Problemas resueltos de probabilidad y estadística.

1 1 INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE C MPUTO Departamento de Formaci n b sica Problemas resueltos de probabilidad y estad stica. Trabajo elaborado por: Ca edo Su rez Leticia Tirado Lule Judith Margarita 2 Justificaci n: Con base en la experiencia, se ha observado que muchos de los estudiantes tienen dificultades a la hora de leer, interpretar y plantear Problemas de probabilidad y estad stica. Por esta raz n se considero pertinente elaborar este trabajo, el cual incluye Problemas ilustrativos de las cinco unidades tem ticas consideradas en la unidad de aprendizaje de probabilidad y Estad stica, seg n el redise o del a o 2009. I Elementos de probabilidad . II Variables aleatorias discretas y continuas.

2 III Distribuciones de probabilidad para variables discretas y continuas. IV Distribuci n de varias variables aleatorias. V Estad stica param trica usando estimaci n y prueba de hip tesis. El grado de dificultad de los Problemas va de lo simple a lo complejo, cuidando mucho el nivel que un Ingeniero en Sistemas Computacionales egresado de ESCOM debe tener en una unidad de aprendizaje como esta. Objetivos: Servir de gu a para los estudiantes que cursan probabilidad y estad stica. Servir como material de apoyo para los profesores que imparten esta unidad de aprendizaje. 3 Notaci n. AB: Intersecci n entre los eventos A y B, tambi n conocida como .BA :)5,2(>>XXIntersecci n entre los eventos )2(>X y )5(>X.

3 'A: Complemento del evento A. : variable aleatoria. : funci n de probabilidad . : funci n generadora de momentos. IC: Intervalo de confianza. :)(xfX funci n de probabilidad de la .X ():21 BBA Intersecci n entre A y ()BB21 ():BAPP robabilidad condicional de A dado B. TCL : Teorema Central del l mite. 4 UNIDAD I Elementos de probabilidad . Problema De una encuesta aplicada a 60 estudiantes que asisten a la universidad, 9 habitan fuera del recinto universitario, 36 son estudiantes de licenciatura y 3 son estudiantes de licenciatura que habitan fuera del recinto. a) Encuentra el n mero de estudiantes que est n estudiando su licenciatura, que habitan fuera del recinto o que satisfacen ambas caracter sticas.

4 B) Cu ntos estudiantes de licenciatura habitan en el recinto? c) Cu ntos estudiantes ya tienen su licenciatura y habitan en el recinto? Soluci n Es muy conveniente colocar la informaci n del problema en el cuadro siguiente: Distribuci n de los estudiantes dentro y fuera del recinto. Lic. Lic. Terminada Total Fuera 3 6 9 Dentro 33 18 51 Total 36 24 60 a) Los que estudian su licenciatura son 36 m s los que viven fuera del reciento que son 9 hacen un total de 45 pero hay que restar los 3 que cumplen ambas condiciones quedando nicamente 42 alumnos. b) Del cuadro se observa a simple vista que 33 alumnos estudian su licenciatura y viven en el recinto. c) Tambi n se observa directamente del cuadro que son 18 los estudiantes que ya tienen su licenciatura terminada y habitan dentro del recinto.

5 Problema Una instalaci n consta de dos calderas y un motor. Sea A el evento de que el motor est en buenas condiciones, mientras que los eventos Bk , 2,1=k son los eventos de que la k- sima caldera est en buenas condiciones. El evento C es que la instalaci n pueda funcionar. Si la instalaci n funciona cada vez que el motor y al menos una caldera funciona, expresa C y C en t rminos de A y de los eventos Bk. Soluci n Sean los eventos A: motor en buenas condiciones. Bk: caldera k en buenas condiciones, con k =1,2. C: instalaci n funciona. La instalaci n funciona cada vez que el motor y (intersecci n) al menos una (uni n) caldera funciona es decir, el evento C es la intersecci n del evento A con la uni n de los eventos kB ()BBAC21 = Usando las Leyes de D Morgan el complemento del evento es: ()[]()()()()'2 ''1 ''2 '1 '' 21 ' 21''BABABBABBABBAC = = = = 5 Problema Un mecanismo puede ponerse en cuatro posiciones, digamos a, b, c y d.

6 Hay 8 de tales mecanismos en un sistema. a) De cu ntas maneras puede instalarse este sistema? b) Sup n que dichos mecanismos est n instalados en alg n orden (lineal) pre asignado. De cu ntas maneras posibles se instalan los mecanismos, si dos mecanismos adyacentes no est n en la misma posici n? c) Cu ntas maneras son posibles si s lo se usan las posiciones a y b con la misma frecuencia? d) Cu ntas maneras son posibles si s lo se usan dos posiciones diferentes y una de ellas aparece tres veces m s a menudo que la otra? Soluci n a) Sea mi el mecanismo i- simo, i =1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Cada uno de los mecanismos puede colocarse en cuatro posiciones as el sistema puede instalarse como sigue: 4 4 4 = 48 maneras de instalar el sistema.

7 1m 2m 8m b) Si el mecanismo 1 se coloca en posici n a, el mecanismo 2 puede colocarse en posici n b, c o d, pero no en a, si el mecanismo 2 se instala en posici n b el mecanismo 3 puede instalarse en posici n a, c o d pero no en b, etc. De tal manera que el primer mecanismo puede instalarse en cualquiera de las cuatro posiciones, el segundo s lo en tres posiciones ya que se descarta la posici n del primer mecanismo, el tercer mecanismo se puede instalar en cualquiera de tres posiciones dado que se descarta la posici n del mecanismo 2, etc. Es muy til hacer un diagrama de rbol como el siguiente: De manera similar se construye el rbol para b, c y d. O bien, con el m todo de las casitas en la primer casita se coloca el n mero 4 que representa el n mero de maneras en que se puede instalar el mecanismo 1, en la segunda casita se coloca un 3 ya que el segundo mecanismo se puede instalar s lo de tres maneras, en la tercer casita se coloca un 3 por la misma raz n y as hasta llegar a la casita n mero 8 correspondiente a las posiciones disponibles del mecanismo ocho.

8 4 3 3 3 = (4)37 Cualquiera de las 4 se quita la que queda en la casilla anterior Por lo tanto el mecanismo se puede instalar de 4(3)7 = 8748 maneras. 6 c) Cuatro mecanismos est n en la posici n a y 4 mecanismos en la posici n b. Es como si tomara 4 mecanismos de 8 que tengo y a esos les asigno la posici n a, si por ejemplo me salen los n meros 2, 3, 7, 8 significa que a los mecanismos 2, 3, 7 y 8 les asigno la posici n a y si salen los n meros 8, 2, 7, 3 da lo mismo, entonces no hay orden por lo tanto son combinaciones. 70)2)(3)(4(!4)8)(7)(6)(5(!4!4!4!848=== maneras con 4 mecanismos en la posici n a y 4 en la posici n b. d) Para que una posici n aparezca tres veces m s que la otra, se tiene que una aparece 2 veces y la otra aparece 6 veces (862=+ mecanismos).

9 De cu ntas maneras puedo tomar 6 de 8 que tengo? 282)8(7!2!6!868=== Por ejemplo, si salen los n meros 1, 2, 3, 4, 5, 6 entonces a los mecanismos correspondientes los coloco en la posici n x (a, b, c d) y los mecanismos que faltan los coloco en la posici n y. Pero por cada una de estas maneras de poner 6 mecanismos en la posici n x y 2 en la posici n y, hay una m s, poner los 6 mecanismos en la posici n y y dos en la posici n x, entonces, necesitamos multiplicar por (2). Adem s de cu ntas maneras puedo tomar 2 posiciones de 4 que tengo? 62)4(3!2!2!442=== El n mero total de maneras es 28(2)(6) = 336 Tambi n puede hacerse con permutaciones, quiero tomar 2 posiciones de 4 que tengo y el orden importa porque la primera posici n ser puesta en 6 mecanismos y la segunda en s lo 2 mecanismos y no es lo mismo poner 6 mecanismos en la posici n a y 2 en b que poner 6 mecanismos en la posici n b y 2 en la posici n a.

10 12)4(3!2!442===P N mero total de maneras = 28(12) = 336 Problema En una habitaci n 10 personas tienen insignias numeradas del 1 al 10. Se eligen tres personas al azar y se les pide que dejen la habitaci n simult neamente y se anotan los n meros de las insignias. Cu l es la probabilidad de que el n mero a) menor de las insignias sea 5? b) mayor de las insignias sea 5? Soluci n El espacio muestral consta de todas las triadas que se pueden formar de los 10 n meros, no importa el orden por lo tanto la cardinalidad del espacio muestral es: 120310)(#= =S 7 a) El 5 ser el n mero m s peque o de las insignias s lo si l est en la triada y los otros dos son n meros tomados del 6 al 10, es decir necesitamos saber de cu ntas manera se pueden sacar dos de los cinco n meros 6, 7, 8, 9, 10.