Radicali - chihapauradellamatematica.org

1 2I Radicali 1. DEFINIZIONE DI RADICE (esercizi a pag. 18) Si dice radice quadrata (cubica, quarta, quinta, .. ) di un numero reale a, 0 quel numero reale b che elevato al quadrato (al cubo, alla quarta, alla quinta, .. ) 0 d come risultato a. (1) :a = bb = a (a, b0) legge"se e solo se, per definizione" Quindi L'OPERAZIONE DI ESTRAZIONE DI RADICE L'OPERAZIONE INVERSA DELL'ELEVAMENTO A POTENZA. Esempi: 342423822 881 3 perch 381;perch ;0, 090,3 perch (0,3)0, 0912555125 === = = = Un simbolo del tipo na viene chiamato "radicale".

2 Vale a dire, "radice" il risultato, " radicale" il simbolo dell'operazione di estrazione di radice. Il numero n viene detto "indice". I l numero a viene detto "radicando". INDICERADICANDOnRADICALEa32 L'indice n un numero naturale, maggiore o uguale a 1. S e l'indice vale 1, la radice uguale al radicando: (2) 1aa= D omanda: ma non estremamente banale (e privo di interesse) un radicale con indice 1? .. S , senz altro banale! Ma non privo di interesse, perch i Radicali con indice 1 si rivelano assai utili ai fini di un'esposizione pi sintetica della teoria. L'indice 2 viene di norma sottinteso.

3 Ossia, anzich scrivere 2a si usa scrivere a: (3) 2aa= La convenzione davvero vantaggiosa, dato che la radice quadrata di gran lunga la pi utilizzata Ancora qualche esempio: ()3232441000 10 perch 101000;255 perch 525;111 1perch ;0, 00160, 2 perch 0, 20, 0016933 9==== === = Osserviamo (gli esempi riportati lo illustrano bene) che se il radicando maggiore di 1 il valore della radice minore del radicando stesso ma (IMPORTANTE!) se invece minore di 1 (compreso fra 0 e 1) il valore della radice maggiore del radicando stesso.

4 2. DUE IDENTITA' VERAMENTE FONDAMENTALI D alla definizione data di estrazione di radice si traggono direttamente e immediatamente le identit : (4) ()nnaa= Indice ed esponente sono uguali: la radice e la potenza, operazioni inverse l una dell altra, si compensano , quindi si possono semplificare (5) nnaa= Anche qui, potenza e radice, operazioni inverse fra loro, si compensano , da cui la semplificazione Dovremo tenerle sempre presenti, quali "pietre miliari" del nostro discorso. In particolare, le utilizzeremo nel corso della dimostrazione di alcuni teoremi. 3 3. RADICANDO E RISULTATO POSITIVI.

5 MA PERCHE' ? E' importante ribadire che in questa nostra sistemazione teorica SIA IL RADICANDO a CHE LA RADICE b SONO NUMERI POSITIVI O NULLI: a0, b0. A ben riflettere, tale impostazione potrebbe essere contestata. Ascoltiamo come ragiona Giannino il contestatore. LE DUE OBIEZIONI DI GIANNINO Siccome l operazione di estrazione di radice viene pensata come l inversa dell'elevamento a potenza, secondo me, che sono Giannino: I) quando l'indice dispari, logico che si possa anche estrarre la radice di un numero negativo: ad esempio, trovo del tutto giustificato scrivere 382 = , perch in effetti ; 38 (2) = II) quando l'indice pari e il radicando positivo, logico che l'operazione ammetta DUE possibili risultati, opposti fra loro (e NON un solo risultato positivo): ad esempio, 497= 2)49+=2(7)49 perch (7 ma anche =.

6 Le argomentazioni di Giannino sono giuste ed intelligenti! Tuttavia .. RISPOSTA DELLA COMUNITA MATEMATICA A GIANNINO Allo scopo di fissare un'impostazione teorica che consenta di evitare eccessive complicazioni, estremamente conveniente, quando si inizia a studiare l'operazione di estrazione di radice, supporre positivi (in senso "largo": ) sia il radicando che il risultato. 0In questo modo, infatti, la trattazione fila senz'altro pi "liscia". In una seconda fase, quando si termina lo studio di questi Radicali con radicando e risultato positivi (che i testi chiamano generalmente " Radicali assoluti"), si procede a qualche semplicissima integrazione della teoria (noi faremo questo al paragrafo 17), per poter accettare anche operazioni come 382 = ; 50, 000010,1 = ecc.

7 ( Radicali con indice dispari, radicando negativo e risultato negativo). Invece con indice pari e radicando negativo l'estrazione di radice un operazione impossibile (NOTA): 25 IMPOSSIBILE =; 41 IMPOSSIBILE = ecc. Nessun numero reale, infatti, pu fare da risultato in situazioni come queste, perch nessun numero dell insieme \, se elevato ad esponente pari, d un risultato negativo. NOTA - Salvo poi ridiscuterne quando viene introdotto l insieme dei numeri complessi ; leggi il riquadro a fianco ^ Nel caso, infine, di indice pari e radicando positivo (es. 49), si continua sempre ad assegnare all'operazione, convenzionalmente, un UNICO risultato, quello positivo: 497 e NON497== ; 44162 e NON 162== Questa convenzione universalmente accettata a motivo di tutta una serie di inconvenienti che si verrebbero a creare qualora si decidesse invece di ammettere il "doppio risultato".

8 L insieme l insieme \dei numeri reali , e contiene sia i numeri interi che quelli con la virgola, sia i razionali che gli irrazionali, sia i positivi che i negativi. Contiene, insomma, tutti i numeri rappresentabili su di una number line, che sono poi i numeri comunemen e utilizzati . t In particolari contesti, di matematica pura o di Fisica o di Ingegneria, intervengono anche altri numeri, quelli dell insieme . ^.. Sorprendente! Ne riparleremo! Ma adesso proseguiamo con lo studio dei Radicali assoluti , quelli in cui il radicando e il risultato sono sempre positivi (). 0 Scriveremo, per brevit , soltanto Radicali , ma intenderemo sempre, fino al paragrafo 16 compreso, Radicali assoluti.

9 4 4. LA PROPRIETA' INVARIANTIVA DEI Radicali (esercizi a pag. 19) (6) nkmkmnPROPRIETA ' INVARIANTIVAaa= ossia: se il radicando una potenza, il cui esponente semplificabile con l indice, possibile effettuare la semplificazione: il valore del radicale non cambier ; e viceversa, leggendo da destra verso sinistra: il valore di un radicale non cambia se si moltiplicano sia l indice che l esponente del radicando per uno stesso intero positivo k; o, in altre parole, se si moltiplica l'indice per un intero positivo k, e contemporaneamente si eleva il radicando all'esponente k.

10 Dimostrazione della (6) Il ragionamento dimostrativo si basa su di una propriet dei numeri reali della quale ci serviremo in seguito anche per altre dimostrazioni, e che quindi appare opportuno denominare con un termine convenzionale. Chiameremo questa propriet principio E ( E come Elevamento a potenza ). Il Principio E Se elevando ad uno stesso esponente p*{0} {1, 2, 3, 4, .. } = =`` due numeri reali POSITIVI O NULLI, si ottengono risultati uguali, allora si era partiti da numeri uguali ppxyxy(x, y numeri reali non negativi, p numero naturale non nullo)= = Prendiamo dunque separatamente il primo e il secondo membro della uguaglianza (6) che vogliamo dimostrare, ed eleviamoli entrambi all'esponente.