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1 MATEMATICAS2 BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdSOCIALESSOCIALESMaTEXI ntegralDefinidaJJIIJIJDocDocIVolverCerra rProyectoMaTEXI ntegral DefinidaFco Javier Gonz alez OrtizDirectorioTabla de ContenidoInicioArt culoc de junio de 2004 Versin BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdSOCIALESSOCIALESMaTEXI ntegralDefinidaJJIIJIJDocDocIVolverCerra rTabla de Fundamental del C de on. C alculo de del recinto para una funci dos funciones positivas sin dos funciones cualesquiera sin dos funciones que se cortanSoluciones a los EjerciciosSoluciones a los TestsMATEMATICAS2 BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdSOCIALESSOCIALESMaTEXI ntegralDefinidaJJIIJIJDocDocIVolverCerra rSecci on 1: Integral Definida31.

2 Integral DefinidaEl problema planteado es hallar el area dela regi on que encierra la curva del gr aficocon la recta idea sencilla consiste en dividir la re-gi on en rect angulos verticales y de estaforma de((llenar))la regi on con numerososrect esta manera el area de la regi on sepuede aproximar, cuanto queramos, medi-ante la suma de las areas denrect angulos,tomando todos con la misma base en cuenta que el area de cadarect angulo se obtiene multiplicando la basepor la altura, tenemos que el area de cadarect angulo ser a la base xpor su alturarespectivaf(xi).A la suma de las areas de los rect angulosse les llama sumas de BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdSOCIALESSOCIALESMaTEXI ntegralDefinidaJJIIJIJDocDocIVolverCerra rSecci on 1: Integral Definida4A la primera de ellas se le llama suma in-feriorSInf:SInf=f(x1) x+f(x2) x+ +f(xn) x=n i=1f(xi) x= SInf AreaA la segunda de ellas se le llama suma su-periorSSup:SSup=f(x1) x+f(x2) x+ +f(xn) x=n i=1f(xi) x= SSup AreaSe tiene as queSInf Area SSupMATEMATICAS2 BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdSOCIALESSOCIALESMaTEXI ntegralDefinidaJJIIJIJDocDocIVolverCerra rSecci on 1.

3 Integral Definida5A medida que aumentamos el n umero de rect angulosn, (n ) con x 0, el area buscada se podr a hallar conlim x 0n n i=1f(xi) x(1)El s mbolo de sumatorio se convirti o en una s estilizada , quedan-do la expresi on anterior con la notaci onlim x 0n n i=1f(xi) x= baf(x)dxDefinimosIntegral Definidadef(x) entreayb, al area de la re-gi on limitada por la funci onf(x)entre los puntosayby el area lo representaremos conel s mbolo baf(x)dxxyabAreay=f(x)MATEMATICAS2 BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdSOCIALESSOCIALESMaTEXI ntegralDefinidaJJIIJIJDocDocIVolverCerra rSecci on 2: Teorema Fundamental del C alculo6Si bien las areas que determina las funciones se pueden calcular conel m etodo comentado anteriormente, afortunadamente aqu no realizaremosl mites de sumas de areas de rect angulos como muestra la ecuaci on (1).

4 Ellose debe a un resultado conocido como teorema fundamental del c alculo2. Teorema Fundamental del C alculoTeorema (Teorema Fundamental del C alculo) Seaf(x) una funci oncontinua en el intervaloI= [a, b]. Entonces la funci onF(x) = xaf(x)dxes derivableF (x) =f(x)x (a,b)(2)El teorema demuestra que la fun-ci on integral que da las areas entreayxpara cada valor dexF(x) = xaf(x)dxes una funci on cuya derivada es lafunci onf(x).abf(a)f(b)xF(x)MATEMATICAS2 BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdSOCIALESSOCIALESMaTEXI ntegralDefinidaJJIIJIJDocDocIVolverCerra rSecci on 2: Teorema Fundamental del C alculo7 baf(x)dxrepresenta un n umero y xaf(x)dxrepresenta una funci on importante recalcar que xaf(x)dxes una funci on dex.

5 Como los son xaf(s)ds= xaf(t)dt= xaf(w)dwAf(s), f(t) yf(w) se les llama el integrando y las variabless, towson lasvariables auxiliares de integraci el siguiente test para ver si se ha la expresi onI= 32a s2ds, responder significado deIes(a)Integral Definida(b)Integral significado deIes(a)Un n umero(b)una funci integrando deIes(a)a s2ds(b)s2(c)a variable de integraci on es(a)a(b)ds(c)sMATEMATICAS2 BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdSOCIALESSOCIALESMaTEXI ntegralDefinidaJJIIJIJDocDocIVolverCerra rSecci on 2: Teorema Fundamental del C la expresi onI= x2(a+t2)dt, responder significado deIes(a)Integral Definida(b)Integral significado deIes(a)Un n umero(b)una funci funci on de(a)a(b)x(c) integrando deIes(a)(a+t2)dt(b)t2(c)(a+t2) variable de integraci on es(a)a(b)x(c) derivada deIes(a)a+x2(b)a+t2(c)(a+t2) derivada de la funci onF(x) = (1 +x2)dxes(a)1 +x2(b)0 MATEMATICAS2 BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdSOCIALESSOCIALESMaTEXI ntegralDefinidaJJIIJIJDocDocIVolverCerra rSecci on 2.

6 Teorema Fundamental del C Regla de BarrowTeorema (Regla de Barrow) Seaf(x) una funci on continua en el in-tervaloI= [a, b] yG(x) una primitiva def(x) Entonces la integral definida baf(x)dx=G(b) G(a)(3) importancia de esta regla es fundamental, ya que pone en relaci onlas integrales con las hallar la integral definida seguiremos el siguiente proceso:a)Se halla una primitiva cualquiera de la funci on,b)Se sustituyen en esta primitiva los l mites de integraci on -el supe-rior y el inferior- y se restan los la integral definida 0cosx dxSoluci on: Hallamos una primitiva cosx dx= senxluego 0cosx dx= [ senx] 0= sen sen 0 = 0 MATEMATICAS2 BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdSOCIALESSOCIALESMaTEXI ntegralDefinidaJJIIJIJDocDocIVolverCerra rSecci on 2: Teorema Fundamental del C alculo10 Ejemplo la integral definida 10x2dxSoluci on: Hallamos una primitiva x2dx=13x3luego 10x2dx=[13x3]10=13(1)3 13(0)3=13 Ejemplo 3 3|x+ 2|dxSoluci on: Como|x+ 2|={ x 2x 2x+ 2 2< x 3 3|x+ 2|dx= 2 3( x 2)dx+ 3 2(x+ 2)dx+=[ 12x2 2x] 2 3+[12x2+ 2x]3 2=[( 2 + 4) ( 92+ 6)]+[(92+ 6) (2 4)]=[12]+[252]= 13 MATEMATICAS2 BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdSOCIALESSOCIALESMaTEXI ntegralDefinidaJJIIJIJDocDocIVolverCerra rSecci on 3: Aplicaci on.}

7 C alculo de areas11 Ejercicio la integral definida 10(1 +x2)dx3. Aplicaci on. C alculo de areasPara determinar el area bajofdistinguimos el signo def(x)Sif(x)>0x [a, b], entonces la integral definida es positivaArea del recinto= baf(x)dxSif(x)<0x [a, b], entonces la integral definida es negativaArea del recinto= baf(x)dxabf(a)f(b)Areaabf(a)f(b)AreaMATE MATICAS2 BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdSOCIALESSOCIALESMaTEXI ntegralDefinidaJJIIJIJDocDocIVolverCerra rSecci on 3: Aplicaci on. C alculo de areas12 Ejemplo el area limitada pory= 4 x2y el on: La funci ony= 4 x2corta al ejeOxen 2 2(4 x2)dx=[4x 13x3]2 2=[4(2) 1323] [4( 2) 13( 2)3]=3232 2 Ejemplo el area limitada pory=x2,x= 2,x= 2 y el on: La funci ony=x2corta al ejeOxen 2 2(x2)dx=[13x3]2 2=[1323] [13( 2)3]=1632 2 MATEMATICAS2 BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdSOCIALESSOCIALESMaTEXI ntegralDefinidaJJIIJIJDocDocIVolverCerra rSecci on 3: Aplicaci on.

8 C alculo de Area del recinto para una funci onPara determinar el area de un recinto limitado por una funci onf(x) yel ejeOXentre los puntosaybnecesitamos saber si la funci on cambia designo, hallando los cortes con el es, se hallan las integrales definidas por separado en cada intervalotomando sus valores en valor area pedido ser a la suma de todas las areas de cada uno de los x1af(x)dx A2= x2x1f(x)dxA3= bx2f(x)dx A=A1+A2+A3xyabx1x2A= x1af(x)dx + x2x1f(x)dx+ bx2f(x)dx MATEMATICAS2 BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdSOCIALESSOCIALESMaTEXI ntegralDefinidaJJIIJIJDocDocIVolverCerra rSecci on 3: Aplicaci on. C alculo de areas14 Ejemplo el area delimitada por la gr afica de cosx, el ejeOXenel intervalo [0,2 ]Soluci on:La funci on cosxcorta al ejeOxen 2y3 en cuenta los cambios de signoA= /20cosx dx+ 3 /2 /2cosx dx + 2 3 /2cosx dxluegoA1=[senx] /20= 1A2= [senx]3 /2 /2 = 2A3=[senx]2 3 /2= 1 LuegoArea= 4xy 23 22 MATEMATICAS2 BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdSOCIALESSOCIALESMaTEXI ntegralDefinidaJJIIJIJDocDocIVolverCerra rSecci on 3: Aplicaci on.

9 C alculo de Para dos funciones positivas sin cortePara determinar el area de un recinto limitado por dos funcionesf(x) yg(x) positivas sin corte entre los puntosayb, como en la figura, teniendo encuenta que baf(x)dx=azul+rosa bag(x)dx=rosael area del recinto comprendi-do entre ambas funciones seobtiene restando ambas inte-grales, baf(x)dx bag(x)dxresultando la sencilla expresi onf(x)g(x)abA= ba(f(x) g(x))dx(4)MATEMATICAS2 BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdSOCIALESSOCIALESMaTEXI ntegralDefinidaJJIIJIJDocDocIVolverCerra rSecci on 3: Aplicaci on. C alculo de areas16 Ejemplo el area limitada por las gr aficas de las funcionesf(x) =x2yg(x) = on: Hallamos la intersecci on de ambasf(x) =x2g(x) = x}= x2= x= x= 0,1A= 10(g(x) f(x))dxA= 10( x x2)dx=[32x3/2 13x3]10 Area=7610f(x)g(x) MATEMATICAS2 BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdSOCIALESSOCIALESMaTEXI ntegralDefinidaJJIIJIJDocDocIVolverCerra rSecci on 3: Aplicaci on.

10 C alculo de Para dos funciones cualesquiera sin cortePara determinar el area de un recinto limitado por dos funcionesf(x) yg(x) entre los puntosaybpudiendo ser alguna o ambas negativas se aplica lamisma expresi on que para dos funcionespositivas, ya que bastar a desplazarlas funcionesf(x)+Cyg(x)+Ccomo se muestra en el gr afico de la derechaA= ba(f(x) +C (g(x) +C))dx= ba(f(x) g(x))dxf(x)g(x)abf(x)+Cg(x)+CabMATEMATIC AS2 BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdSOCIALESSOCIALESMaTEXI ntegralDefinidaJJIIJIJDocDocIVolverCerra rSecci on 3: Aplicaci on. C alculo de Para dos funciones que se cortanPara determinar el area de un recinto limitado por dos funcionesf(x) yg(x) entre los puntosaybnecesitamos saber los puntos de corte entre hallan las integrales definidas por separado en valor absoluto y se sumantodas las x1a(f(x) g(x))dx A2= x2x1(f(x) g(x))dx A3= x3x2(f(x) g(x))dx A4= bx3(f(x) g(x))dx f(x)g(x)abx1x2x3A=A1+A2+A2+A4 MATEMATICAS2 BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdSOCIALESSOCIALESMaTEXI ntegralDefinidaJJIIJIJDocDocIVolverCerra rSecci on 3: Aplicaci on.