Problemas. Variables Aleatorias. Modelos de Probabilidad

1 Problemas. Variables Aleatorias. Modelos deProbabilidadEjemplos resueltos y propuestosVariables Aleatorias DiscretasUna variable aleatoria discreta de valores 1, 2,.., con funci onde Probabilidad { , } =1,.., con = ( = ) y cumpli endose queP =1 = 1 tiene esperanza y varianza dadas por ( ) =P =1 = 1 ( ) =P =1( ( ))2 Con funci on de distribuci on de Probabilidad ( ) = ( )Ejemplos resueltos Variables aleatoriasEjemplo 1. variable AleatoriaUna variable aleatoria X puede tomar los valores 30,40,50 y 60 con proba-bilidades , , y Represente en una tabla la funci on de Probabilidad , ( = ), y la funci on de distribuci on de Probabilidad , ( ) = ( ),y determine las siguientes ( 25)2. ( 60)3. ( <40)4. ( >40)5. (30 60)16. (30 <60)7. (30< 60)8. (30< <60)Obtenga la esperanza y varianza de XSoluci on Ejemplo 1 Distribuci on de Probabilidad de XX ( = ) on de distribuci on de Probabilidad de XX ( ) = ( ) ( 25) = 02.

2 ( 60) = ( = 60) = 0,33. ( <40) = ( = 30) = 0,44. ( >40) = 1 ( 40) = 1 (40) = 0,45. (30 60) = ( 60) ( <30) = (60) 0 = 16. (30 <60) = ( 50) ( <30) = (50) 0 = 0,77. (30< 60) = (60) (30) = 1 0,4 = 0,68. (30< <60) = (50) (30) = 0,7 0,4 = 0,32C alculo de la Esperanza matem atica, ( )X ( = ) ( = ) ( ) = =1 ( = ) = 12 + 8 + 5 + 18 = 43C alculo de la varianza y desviaci on t picaXP(X=x) ( = ) 2 ( = ) ( ) = =1 2 ( = ) ( )2= 2010 432= 161 = 161 = 12,69 Ejemplos propuestos Variables aleatoriasEjemplo 1 Con la variable aleatoria X, cuya funci on de Probabilidad viene dada enla tabla siguienteXP(X) Determine la esperanza y varianza2. Determine la funci on de distribuci on de probabilidad33. Determine (33), (14,5), (3), (10,5< 17,5)45 Ejemplo 2Un trabajador recibir a un premio de 3000, 2000 o 1000 euros, seg un eltiempo que tarde en realizar un trabajo en menos de 10 horas, entre 10 y15 horas y m as de 15 horas, respectivamente.

3 La Probabilidad de realizar eltrabajo en cada uno de estos casos es de , y Determine la esperanza y la funci on de Probabilidad de la variablealeatoria X=premio Defina una nueva variable aleatoria ,Y, con valor 1 si tarda menos de10 horas y valor 0, en caso contrario. Obtenga distribuci on de probabi-lidad, esperanza y varianzaVariables aleatorias discretas con Modelos est andarVariable BinomialVariable X discreta definida como el recuento de exitos entre un n umero,n, de pruebas: ( , )con funci on de Probabilidad definida por ( = ) = ! !( )! ( )con = ( ) = 1 = ( )Ejemplos resueltos variable BinomialEjemplo 1En una Facultad el 35 % de los alumnos realiza alg un deporte. Se haobtenido una muestra de 10 alumnos de dicha Facultad1. Qu e modelo sigue la variable = node alumnos que realiza alg undeporte entre los 10 seleccionados1?

4 1 Recuento de exitos entre las n pruebas62. Esperanza y varianza de la Probabilidad de que m as de 2 realicen alg un Probabilidad de que entre 2 y 8 inclusive, realicen alg un Probabilidad de que menos de la mitad realice alg un on ejemplo 1 Binomial1. La variable definida sigue un modelo binomial de par ametros n=10 yp= (10,0,35)2. La Esperanza y varianza de la variable definida vienen dadas por: ( ) = = 10 0,35 = 3,5 ( ) = = 10 0,35 0,65 = 2,2753. Probabilidad de que m as de 2 realicen alg un deporte. ( >2) = 1 ( 2) = 1 0,2616 = 0,738474. Probabilidad de que entre 2 y 8 inclusive, realicen alg un deporte. (2 8) = ( 8) ( 1) = 0,9995 0,860 = 0,91355. Probabilidad de que menos de la mitad realice alg un deporte. ( <5) = ( 4) = 0,7515 Ejemplo 2 Binomial ahora con p= ejemplo es similar al anterior, se ha modificado s olo la probabilidadde exito a p= La variable definida sigue un modelo binomial de par ametros n=10 yp= (10,0,3)2.

5 La Esperanza y varianza de la variable definida vienen dadas por: ( ) = = 10 0,3 = 3 ( ) = = 10 0,3 0,7 = 2,13. Probabilidad de que m as de 2 realicen alg un deporte. ( >2) = 1 ( 2) = 1 0,3828 = 0,61724. Probabilidad de que entre 2 y 8 inclusive, realicen alg un deporte. (2 8) = ( 8) ( 1) = 0,9999 0,1493 = 0,85065. Probabilidad de que menos de la mitad realice alg un deporte. ( <5) = ( 4) = 0,84978 Ejemplos propuestos variable binomialEjemplo 1El 20 % de los trabajadores de una empresa ir a a la huelga. Se seleccionan5 trabajadores de dicha empresa. Obtenga1. El modelo de Probabilidad que sigue la variable X= N umero de asis-tentes a la huelga entre los 5 seleccionados 2. Probabilidad de que al menos tres vayan a la huelga3. Probabilidad de que todos vayan a la huelga4. Probabilidad de que no vaya ningunoEjemplo 2 Siete de cada diez estudiantes aprueba el primer parcial de una asigna-tura.

6 Se seleccionan 8 estudiantes al azar. Obtenga las probabilidades que seespecifican a continuaci on e indique qu e modelo de Probabilidad define Probabilidad2de que exactamente 2 suspendan entre los 8 Probabilidad de que todos Probabilidad de que 3 o m as PoissonVariable X discreta definida como el recuento de exitos por unidad deespacio continuo:X ( )2 Haga el c alculo de este apartado manualmente y mirando en la tabla9con = o y funci onde Probabilidad definida por ( = ) = !Ejemplos resueltos de Variables PoissonEjemplo 1 modelo PoissonEl n umero medio de accidentes ocurridos en un planta petrolera es de 2accidentes en 2 Qu e modelo sigue la variable n umero de accidentes ocurridos en laplanta por 2 meses?.2. Probabilidad de que haya m as de 2 accidentes en 2 Probabilidad de que haya entre 2 y 8 inclusive, en 2 Probabilidad de que haya m as de 2 accidentes en 1 on ejemplo 1 Poisson1.

7 La variable definida sigue un modelo Poisson de par ametro = 2 . (2)3 Recuento de exitos por unidad de espacio continuo102. Probabilidad de que haya m as de 2 accidentes en 2 meses. ( >2) = 1 ( 2) = 1 0,6767 = 0,32333. Probabilidad de que haya entre 2 y 8 inclusive, en 2 meses. (2 8) = ( 8) ( 1) = 0,9998 0,4060 = 0,59384. Probabilidad de que haya m as de 2 accidentes en 1 mes. La variable Ydefinida4sigue un modelo Poisson de par ametro = 1. (1) ( >2) = 1 ( 2) = 1 0,9197 = 0,0803 Ejemplos propuestos de Modelos PoissonEjemplo 1 PoissonEl n umero medio de robos con violencia que se registra en una barriomarginal es de 4 al mes. Determine las siguientes probabilidades indicandoel modelo de Probabilidad en que se a dos meses corresponde una esperanza igual a 2 accidentes, a la mitad de tiempo(un mes) corresponde la mitad de la esperanza111.

8 Probabilidad de que en un mes determinado no haya ning un robo deeste Probabilidad de que haya al menos uno en un mes Probabilidad de que haya entre 2 y 6, inclusive en un mes Probabilidad de que haya m as de dos en 15 d 2 PoissonSuponiendo que las denuncias que realizan los trabajadores de cierta em-presa a la Inspecci on de Trabajo siguen un modelo Poisson de media ala no, obtenga las siguientes probabilidades1. Probabilidad de que en un a no determinado la empresa no sea Probabilidad de que en un a no dado se produzcan m as de 4 denuncias3. Probabilidad de que en el primer cuatrimestre del a no se produzcandos o m as Aleatorias ContinuasVariable NormalVariable X continua definida en toda la recta real: ( , )Con media y desviaci on t pica dadas por y , respectivamente. Confunci on de densidad definida por ( ) =1 2 1/2( )2 212 Ejemplos resueltos.

9 modelo NormalEjemplo 1 variable NormalEl valor (en miles) de las ventas mensuales realizadas en una Editorialsigue un modelo normal de media igual a 200 y desviaci on t pica igual a 40X (200,40)1. Probabilidad de que la ventas de un mes sean superiores Probabilidad de que las ventas de un mes se encuentren entre 160 Probabilidad de que las ventas de un mes no superen a Probabilidad de que las ventas de un mes superen on ejemplo 1 modelo normalLa variable sigue un modelo normalX (200,40)131. Probabilidad de que la ventas de un mes sean superiores 300. ( >300) = 1 ( 300) = 1 ( 20040<300 20040)= 1 ( <2,5) = 1 0,9938 = 0,00622. Probabilidad de que las ventas de un mes se encuentren entre 160 y240. (160< <240) = (160 20040< <240 20040)= ( 1< <1) = ( <1) ( < 1) = 0,8413 0,1587 = 0,6826143.

10 Probabilidad de que las ventas de un mes no lleguen a 150. ( <150) = ( <150 20040= ( < 1,25) = 0,10564. Probabilidad de que las ventas de un mes superen 30005. ( >3000) = ( >3000 20040= ( >70) = 0 Ejemplos propuestos variable NormalEjemplo 1 NormalLas puntuaciones en un test obtenidas por un grupo de opositores se dis-tribuyen normalmente con media 30 y desviaci on t pica 5. Determine1. Probabilidad de tener una puntuaci on menor a 20 Probabilidad de tener entre 28 y 40 puntos3. Probabilidad de tener m as de 40 puntos4. Probabilidad de tener menos de 5 puntos5 Observe que toda la masa de Probabilidad queda a la izquierda. M as all a de 70 laprobabilidad es nula15 Ejemplo 2 NormalLa duraci on en d as de ciertos componentes mec anicos de una plantaindustrial sigue un modelo (250,55).))