PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA, CON ...

1 PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA, CON EFFETTI IMMEDIATI In PROBLEMI di questo tipo si opera una SCELTA tra pi alternative , 1 , ma il risultato non dipende dalla volont di chi effettua la SCELTA , in quanto ogni alternativa una variabile casuale1 che pu assumere valori diversi in funzione del verificarsi di uno tra gli eventi ad essa collegati. Gli eventi sono tra loro incompatibili (il verificarsi di uno di essi esclude il verificarsi di tutti gli altri) e complementari (la somma delle loro probabilit deve essere uguale a 1, e ci significa che uno di essi si verifica certamente).

2 Un problema di SCELTA in CONDIZIONI di incertezza con effetti immediati si rappresenta mediante la seguente tabella, detta matrice o tabella dei risultati dove sono le alternative ed sono gli eventi : .. Dall esame della tabella si pu vedere se vi un alternativa i cui valori sono migliori dei corrispondenti di tutte le altre, per ogni evento, allora essa senz altro quella da preferire (cio se i suoi valori sono maggiori o uguali dei corrispondenti in caso di massimo o guadagno, minori o uguali in caso di minimo o costo).

3 Analogamente un alternativa da scartare se i suoi valori sono peggiori dei corrispondenti di tutte le altre (cio maggiori o uguali in caso di minimo e minori o uguali in caso di massimo). 1 Una grandezza si dice variabile casuale o aleatoria se assume determinati valori , , , in funzione del verificarsi di altrettanti eventi , , , tra loro incompatibili e complementari dei quali sono note le probabilit.

4 Ovviamente deve essere: # = 1. Un problema di SCELTA , in CONDIZIONI di incertezza e con effetti immediati, si pu risolvere con il Criterio del valore medio o della Speranza matematica , se agli eventi associata, o si pu associare, una distribuzione di probabilit che verifica la condizione: & # = 1 CRITERIO DEL VALORE MEDIO Se agli eventi non attribuita alcuna distribuzione di probabilit , si pu effettuare una valutazione soggettiva, cio in base alle proprie convinzioni personali, tenuto conto che l individuo che ama il rischio sar portato ad attribuire valori elevati alle probabilit e quello prudente valori piuttosto bassi.

5 Il Criterio del valore medio consiste nel calcolare il valore medio ' di ogni alternativa, per scegliere l alternativa con valore medio maggiore in caso di massimo, minore in caso di minimo. ' = & # CRITERIO DEL PESSIMISTA Si applica quando alla tabella dei risultati non associata alcuna distribuzione di probabilit e non la si vuole attribuire soggettivamente. Si parla, in tale caso, anche di SCELTA in assenza di informazioni. Il criterio del pessimista prende il nome di Criterio del maximin in caso di massimo o di utile (si prendono tutti i minimi e poi tra essi si sceglie il massimo).

6 Invece si parla di Criterio del minimax in caso di minimo (si prende il massimo di ogni alternativa e tra essi si sceglie il minimo). Esistono anche altri criteri come il maximax (massimo dei massimi in caso di utile) ed il minimin (minimo dei minimi in caso di costo). Applicazione. Per la produzione di un bene un impresa pu utilizzare due macchine A e B. La macchina A richiede una spesa fissa mensile per la manutenzione e l ammorta- mento di e un costo di 2 per ogni pezzo prodotto.

7 La macchina B richiede una spesa fissa mensile per la manutenzione e l ammorta- mento di e un costo di 2,2 per ogni prezzo prodotto. Il prezzo di vendita di ogni prezzo prodotto di 5,6 . In base ad esperienze precedenti si valuta la seguente probabilit di vendita mensile relativamente al numero dei pezzi. N. pezzi 200 300 400 600 800 1000 1200 1400 1800 Probabilit 0,10 0,15 0,20 0,25 0,12 0,10 0,05 0,02 0,01 Determinare la soluzione pi conveniente applicando il criterio del valore medio e, in assenza di informazioni, il criterio del pessimista.

8 Scriviamo le funzioni dell utile: (A): )*#2x+1400 +* = 3,6x-1400 (B): ),= 2,2x+1100 +, = 3,4x- 1100 A B Pi 200 -680 -420 0,10 300 40 260 0,15 400 760 940 0,20 600 1480 1620 0,25 800 2200 2300 0,12 1000 2920 2980 0,10 1200 3640 3660 0,05 1400 4360 4340 0,02 1800 5080 5020 0,01 M A M A M A M A = - 680 0,10 + 40 0,15 + 760 0,20 + 1480 0,25 + 2200 0,12 + 2920 0,10 + 3640 0,05 + 4360 0,02 + 5080 0,01= - 68 + 6 + 152 + 370 + 264 + 292 + 182 + 87,2 + 50,8 = 1336 8 9 =420 0,10 + 260 0,15 + 940 0,20 + 1620 0,25 + 2300 0.

9 12 + 2980 0,10 + 3660 0,05 + 4340 0,02 + 5020 0,01 = - 42 + 39 + 188 + 405+ 276 + 198 + 183 + 86,8 + 50,2 = 1484 Conviene l alternativa B. Maximin Alternativa (A): il minimo 680, Alternativa (B): il minimo 420, B