PROCESSUS STOCHASTIQUES 1. INTRODUCTION

1 FIIFO 3 PROBABILITES - STATISTIQUESJ-P LENOIRCHAPITRE 8 Page 137 PROCESSUS STOCHASTIQUESS tochastique vient du grec stokhastikos qui veut dire conjectural et de stockhos qui dit de ph nom nes qui partiellement rel vent du hasard et pour lesquels on ne peutformuler que des pr visions globales d ordre informatique un calculateur stochastique est un calculateur dans lequel l information estcod e par une probabilit .1. RAPPELS ET La fonction o ( h )Lors de l tude des PROCESSUS STOCHASTIQUES temps continu, nous utiliserons la notation o ( h)C est une fonction de h d finie dans un intervalle autour de l origine et telle que limh 0 o(h)h = 0,ce qui signifie que lorsque h tend vers 0 , o ( h ) est n gligeable par rapport h .EXEMPLES 2u2 - u3 = o ( u )1 - cos u = o ( u ) sin u o ( u ) Esp rances math matiques conditionnellesSoit { B1 , B2.}

2 } une partition de l univers et X une variable al atoire discr te dedistribution pn = p ( X = xn ) . alors d apr s le th or me des probabilit s compos es on apn = pXxBpBnkkk()()= pour tout n NDe m me si X est continue de densit f ( x ) on obtientf ( x ) = fxBpBkkk()() o f ( x Bk) est la densit conditionnelle de X sachant que l v nement Bk est r alis .L esp rance math matique de X est doncE ( X ) = EXBpBkkk()() o E ( X Bk) est l esp rance math matique conditionnelle de X sachant que Bk est r alis .Elle est d finie parE ( X Bk) = xpXxBnnnk()= ou parE ( X Bk) = xfxBdxk() .FIIFO 3 PROBABILITES - STATISTIQUESJ-P LENOIRCHAPITRE 8 Page G n ralisations du th or me de multiplicationNous aurons besoin de deux g n ralisations du th or me des probabilit s compos esou de multiplication. Elles sont nonc es sans d monstration. Si les v nements A1 , A2.

3 , An sont de probabilit non nulle, on a :p( A1 A2 .. An ) = p( A1 A2 .. An )p( A2 A3 .. An ) .. p( An-1 An ) p( An) Si A , B , C sont de probabilit non nulle, on a :p( A B C ) = p( A B C ) p( B C ) Quelques propri t s de la loi exponentielleLa loi exponentielle joue un r le fondamental dans les PROCESSUS STOCHASTIQUES tempscontinu. Nous allons en exposer les propri t s les plus un dispositif technique , dont la dur e T de bon fonctionnement suit une loiexponentielle de densit f ( t ) = e- t pour t 0 , o est un param tre positif. La loi exponentielle est sans m moire :p ( T > t + u T > u ) = p ( T > t ) = e- t , o t > 0 et u > 0 . Cela signifie que la probabilit de bon fonctionnement pendantun intervalle ] u , u + t ] ne d pend que de la longueur t de cet intervalle. Si le dispositif fonctionne encore l instant t , la probabilit pour qu il tombe enpanne pendant l intervalle ] t , t + t ] est approximativement gale t.

4 Eneffet : p ( T t + t T > t ) = p ( t < T t+t )p ( T > t ) = 1 - e- t = t + o ( t ) car ex = 1 + x + o ( x ) . Soit T1 , T2 , .. , Tn des variables al atoires ind pendantes distribu es selon deslois exponentielles de param tres 1 , 2 , .. , n. Alors T = min ( T1 , T2 , .. , Tn) suit une loi exponentielle de param tre 1 + 2 + .. + n . Voici une cons quence des deux derni res propri t s, tr s utile pour la qu un instant donn t , n dispositifs fonctionnent ind pendammentl un de l autre, la distribution commune de leurs dur es de vie tant exponentielle deparam tre . La probabilit qu exactement un de ces dispositifs tombe en pannependant l intervalle ] t , t + t ] est donn e par n t + o ( t ) . La loi GammaLa loi Gamma de param tre et n ( ou loi d Erlang d ordre n ) est la somme Snde n variables ind pendantes T1 , T2.

5 , Tn ob issant la m me loi exponentielle deparam tre .FIIFO 3 PROBABILITES - STATISTIQUESJ-P LENOIRCHAPITRE 8 Page 139On montre que la densit de probabilit correspondante s crit g ,n(t) = ()()!tennt 11 pour t Valeurs propres et vecteurs propresSoit A une matrice carr e d ordre n .Un vecteur non nul X de Cn est appel vecteur propre ( gauche )de A s il existe un nombre complexe tel que :XA = X ou X( A - I ) = 0 , I tant la matrice unit d ordre n .Le nombre associ X est appel valeur matrice A est diagonalisable si et seulement si il existe une base de vecteurs valeurs propres de A sont les racines de l quation caract ristique d finie par :det ( A - I ) = 0 Cette quation alg brique de degr n en , poss de donc n racines complexes compt esavec leurs ordres de multiplicit . L ensemble de ces racines constituent le spectre de lamatrice A.

6 Matrices stochastiquesCette famille de matrices carr es jouent un r le important dans l tude des processusstochastiques temps matrice carr e P est appel e matrice stochastique si tous ses termes sontpositifs ou nuls et si la somme des termes de chaque ligne vaut 1 .Les lignes de P repr sentent donc des vecteurs de probabilit , c est dire desvecteurs dont les composantes d finissent une distribution de probabilit discr quelques propri t s l mentaires d une matrice stochastique P : P admet 1 pour valeur propre. Il existe un vecteur propre de P , associ la valeur propre 1, qui d finit unedistribution de probabilit : = ( 1 , 2 , .. , n ) avec k 0 et 1 + 2 + .. + n = 1 . La valeur propre 1 est la seule laquelle on peut associer un vecteur de probabilit comme vecteur propre. Toute valeur propre a un module inf rieur ou gal 1.

7 Si le module d une valeur propre est gal 1 , celle-ci est une racine de l unit .EXEMPLESoit la matrice stochastiqueP = 1/21/201/31/31/301/21/2 L quation caract ristique est :FIIFO 3 PROBABILITES - STATISTIQUESJ-P LENOIRCHAPITRE 8 Page 140det ( P - I ) = + = ++= 32243141121131120()()Les valeurs propres sont donc : 1 = 1 , 2 = 1/2 , 3 = -1/6 .Des vecteurs propres associ s sont ()()X()()()1232711= ==,37,27 , X,0,-1 , X,-2,1 .Seul X(1) est un vecteur de probabilit . Fonctions g n ratricesSoit X une variable al atoire valeurs enti res non n gatives. La fonctiong n ratrice de X est alors d finie par :f ( z ) = E ( ZX ) = pzkkk=+ 0o pk = P ( X = k )avec k Nf est une fonction de la variable complexe d finie au moins pour z 1 .On a f( 0 ) = p0 et f ( 1 ) = 1 .Voici d autres propri t s l mentaires des fonctions g n ratrices : La loi de probabilit { pk } est caract ris e de fa on unique par la fonctiong n ratrice associ e f ( z ) , et l on apk = f(k)( 0 ) / k!

8 E ( X ) = f ( 1 ) et E ( X 2 ) = f ( 1 ) + f ( 1 ) . Si X et Y sont deux variables al atoires ind pendantes valeurs enti respositives, la fonction g n ratrice de X + Y est le produit des fonctions g n fonctions g n ratrices constituent un outil efficace pour l tude des processusstochastiques valeurs discr tes. Il est souvent plus facile de d terminer la fonction g n ratriced une distribution de probabilit inconnue que de calculer la distribution elle m est donc int ressant de conna tre les fonctions g n ratrices des distributions les plusutilis es. Distribution binomiale :f ( z ) = Cppznkknkkkn()10 = = ( zp + 1 - p )n Distribution g om trique :f ( z ) = ()10 =+ pp zkkk= ppz11 () Distribution de Poisson :f ( z ) = kkkkez! =+ 0= e (z-1) GENERALITES SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUESUn PROCESSUS stochastique est une famille de variables al atoires X ( t ) valeursr elles o t est un param tre r el.

9 L espace des param tres ou espace du temps Tcorrespondant prend essentiellement une des deux formes suivantes : T = { 0 , 1 , 2 , .. } ; on parle alors de PROCESSUS stochastique temps discret eton crit Xn au lieu de X ( t ) .FIIFO 3 PROBABILITES - STATISTIQUESJ-P LENOIRCHAPITRE 8 Page 141 T = [ 0 , + [ ; on dit alors que { X ( t ) ; t 0 } est un PROCESSUS stochastique temps continu. Si X( t ) = x , on dit que le PROCESSUS est l instant t dans l tat x . On appelleespace des tats l ensemble S des valeurs prises par toutes les variables d un processusstochastique. Dans ce cours nous nous limiterons des tats discrets, S tant souvent unsous-ensemble de N. Nous nous int resserons surtout des PROCESSUS stochastiquespr sentant une structure de d pendance particuli rement simple et qui permettent ded crire de nombreux ph nom nes al atoires rencontr s dans la pratique.]]

10 La forme prise par un PROCESSUS stochastique lors d une exp rience du ph nom neal atoire est appel e r alisation ou trajectoire de ce PROCESSUS stochastique . Les ph nom nes al atoires ainsi tudi s d pendent d un param tre qui le plus souventest le temps t , mais ce param tre peut tre aussi une autre quantit physique comme parexemple une distance. Voici quelques exemples de ph nom nes physiques susceptibles d tre mod lis es pardes PROCESSUS STOCHASTIQUES . Le nombre d appels arrivant pendant un intervalle de temps [ 0 , t ] dans un centralt l phonique. Le bruit de fond dans un circuit lectronique. Le nombre de d faillances se produisant par jour dans un syst me technique. La fortune d un joueur apr s avoir jou n parties. Le nombre de clients dans une file d attente un instant donn t . Dans ce dernier exemple la trajectoire peut avoir la forme suivante : - 4- 3- 2- 1- o t 2.