Produit scalaire, espaces euclidiens - exo7.emath.fr

1 Exo7 Produit scalaire, espaces euclidiensExercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche * tr s facile ** facile ** difficult moyenne ** difficile ** tr s difficileI : Incontournable T : pour travailler et m moriser le coursExercice 1**PourA= (ai,j)16i,j6n Mn(R),N(A) =Tr(tAA). Montrer queNest une norme v rifiant de plusN(AB)6N(A)N(B)pour toutes matrices carr associ e un Produit scalaire ?CorrectionH[005482]Exercice 2**SoitEunRespace vectoriel de dimension finie. Soit||||une norme surEv rifiant l identit du parall -logramme, c est- -dire : (x,y) E2,||x+y||2+||x y||2=2(||x||2+||y||2).

2 On se propose de d montrerque||||est associ e un Produit scalaire. On d finit surE2une applicationfpar : (x,y) E2,f(x,y) =14(||x+y||2 ||x y||2).1. Montrer que pour tout(x,y,z)deE3, on a :f(x+z,y)+f(x z,y) =2f(x,y).2. Montrer que pour tout(x,y)deE2, on a :f(2x,y) =2f(x,y).3. Montrer que pour tout(x,y)deE2et tout rationnelr, on a :f(rx,y) =r f(x,y).On admettra que pour tout r el et tout(x,y)deE2on a :f( x,y) = f(x,y)( ce r sultat provient dela continuit def).4. Montrer que pour tout(u,v,w)deE3,f(u,w)+f(v,w) =f(u+v,w).5. Montrer quefest bilin Montrer que||||est une norme [005483]Exercice 3**ITDansR4muni du Produit scalaire usuel, on pose :V1= (1,2, 1,1)etV2= (0,3,1, 1).

3 On poseF=Vect(V1,V2). D terminer une base orthonormale deFet un syst me d quations deF .CorrectionH[005484]Exercice 4**SurR[X], on poseP|Q= 10P(t)Q(t)dt. Existe-t-ilA l ment deR[X]tel que P R[X],P|A=P(0)?CorrectionH[005485]Exercic e 5**I Matrices et d terminants de GRAMSoitEun espace vectoriel euclidien de dimensionpsurR(p>2). Pour(x1,..,xn)donn dansEn, on poseG(x1,..,xn) = (xi|xj)16i,j6n(matrice de GRAM) et (x1,..,xn) =det(G(x1,..,xn))(d terminant de GRAM).1. Montrer que rg(G(x1,..,xn)) =rg(x1,..,xn).2. Montrer que(x1,..,xn)est li e si et seulement si (x1.)

4 ,xn) =0 et que(x1,..,xn)est libre si et seule-ment si (x1,..,xn)> On suppose que(x1,..,xn)est libre dansE(et doncn6p). On poseF=Vect(x1,..,xn).Pourx E, on notepF(x)la projection orthogonale dexsurFpuisdF(x)la distance dex F(c est- -diredF(x) =||x pF(x)||). Montrer quedF(x) = (x,x1,..,xn) (x1,..,xn).CorrectionH[005486]Exercice 6**ISoitaun vecteur non nul de l espce euclidienR3. On d finitfdeR3dans lui m me par : x R3,f(x) =a (a x). Montrer quefest lin aire puis d terminer les vecteurs non nuls colin aires leur image [005487]Exercice 7**IMatrice de la projection orthogonale sur la droite d quations 3x=6y=2zdans la base canonique orthonorm edeR3ainsi que de la sym trie orthogonale par rapport cette m me droite.

5 De mani re g n rale, matrice de laprojection orthogonale sur le vecteur unitaireu= (a,b,c)et de la projection orthogonale sur le plan d quationax+by+cz=0 dans la base canonique orthonorm e [005488]Exercice 8**E=R3euclidien orient rapport une base orthonorm e directeB. Etudier les endomorphismes de matriceAdansBsuivants :1)A= 13 2122211 2 2 2/A=14 31 613 6 6 62 3/A=19 814 4 4718 4 .CorrectionH[005489]Exercice 9**SoitM= a b cc a bb c a aveca,betcr els. Montrer queMest la matrice dans la base canonique orthonorm edirecte deR3d une rotation si et seulement sia,betcsont les solutions d une quation du typex3 x2+k=0o 06k6427.

6 En posantk=4 sin2 27, d terminer explicitement les matricesMcorrespondantes ainsi que lesaxes et les angles des rotations qu elles repr [005490]Exercice 10**Best une base orthonorm e directe deR3donn e. Montrer que detB(u v,v w,w u) = (detB(u,v,w))2pourtous vecteursu, [005491]Exercice 11**I In galit de HADAMARDSoitBune base orthonorm e deE, espace euclidien de dimensionn. Montrer que : (x1,..,xn) En,|detB(x1,..,xn)|6||x1||..||xn||en pr cisant les cas d galit .CorrectionH[005492]Exercice 12**Montrer queu v|w s= (u|w)(v|s) (u|s)(v|w)et(u v) (w s) = [u,v,s]w [u,v,w] [005493]2 Exercice 13**IExistence, unicit et calcul deaetbtels que 10(x4 ax b)2dxsoit minimum (trouver deux d monstrations,une dans la mentalit du lyc e et une dans la mentalit maths sup).

7 CorrectionH[005494]Exercice 14**Soit(e1,..,en)une base quelconque deEeuclidien. Soienta1,..,annr els donn s. Montrer qu il existe ununique vecteurxtel que i {1,..,},x|ei= [005495]Exercice 15**SoitEun espace vectoriel euclidien de dimensionn>1. Une famille depvecteurs(x1,..,xp)est dite obtu-sangle si et seulement si pour tout(i,j)tel quei6=j,xi|xj<0. Montrer que l on a n cessairementp6n+ [005496]Exercice 16**SoitP R3[X]tel que 1 1P2(t)dt=1. Montrer que sup{|P(x)|,|x|61}62. Cas d galit ?CorrectionH[005497]Exercice 17**ITSoitrla rotation deR3, euclidien orient , dont l axe est orient parkunitaire et dont une mesure de l angleest.

8 Montrer que pour toutxdeR3,r(x) = (cos )x+(sin )(k x)+2( )sin2( 2)k. Application : crire lamatrice dans la base canonique (orthonorm e directe deR3) de la rotation autour dek=1 2(e1+e2)et d angle = [005498]Exercice 18**Soitfcontinue strictement positive sur[0,1]. Pourn N, on poseIn= 10fn(t)dt. Montrer que la suiteun=In+1 Inest d finie et [005499]Exercice 19**ISurE=Rn[X], on poseP|Q= 1 1P(t)Q(t) Montrer que(E,|)est un espace Pourpentier naturel compris entre 0 etn, on poseLp= ((X2 1)p)(p). Montrer que(Lp||Lp||)06p6nestl orthonormalis e de SCHMIDTde la base canonique terminer||Lp||.

9 CorrectionH[005500]3 Correction de l exercice 1 NPosons :(A,B)7 Tr(tAB). Montrons que est un Produit scalaire surMn(R).1 re solution. estsym trique. En effet, pour(A,B) (Mn(R))2, (A,B) =Tr(tAB) =Tr(t(tAB)) =Tr(tBA) = (B,A). est bilin aire par lin arit de la trace et de la transposition. SiA= (ai,j)16i,j6n Mn(R)\{0}, alors (A,A) =n i=1(n j=1ai,jai,j)= i,ja2i,j>0car au moins un des r els de cette somme est strictement positif. est donc d finie, me (ai,j)etB= (bi,j). On aTr(tAB) = nj=1( ni=1ai,jbi,j) = 16i,j6nai,jbi, , est le Produit scalaire canonique surMn(R)et en particulier, est un Produit scalaire surMn(R).

10 Nn est autre que la norme associ e au Produit scalaire (et en particulier,Nest une norme). Soit(A,B) (Mn(R)) (AB)2= i,j(n k=1ai,kbk,j)26 i,j(n k=1a2i,k)(n l=1b2l,j)(d apr s l in galit de CAUCHY-SCHWARZ)= i,j,k,la2i,kb2l,j=( i,ka2i,k)( l,jb2l,j)=N(A)2N(B)2,et donc, (A,B) (Mn(R))2,N(AB)6N(A)N(B).Correction de l exercice 2N1. Soit(x,y,z) (x+z,y)+f(x z,y) =14(||x+z+y||2+||x z+y||2 ||x+z y||2 ||x z y||2)=14(2(||x+y||2+||z||2) 2(||x y||2+||z||2))=2f(x,y).2. 2f(x,y) =f(x+x,y)+f(x x,y) =f(2x,y)+f(0,y)maisf(0,y) = (||y||2 || y||2) =0 (d finitiond une norme).