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Problemi di trigonometria con discussione svolti dal …

Problemi di trigonometria con discussionesvolti dal prof. Gianluigi semirettaOXdell angoloX OY=90 si considerino i puntiMeNtalicheOM=2ON=2ae sulla semirettaOYil puntoRtale cheOR=a. Internamente all angoloX OYdeterminare un puntoPtale cheO PN=45 in modo che, postoN OP=x, risultif(x) =PM2+PR2+OP2=ka2conk R+0. :Analizziamo l intervallo di variazione dell angolo incognitox. Quandox=0 ,il puntoP Ne, di conseguenza,RP=a 2,PM=a,OP=a, per cuif(x) =2a2+a2+a2=ka2da cuik=4. Sex=90 , si haP ReRP=0,PM=a 5,OP=a, per cui5a2+a2=ka2da cuik= 3L incognita varier`a nell intervallo0<x<90 .Calcoliamo ora i segmenti indicati in funzione dell incognita. applicando il teorema dei senial triangoloOPN, si haOPsin[180 (45+x)]=ONsin45 risolvendo rispetto aOP, si ha, sapendo chesin45=cos45= 22OP=asin(45+x) 22=a 2(sin45cosx+cos45sinx) =a(cosx+sinx)possiamo calcolare il quadrato diOPOP2=a2(cosx+sinx)2=a2(1+sin2x)Calcol iamo oraPR, applicando il teorema di Carnot al triangoloOPRPR2=OR2+OP2 2 OR OPcos(90 x)sostituendo i valori, si haPR2=a2+a2(1+sin2x) 2a2(cosx+sinx)sinxsvolgendoPR2=2a2+a2sin 2x a2sin2x 2a2sin2x=2a2cos2xCalcoliamo oraPM2applicando sempr

3 L’incognita variera nell’intervallo 0<x <90° . Calcoliamo ora i segmenti indicati in funzione dell’incognita. applicando il teorema dei seni

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1 Problemi di trigonometria con discussionesvolti dal prof. Gianluigi semirettaOXdell angoloX OY=90 si considerino i puntiMeNtalicheOM=2ON=2ae sulla semirettaOYil puntoRtale cheOR=a. Internamente all angoloX OYdeterminare un puntoPtale cheO PN=45 in modo che, postoN OP=x, risultif(x) =PM2+PR2+OP2=ka2conk R+0. :Analizziamo l intervallo di variazione dell angolo incognitox. Quandox=0 ,il puntoP Ne, di conseguenza,RP=a 2,PM=a,OP=a, per cuif(x) =2a2+a2+a2=ka2da cuik=4. Sex=90 , si haP ReRP=0,PM=a 5,OP=a, per cui5a2+a2=ka2da cuik= 3L incognita varier`a nell intervallo0<x<90 .Calcoliamo ora i segmenti indicati in funzione dell incognita. applicando il teorema dei senial triangoloOPN, si haOPsin[180 (45+x)]=ONsin45 risolvendo rispetto aOP, si ha, sapendo chesin45=cos45= 22OP=asin(45+x) 22=a 2(sin45cosx+cos45sinx) =a(cosx+sinx)possiamo calcolare il quadrato diOPOP2=a2(cosx+sinx)2=a2(1+sin2x)Calcol iamo oraPR, applicando il teorema di Carnot al triangoloOPRPR2=OR2+OP2 2 OR OPcos(90 x)sostituendo i valori, si haPR2=a2+a2(1+sin2x) 2a2(cosx+sinx)sinxsvolgendoPR2=2a2+a2sin 2x a2sin2x 2a2sin2x=2a2cos2xCalcoliamo oraPM2applicando sempre il teorema di Carnot al triangoloOPMPM2=OP2+OM2 2 OP OM cosx=a2(1+sin2x)+4a2 2 a(cosx+sinx) 2acosxPM2=5a2+a2sin2x 4a2cos2x 2a2sin2x=5a2 a2sin2x 4a2cos2xLa funzione cercata sar`a pertantof(x) =a2(1+sin2x)

2 +2a2cos2x+5a2 a2sin2x 4a2cos2x=ka2svolgendo e dividendo tutto pera2, si ha5+1 2cos2x=5+cos2x=kDiscussione: affrontiamo la discussione delle soluzioni con il metodo grafico, mediante larisoluzione grafico del seguente sistema, ponendoX=cos2x, con0<2x<180{X=k 5X2+Y2=1cio`e mediante lo studio delle intersezioni tra la circonferenza goniometrica e il fascio di retteparallele all asseXse la retta passa per il puntoA(1;0), allorak=6se la retta passa per il puntoB( 1;0), allorak=4avremo quindi1soluzioneper4 k una circonferenza di diametroAB=2re centroO, si conduca una cordaACtale cheC AB= 6. SeM`e un punto di tale corda, determinare l ampiezza dell angoloM BAin modo che, dettaPQla corda della circonferenza di cuiM`e punto medio, si abbia:PQ2=4kMB2 Soluzione:[Il punto M sta sulla cordaAC, per trovare la cordaPQ, si tracci la semirettaMOe poi la perpendicolare daMa tale semiretta; per i teoremi delle corde,PQavr`anecessariamenteMcome punto medio].}

3 Determiniamo l intervallo dei valori dell angoloincognitoM BA=x. Il puntoMdeve appartenere alla cordaAC, per cuiSeM Al angoloM BA=0alloraPQ=0eMB=2rSeM Cl angoloM BA=60 , perch e il triangoloAMB`e inscritto in una semicircon-ferenza, eMB=r, corda che sottende un angolo al centro di60 , lato del triangoloequilatero inscritto, ePQ=0. Pertanto0 x 60 Applichiamo il teorema dei seni al triangoloAMBper ricavare la lunghezza del segmentoMBsin30 =ABsin[180 (30+x)]da cuiMB=2r 12sin(30+x)=r12cosx+ 32sinx=2rcosx+ 3sinxPer calcolareMQ`e possibile applicare il teorema delle due secanti, prolungando la semirettaOM, oppure calcolareOMe applicare il teorema di Pitagora al triangoloOMQ. Seguiremoquesta seconda modalit`a. Calcoliamo primaOMcon il teorema di CarnotOM2=MB2+OB2 2 MB OM cosxsostituendoOM2=(2rcosx+ 3sinx)2+r2 4r2 cosxcosx+ 3sinxTroviamo oraMQcon il teorema di PitagoraMQ2=OQ2 OM2=r2 4r2(cosx+ 3sinx)22 r2+4r2 cosxcosx+ 3sinxsvolgendo i calcoli, si ottieneMQ2= 4r2(cosx+ 3sinx)2+4r2cosxcosx+ 3sinxda cuiPQ2= 16r2(cosx+ 3sinx)2+16r2cosxcosx+ 3sinx5La relazione cercata `e quindi 16r2(cosx+ 3sinx)2+16r2cosxcosx+ 3sinx=16kr2(cosx+ 3sinx)2eseguendo i calcoli, (il denominatore `e, nell intervallo considerato, sempre positivo) si ottiene 1+cosx(cosx+ 3sinx)=kcos2x+ 3sinxcosx k 1=0risolvo riconducendola ad equazione lineare, applicando le formule goniometrichecos2x+12+ 32sin2x (k+1)

4 =0cos2x+ 3sin2x 1 2k=0costruiamo il seguente sistema risolutivo, ponendocos2x=Xesin2x=Y{X+ 3Y 1 2k=0X2+Y2=1procediamo con la risoluzione grafica;Dalla figura si osserva che avremo sempre due soluzioni; troviamo l intervallo dei valori la retta passante perB(1;0)si ha1+0 1 2k=, da cuik=0 Ricaviamo la retta tangente inD(12; 32), si ha12+32 1 2k=0, da cuik=12 Pertanto l intervallo dei valori sar`a0 k 12, dove avremo sempre due la semicirconferenza di diametroAB=2r, si tracci la cordaCD(conCpi`u vicino aB) lato del quadrato inscritto e siaPil punto comune alle due la posizione della cordaCdin modo che si abbiaPD+ 2PC=kABSoluzione:Tracciamo dal centroOi raggiOC,OD, che formeranno rispettivamente conle cordeBC,AD, dei triangoli isosceli.}

5 Poniamo, come indicato in figura, l angoloO BC=x. Dovendo il puntoCessere pi`u vicino aB, possiamo determinare l intervallodi variazione dell 4, alloraC B, il segmentoPBappartiene alla tangente inB;sex= 2, alloraA D, il segmentoPDappartiene alla tangente inA6 Condizionex=0 Condizionex=90 L incognita ammetter`a valori accettabili per45 x 90 Determiniamo i valori degli angoli, alla luce delle condizioni angoloB OC= 2x; l angoloD OC= 2, angolo al centro sotteso dal lato di un quadrato in-scritto; l angoloA OD=2x 2; l angoloB AD=34 x; pertanto, L angoloA PB= (34 x+x)= 4; l angoloP DC=x; l angoloP CD=34 quindi applicare il teorema dei seni per ricavare i segmenti richiestiPDsin(34 x)=r 2 22 PD=r 2(cosx+sinx)PCsinx=r 2 22PC=2rsinxLa relazione richiesta sar`a pertanto 2(cosx+sinx)+2 2sinx=2k 2cosx+3 2sinx 2k=0L equazione `e lineare e ci consente di risolvere graficamente con il sistema risolutivo, ponendocosx=Xesinx=Y{ 2X+3 2Y 2k=0X2+Y2=1 Come si vede dal grafico in figura (pianocosx,sinx), avremo 1 soluzione per le rette secanticomprese tra i puntiAeBe due soluzioni per le rette comprese traBe la tangente la retta passa perA( 22: 22), si ha1+3 2k=0, da cuik=2Se la retta passa perB(0.)}

6 1), si ha0+3 2 2k=0, da cuik=3 22L equazione della tangente inP, sar`a 2X+3 2Y 2ke la sua distanza dal centro `e=1,quindi1=| 2k| 20 k= 57Le soluzioni saranno2<k<3 221soluzione3 22 k 5 consideri il triangoloABCin cuiAB=2leA BC=2B AC. Condurre labisettrice dell angoloA BCche incontri inTil latoACe postoB AC=x, considerare la funzioney=Area(ABT)Area(BCT)verificando chey=2cos2x+1. Determinare il minimo e massimo valore diy, se :L angolo C= 3x, essendo l angolo Bsempre essere doppio dell angolo A=x. Per cui sex=0, allora C= e il triangolo degenera; sex= 3, allora l angolo C=0e il triangolo non esiste. I limiti di variabilit`a saranno pertanto0<x< triangoloAT B`e isoscele, essendoBTla bisettrice dell angolo B, pertanto, l angoloA T B= 2xe applicando il teorema dei seni a tale triangolo si haABsin( 2x)=ATsinxAT=2lsinxsin2x=2lsinx2sinxcosx =lcosxL area del triangoloAT Bsar`aAABT=12 lcosx 2lsinx=l2tanxConsideriamo ora il triangoloBTC.

7 L angoloT BC=x(sempre perch eBT`e la bisettrice),l angoloB TC=2x, angolo esterno del triangoloAT Be quindi uguale alla somma dei due angolinon adiacenti (o anche supplementare dell angoloA T B); avremo, sempre applicando il teoremadei seniBTsin( 3x)=BCsin2xBC=lsin2xcosxsin3xapplicando le formule trigonometriche, si haBC=2lsinxsin(2x+x)=2lsinxsin2xcosx+cos 2xsinx=2lsinx2sinxcos2x+sinx(cos2x sin2x)=2lsinxsinx(3cos2x sin2x)=2l(4cos2x 1)L area del triangoloBTCsar`aABTC=12 lcosx 2lsinx(4cos2x 1)=l2tanx(4cos2x 1)8La funzione sar`a quindi espressa day=Area(ABT)Area(BCT)=l2tanxl2tanx(4cos 2x 1)=4cos2x 1=4 1+cos2x2 1=2cos2x+1proprio la funzione valutare l esistenza e il valore del massimo e minimo, rappresentiamo graficamente talefunzione, mostrando le trasformazioni a partire dalla estremi della funzione non sono compresi e pertanto non `e possibile determinare valoridi max e il triangoloABCtale cheAB=2 3,AC=2, A= 6, tracciare con origineinCuna semiretta che intersechi il latoABnel puntoDe prendere su di essa un puntoLtaleche il triangoloACLsia isoscele sulla baseCLin modo che risultiCL2+BL2=4k9 Soluzione:Calcolo la misura del latoBC, applicando il teorema di CarnotBC= 12+4 8 3 32= 16 12=2verifico in tal modo che il triangoloABC`e isoscele sulla baseABe quindiA BC= 6eA CB=23.

8 PoniamoA CL=x; la semirettaALdeve intersecare il latoABper cui, sex=0alloraD A,CL=2 ACeBL2=16+4 16cos23 =28e la relazione richiesta siriduce a16+28=4K, da cuik= 2, alloraCL=0eBL=2, per cuik=1; in tale case il triangolo l angoloxsuperasse tale valore, il triangoloCALnon esisterebbe, perch e la sommadegli angoli interni `e un angolo piatto. I limiti di variabilit`a saranno0 x 2 Ricaviamo la misura del segmentoCLapplicando il teorema di Carnot al triangoloCAL:CL2=4+4 8cos( 2x) =8+8cos2xRicaviamo anche la misura del segmentoBLapplicando il teorema di Carnot al triangoloALB:BL2=4+12 8 3cos( 6 2x)=16 8 3( 32cos2x+12sin2x)La relazione cercata sar`a8+8cos2x+16+12cos2x 4 3sin2x=4k20cos2x 4 3sin2x+24 4k=0riducendo5cos2x 3sin2x+6 k=0 Questa `e un equazione lineare nelle incognitecos2x=Xsin2x=Y; i limiti diventano0 2x.

9 Il sistema risolvente diviene{5X 3Y+6 k=0X2+Y2=1risolviamo graficamente10 Per la retta passante per il puntoA(1;0)si ha5+6=k, da cuik=11 Per la retta passante per il puntoB( 1;0)si ha 5+6=k, da cuik=1 Determiniamo la retta tangente inCche dista dal centroO(0;0)il valore del raggio=11=|6 k| 25+3k=6 2 7 Avremo, pertanto,1sol per1<k 112sol per6 2 7 k la semicirconferenza di diametroAB=2r, siaAC=r 2una sua sul segmentoABun puntoPtale che, dettiQedRi punti in cui la perpendicolarecondotta daPadACincontra rispettivamenteACe la semicirconferenza, si abbia:PRAR+kARAC=AQPQS oluzione:La cordaAC=r 2`e il lato del quadrato inscritto, la cui met`a `e rappresentatadal triangolo rettangolo isosceleACB. Anche l angoloA PR= 4, perch e il segmentoPR`eparallelo alla cordaBC, perch e perpendicolari alla stessa retta contenenteAC.}

10 Poniamo,quindi,P AR= A, ancheQ A R,x= 2e la relazione non `e pi`u definita, contenendo frazionicon denominatori nulli. Quindik .SeP B, allorax= 4, perch e ancheR Q Ce il triangoloAPR ACB; per cuiPR=AR=AQ=PQ=r 2, ek=0. L intervallo di variazione sar`a 4 x< 211 Calcoliamo ora la misura dei segmenti presenti nella relazione in funzione dell angolo incognitox. Consideriamo il triangoloAQP, esso sar`a la met`a di un quadrato di latoAQ=QP, mentreAP=AQ 2(ci`o implica che il rapportoAQPQ=1).La cordaARsottende un angolo alla circonferenza uguale a 2 x, per cuiAR=2rsin( 2 x)=2rcosxPossiamo ora ricavarePRapplicando il teorema dei seni al triangoloARPPR sinx=ARsin 4da cuiPR=2 2rsinxcosxLa relazione cercata sar`a pertanto2 2rsinxcosx2rcosx+k2rcosxr 2=1cio`e, riducendo, 2sinx+k 2cosx=1 Questa `e una equazione lineare nelle incognitecosx=Xsinx=Ye possiamo risolvere grafica-mente mediante il sistema{k 2X+ 2Y 1=0X2+Y2=1la prima equazione rappresenta un fascio proprio di rette avente sostegno nel punto(0; 22)Per la retta passante per il sostegno e il puntoA( 22.)}


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