 0(sinxx+ 2)= l mx 0sinx+ 2xx=[00]= l mx 0cosx+ 21= 3 Para quefsea continua enx= 0 = k= ) Para quefsea derivable enx= 0 primero debe de ser continua, luegok= 3. Ahora se estudia si es derivable con este valor:f (0) = l mh 0f(0 +h) f(0)h= l mh 0sinhh+ 2 3h= l mh 0sinh hh2=[00]= l mh 0cosh 12h=[00]= l mh 0 sinh2= 0En conclusi on, para que una funci on sea derivable antes tiene queser continua y por tantok= 3. Y en este caso tambi en se cumplef (0 ) =f (0+) y es ) As ntotas:Verticales no hay, la unica posible ser a enx= 0 y en ese puntohay una discontinuidad evitable sik6= 3 y continua sik= mx (sinxx+ 2)= 2 = y= 2 Oblicuas no hay al haber horizontalesProblema (3 puntos)Sea el sistema x+ y+ 2z= 2x+ y z= 2 x y+ 2z= ) (1 punto) Discutir la compatibilidad del sistema seg un los diversosvalores de.

9 B) (1 punto) Resolver el sistema para = ) (1 punto) Resolver el sistema para = on:a)A= 1 2 2 12 12 ,|A|= 3 2 6 3 = 0 = = 1Si 6= 1 = |A| 6= 0 = Rango(A) = 3 =Rango(A) =node inc ognitas = Sistema Compatible Determinado. (Soluci on unica)Si = 1:A= 1 12 12 1 12 1 12 1 Como tiene dos filas iguales y el menor 1 12 1 = 36= 0 tene-mos que Rango(A) = 2 =Rango(A)<noinc ognitas = SistemaCompatible Indeterminado. (Infinitas soluciones)b) Si = 1:{ x y+ 2z= 12x y z=2 x= 1 +ty=tz=tc) Si = 2: x+ 2y+ 2z= 22x+ 2y z= 22x y+ 2z= 2 x= 2/3y= 2/3z= 2 Modelo 2000 - Opci on BProblema (2 puntos)De una funci on derivablef(x) se conoce quepasa por el puntoA( 1, 4) y que su derivada esf (x) = 2 xsix 11xsix > ) Hallar la expresi on def(x).b) Obtener la ecuaci on de la recta tangente af(x) enx= on:a)f(x) = 2x x22+asix 1ln|x|+bsix >1 Comof( 1) = 4 = a= 32. Sifes derivable enx= 1 = fescontinua enx= 1 = b= 0.}

10 Luego:f(x) = 2x x22 32six 1lnxsix >1b) Six= 2 = f(2) = ln 2 = (2,ln 2).Tenemosm=f (2) =12y, por tanto, la recta tangente es:y ln 2 =12(x 2)Problema (2 puntos)Se consideran las curvasy=x2ey=adondeaes un n umero real comprendido entre 0 y 1 (0< a <1). Ambas curvasse cortan en un punto (x0,y0) con abcisa positiva. Hallarasabiendo que el area encerrada entre ambas curvas desdex= 0 hastax=x0es igual a laencerrada entre ellas desdex=x0hastax= on:Calculamos la abcisa del punto de corte de ambas gr aficas en funci on delpar ametroa:x2=a= x= aElegimos la soluci on positiva porque as nos lo indica el enunciado del pro-blema. Tenemos, por tanto, que cuandox= aambas curvas se (x0,y0) = ( a,a) y la posici on de las curvas cambia, de manera que, la queestaba por encima pasar a a estar debajo. Es decir, a0(a x2)dx= 1 a(x2 a)dx= ax x33] a0=x33 ax] a0= a=13 Problema (3 puntos)a) (1 punto) Encontrar la distancia del puntoP(1, 1,3) a la recta quepasa por los puntosQ(1,2,1) yR(1,0, 1).