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PROBLEMAS RESUELTOS LEYES DE NEWTON - …

1 PROBLEMAS RESUELTOS LEYES DE NEWTON "No s c mo puedo ser visto por el mundo, pero en mi opini n, me he comportado como un ni o que juega al borde del mar, y que se divierte buscando de vez en cuando una piedra m s pulida y una concha m s bonita de lo normal, mientras que el gran oc ano de la verdad se expon a ante m completamente desconocido." SIR ISAAC NEWTON Esta era la opini n que NEWTON ten a de s mismo al fin de su vida. Fue muy respetado, y ning n hombre ha recibido tantos honores y respeto, salvo quiz Einstein. Hered de sus predecesores, como l bien dice "si he visto m s lejos que los otros hombres es porque me he aupado a hombros de gigantes"- los ladrillos necesarios, que supo disponer para erigir la arquitectura de la din mica y la mec nica celeste, al tiempo que aportaba al c lculo diferencial el impulso vital que le faltaba.

Este solucionario sobre las leyes de Newton tiene como objetivo colocar al servicio de la comunidad universitaria y a todos los interesados en el tema de vectores, equilibrio y movimiento de los cuerpos. Esta obra fue concebida buscando …

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1 1 PROBLEMAS RESUELTOS LEYES DE NEWTON "No s c mo puedo ser visto por el mundo, pero en mi opini n, me he comportado como un ni o que juega al borde del mar, y que se divierte buscando de vez en cuando una piedra m s pulida y una concha m s bonita de lo normal, mientras que el gran oc ano de la verdad se expon a ante m completamente desconocido." SIR ISAAC NEWTON Esta era la opini n que NEWTON ten a de s mismo al fin de su vida. Fue muy respetado, y ning n hombre ha recibido tantos honores y respeto, salvo quiz Einstein. Hered de sus predecesores, como l bien dice "si he visto m s lejos que los otros hombres es porque me he aupado a hombros de gigantes"- los ladrillos necesarios, que supo disponer para erigir la arquitectura de la din mica y la mec nica celeste, al tiempo que aportaba al c lculo diferencial el impulso vital que le faltaba.

2 Este solucionario sobre las LEYES de NEWTON tiene como objetivo colocar al servicio de la comunidad universitaria y a todos los interesados en el tema de vectores, equilibrio y movimiento de los cuerpos. Esta obra fue concebida buscando llenar en parte el vac o de conocimientos en el tema y da las bases y fundamentos de una manera sencilla y de f cil entendimiento. Son PROBLEMAS de las f sicas de Sears Zemansky, Halliday Resnick, Serway, Finn y otros grandes profesores en el tema. Para cualquier inquietud o consulta escribir a: Erving Quintero Gil Ing. Electromec nico Bucaramanga Colombia 2010 2 problema DE REPASO DE LA FISICA DE SERWAY P g. 132 de la cuarta edici n Considere los tres bloques conectados que se muestran en el diagrama.

3 Si el plano inclinado es sin fricci n y el sistema esta en equilibrio, determine (en funci n de m, g y ). a) La masa M b) Las tensiones T1 y T2. Bloque 2m Fx = 0 T1 W1X = 0 Pero: W1X = W1 sen W1 = (2m) * g W1X = (2m * g) sen Reemplazando T1 W1X = 0 T1 (2m * g) sen = 0 (Ecuaci n 1) Bloque m Fx = 0 T2 - T1 W2X = 0 Pero: W2X = W2 sen W2 = m * g W2X = (m * g) sen Reemplazando T2 - T1 W2X = 0 T2 - T1 (m*g) sen = 0 (Ecuaci n 2) Resolviendo las ecuaciones tenemos: T1 (2 m * g) sen = 0 (Ecuaci n 1) T2 - T1 (m * g) sen = 0 (Ecuaci n 2) T2 (2 m * g) sen (m * g) sen = 0 T2 (3 m * g) sen = 0 T2 = (3 m*g) sen T1 W1X = 0 T1 = W1X = (2 m * g) sen T1 = (2 m*g) sen Bloque M FY = 0 T2 W3 = 0 T2 = W3 T2 T2 T1 T1 Mm 2m W3 = M * g T2 Bloque M W1 = 2m*g W1Y T1 N1 W1X Bloque 2m T2 N2 T1 W2X W2Y Bloque m W2 = m*g 3W3 = M * g T2 = M * g Pero: T2 = (3 m * g) sen T2 = M * g M * g = (3m*g) sen M = (3m) sen a) La masa M M = 3 m sen Si se duplica el valor encontrado para la masa suspendida en el inciso a), determine: c) La aceleraci n de cada bloque.

4 D) Las tensiones T1 y T2. La masa es M = 3 m sen El problema dice que se duplique la masa M = 2 * (3 m sen ) M = 6 m sen Al duplicar la masa, el cuerpo se desplaza hacia la derecha. Bloque 2m Fx = (2 m) * a T1 W1X = 2 m * a Pero: W1X = W1 sen W1 = 2 m * g W1X = (2m * g) sen Reemplazando T1 W1X = 2 m * a T1 (2 m * g) sen = 2 m * a (Ecuaci n 1) Bloque m Fx = (m) * a T2 - T1 W2X = m * a Pero: W2X = W2 sen W2 = m*g W2X = (m * g) sen Reemplazando T2 - T1 W2X = m * a T2 T2 T1 T1 Mm 2m W1 = 2m*g W1Y T1 N1 W1X Bloque 2m T2 N2 T1 W2X W2Y Bloque m W2 = m*g 4 T2 - T1 (m * g) sen = m * a (Ecuaci n 2) Bloque M FY = (6 m sen ) * a W3 - T2 = 6 m sen * a W3 = 6 m sen * g Reemplazando 6 m sen * g - T2 = 6 m sen * a (Ecuaci n 3) Resolviendo las ecuaciones tenemos.

5 T1 (2m * g) sen = 2m * a (Ecuaci n 1) T2 - T1 (m*g) sen = m * a (Ecuaci n 2) 6 m sen * g - T2 = 6 m sen * a (Ecuaci n 3) (2m*g) sen (m *g) sen + 6 m sen * g = 2m * a + m * a + 6 m sen * a (3m*g) sen + 6 m sen * g = 3m * a + 6 m sen * a 3 m g sen = 3 m * a + 6 m sen * a Cancelando las masas m m g sen = m * a + 2 m sen * a g sen = a + 2 sen * a a + 2 sen * a = g sen Factorizando la aceleraci n a(1 + 2 sen ) = g sen sen 2 1sen g a+= Despejando la ecuaci n 3 para hallar T2 6 m sen * g - T2 = 6 m sen * a (Ecuaci n 3) 6 m sen * g - 6 m sen * a = T2 6 m sen ( g - a ) = T2 Pero: sen 2 1sen g a+= Reemplazando 2T sen 2 1sen g - g sen m 6= + Factorizando g W3 = 6 m sen * g T2 Bloque M 52T sen 2 1sen - 1 sen g m 6= + 2T sen 2 1sen - 2sen 1 sen g m 6= ++ 2T sen 2 1 sen 1 sen g m 6= ++ () sen 2 1 )sen (1 * sen g m 6 2T ++= Despejando la ecuaci n 1 para hallar T1 T1 (2m*g) sen = 2m * a (Ecuaci n 1) T1 = 2m * a + 2m*g sen Pero.

6 Sen 2 1sen g a+= sen g m 2 sen 2 1sen g m 2 1T+ += () sen g m 2 sen 2 1sen g m 2 1T+ += ()()[] sen 2 1 2sen 1 sen g m 2 sen g m 2 1T +++= sen 2 1 2sen g m 4 sen g m 2 sen g m 2 1T +++= sen 2 1 2sen g m 4 sen g m 4 1T ++= Factorizando () sen 2 1 1 sen g m 4 1T ++= sen Si el coeficiente de fricci n est tica entre m y 2m y el plano inclinado es S y el sistema esta en equilibrio encuentre: e) El valor m nimo de M. f) El valor m ximo de M. g) Compare los valores de T2 cuando M tiene sus valores m nimo y m ximo FR T2 T2 T1 T1 Mm 2mFR 6 Para hallar el valor m nimo de M se considera que el cuerpo intenta el desplazamiento hacia la izquierda y la fuerza de rozamiento se opone a esto.

7 Bloque 2m Fx = 0 T1 + FR W1X = 0 Pero: W1X = W1 sen W1 = 2m * g W1X = (2m * g) sen Reemplazando T1 + FR W1X = 0 T1 + FR (2m * g) sen = 0 (Ecuaci n 1) FY = 0 N1 - W1Y = 0 Pero: W1Y = W1 cos Pero: W1 = 2 m g W1Y = 2 m g cos N1 = W1Y N1 = 2 m g cos (Ecuaci n 2) Pero: FR = S * N1 (Ecuaci n 3) FR = *2 m g cos Reemplazando en la ecuaci n 1, tenemos T1 + FR (2m * g) sen = 0 T1 + *2 m g cos (2 m * g) sen = 0 (Ecuaci n 4) Bloque m Fx = 0 T2 + FR - T1 W2X = 0 Pero: W2X = W2 sen W2 = m * g W2X = (m * g) sen T2 + FR - T1 W2X = 0 T2 + FR - T1 (m * g) sen = 0 (Ecuaci n 5) FY = 0 N2 W2Y = 0 W2Y = W2 cos FR T1 W1 = 2m*g W1Y N1 W1X Bloque 2m T2N2T1W2XW2Y W2= m*gFRBloque m 7 Pero: W2 = m g N2 = W2Y = m g cos Pero: FR = * N2 FR = * m g cos (Ecuaci n 6) Reemplazando la ecuaci n 6 en la ecuaci n 5 T2 + FR2 - T1 (m*g) sen = 0 T2 + * m g cos - T1 (m*g) sen = 0 (Ecuaci n 7) Bloque M FY = 0 W3 - T2 = 0 T2 = W3 W3 = M * g T2 = M * g M * g - T2 = 0 (Ecuaci n 8) Resolviendo las ecuaciones tenemos.

8 T1 + *2 m g cos (2 m * g) sen = 0 (Ecuaci n 4) T2 + * m g cos - T1 (m*g) sen = 0 (Ecuaci n 7) M * g - T2 = 0 (Ecuaci n 8) *2 m g cos (2 m * g) sen + * m g cos (m*g) sen + M * g = 0 Sumado t rminos semejantes *3 m g cos (3 m * g) sen + M * g = 0 M * g = 3 m g sen - 3 m g cos Se cancela la g (gravedad) como termino com n M = 3 m sen - 3 m cos M = 3 m (sen - cos ) (Este es el valor m nimo de M para que el sistema se mantenga en equilibrio) Reemplazando M en la ecuaci n 8, hallamos T2 M * g - T2 = 0 (Ecuaci n 8) 3 m (sen - cos ) * g - T2 = 0 Despejando T2 T2 = 3 m (sen - cos )* g Este es el valor de T2, cuando M es m nimo f) El valor m ximo de M.

9 Para hallar el valor m ximo de M se considera que el cuerpo intenta el desplazamiento hacia la derecha y la fuerza de rozamiento se opone a esto. Bloque 2m Fx = 0 W3 = M * g T2 Bloque M 8T1 - FR1 W1X = 0 Pero: W1X = W1 sen W1 = 2m * g W1X = (2m*g) sen Reemplazando T1 - FR1 W1X = 0 T1 - FR1 (2m*g) sen = 0 (Ecuaci n 9) FY = 0 N1 - W1Y = 0 Pero: W1Y = W1 cos Pero: W1 = 2 m g N1 = W1Y N1 = 2 m g cos (Ecuaci n 10) Pero: FR = * N1 FR = *2 m g cos (Ecuaci n 11) Reemplazando la ecuaci n 11 en la ecuaci n 9, tenemos T1 - FR (2m*g) sen = 0 T1 - * 2 m g cos (2 m * g) sen = 0 (Ecuaci n 12) Bloque m Fx = 0 T2 - FR - T1 W2X = 0 (Ecuaci n 13) Pero: W2X = W2 sen W2 = m * g W2X = (m*g) sen Pero: W2 = m g Pero: W2Y = W2 cos W2Y = m g cos FY = 0 N2 W2Y = 0 N2 = W2Y = m g cos (Ecuaci n 14) Pero.

10 FR = * N2 FR = * m g cos (Ecuaci n 15) Reemplazando la ecuaci n 15 en la ecuaci n 13 T2 - FR - T1 W2X = 0 (Ecuaci n 13) T2 - FR - T1 (m*g) sen = 0 T2 - * m g cos - T1 (m*g) sen = 0 (Ecuaci n 16) FR T1W1= 2m*gW1YN1W1 XBloque 2mFRW2XT2 N2T1W2Y W2 = m*g Bloque m 9 Bloque M FY = 0 W3 - T2 = 0 T2 = W3 W3 = M * g T2 = M * g M * g - T2 = 0 (Ecuaci n 17) Resolviendo las ecuaciones tenemos: T1 - *2 m g cos (2 m * g) sen = 0 (Ecuaci n 12) T2 - * m g cos - T1 (m*g) sen = 0 (Ecuaci n 16) M * g - T2 = 0 (Ecuaci n 17) - *2 m g cos (2 m * g) sen - * m g cos (m * g) sen + M * g = 0 - *3 m g cos (3 m * g) sen + M * g = 0 Se cancela la g (gravedad) como termino com n M * g = 3 m g sen + 3 S m g cos M = 3 m sen + 3 m cos M = 3 m (sen + cos ) El valor m ximo de M, para que el sistema no se desplace hacia la derecha Reemplazando M en la ecuaci n 17, hallamos T2 M * g - T2 = 0 (Ecuaci n 17) 3 m (sen + cos )* g - T2 = 0 Despejando T2 T2 = 3 m (sen + cos ) * g Este es el valor de T2, cuando M es m ximo.


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