Resumen y Ejercicios Ecuaciones cuadráticas (2)

1 LMDE Algebra Resumen y Ejercicios Ecuaciones cuadr ticas (2) I. Una ecuaci n cuadr tica con coeficientes reales es una ecuaci n de la forma 0,02 =++acbxax siendo cba,, n meros reales. Ejemplos de Ecuaciones cuadr ticas: 042= xx; 01322=+ xx; 0652=++xx ; 02052= x; 012=+x II. Ra z o soluci n de una ecuaci n cuadr tica. Un n mero r es una raiz o una soluci n de la ecuaci n cuadr tica 02=++cbxax, si y solo si, al sustituir x por r, se cumple la igualdad. Es decir: 02=+ + crbra Ejemplo. Determinar el valor de m en la ecuaci n: 01562=+ mxx, sabiendo que una de sus ra ces es: 3. Soluci n. Sustituyendo x=3 en la ecuaci n, se obtiene: 0153362=+ m, de donde .23=m III. Resolver una ecuaci n cuadr tica significa, hallar todas las ra ces (o soluciones) de la ecuaci n cuadr tica. Existen varios m todos para resolver Ecuaciones cuadr ticas. Los m s usuales son: a) Factorizaci n b) Completando el cuadrado de un binomio c) F rmula cuadr tica.

2 A) M todo de Factorizaci n Este m todo se usa preferentemente cuando la expresi n cbxax++2 se puede factorizar o descomponer en un producto de dos binomios lineales de manera r pida. Ejemplo 1 Resolver la ecuaci n 06322= +xx 7;907,,090)7)(9(0632212= == =+= += +xxxoxxxxx Ejemplo 2 Resolver la ecuaci n 072=+xx 7;007,,00)7(07212 ===+==+=+xxxoxxxxx Ejercicios (1) Usando este procedimiento resuelva las siguientes Ecuaciones cuadr ticas: 1) 056152=++xx 2) 08832= +xx 3) 04542= xx 4) 0372= xx 5) 01252=+xx 6) 0812= x 7) 0120232=+ xx 8) 0722= +xx 9) 0101962=+ xx LMDE Algebra b) M todo Completaci n de un binomio al cuadrado. Este m todo permite resolver cualquier ecuaci n cuadr tica.

3 Se aplica la siguiente propiedad: si BA=2 entonces BA =. Ejemplo 1 Resolver la ecuaci n 06322= +xx 9,,781,,8164164164)1(1631263206322222 == =+ = = =+=++=++=+= +xoxxoxxxxxxxxxx Ejemplo 2 Resolver la ecuaci n 051232=+ xx 37237237)2(7)2(3512)44(305)4(32222 = = = = = + =+ xxxxxxxx Ejercicios (2) Usando el m todo de completaci n de cuadrado resuelva las siguientes Ecuaciones cuadr ticas: 1) 056152=++xx 2) 08832= +xx 3) 0101962=+ xx Nota. El m todo de completaci n de cuadrado aplicado a la ecuaci n general 02=++cbxax, proporciona una f rmula con la cual se puede resolver de manera directa cualquier ecuaci n cuadr tica. c) M todo de f rmula. Resolver la ecuaci n 02=++cbxax, siendo 0 a (expresada en la forma can nica). aacbabxaacbabxabacabxabacabxabxacxabxcxa bxa2424424422222222222222 = =++ = + + = ++ =+ = + Por lo tanto, las ra ces de la ecuaci n cuadr tica 02=++cbxax (escrita en la forma can nica) se pueden obtener usando la f rmula aacbbx242 =.

4 LMDE Algebra Ejercicios (3) Usando este procedimiento resuelva las siguientes Ecuaciones cuadr ticas: 1) 056152=++xx 2) 08832= +xx 3) 04542= xx 4) 0372= xx 5) 01252=+xx 6) 0812= x 7) 0120232=+ xx 8) 0722= +xx 9) 0101962=+ xx 10) 03762= +xx 11) 5683392= xx 12) 011372= xx 13) 21)3)(7(=++xx 14) xxx =+ 46)12)(35( 15) 30)6(5 = xxx 16) 02= +cbxax 17) 22226xbbmxm=+ 18) cxcx =+2)2(2 IV. Otras Ecuaciones (que no son Ecuaciones cuadr ticas) se pueden resolver aplicando m todos de resolucion de Ecuaciones cuadr ticas. Recuerde que, para estas Ecuaciones , debe verificar si las soluciones obtenidas son o no son soluciones de la ecuaci n dada. Ejercicios (4).

5 Resuelva cada ecuaci n: 1) xx82= 2) xxx = 223 3) 2532= xx 4) xx67322+= 5)215132= ++ xxxx 6) 01621037= xxx V. Naturaleza de las ra ces de una ecuaci n cuadr tica. Dada la ecuaci n cuadr tica 02=++cbxax. Sus raices se pueden obtener usando la f rmula aacbbx242 =. La naturaleza de las raices de la ecuaci n dependen de la cantidad subradical acb42 llamada discriminante. Naturaleza de las raices acb42 > 0 las dos raices son reales y distintas acb42 = 0 las ra ces de la ecuaci n son reales e iguales acb42 < 0 las ra ces de la ecuaci n son complejas conjugadas. Nota: Si acb42 > 0 y es un cuadrado perfecto, las ra ces de la ecuaci n son racionales. Ejercicios (5). 1) Determine la naturaleza de las ra ces de las siguientes Ecuaciones : a) 01640252=+ xx b) 02352=+ xx c) 06722=++xx d) 0432=+x e) 04832=+ xx 2) Determine el valor de k en cada una de las siguientes Ecuaciones de modo que sus ra ces sean iguales: a) 09242=+ xkx b) 0532=+++kkxkx c) 0212)6(42=++ kxkx VI.

6 Relaciones entre las ra ces y los coeficientes de una ecuaci n cuadr tica. Dada la ecuaci n cuadr tica 02=++cbxax. Sus ra ces son: aacbbx2421 + = y aacbbx2422 = LMDE Algebra Suma de las ra ces de la ecuaci n cuadr tica: abxx =+21 Producto de las ra ces de la ecuaci n cuadr tica: acxx= 21 Estas dos relaciones permiten resolver una serie de problemas como el siguiente. Ejemplo. Determinar el valor de m en la ecuaci n: 01562=+ mxx, sabiendo que la suma de sus raices es 1. Soluci n. Datos: a = 6 b = -m c = 15 121=+xx abxx =+21 621mxx =+ 61m = 6=m Ejercicios (6). 1) Determine el valor del coeficiente literal en cada una de las siguientes Ecuaciones : a) 042= +txx , cuando sus ra ces son opuestas. b) 062= +mxx , cuando una ra z es el doble de la otra. c) 0172=++kxx, cuando la diferencia entre sus ra ces es 3.

7 2) Si y son las ra ces de la ecuaci n 02=++qpxx, formar la ecuaci n cuyas ra ces son: 2+ y 2+ 3) Qu valor debe tomar m en la ecuaci n 2222 =+ xmmxmx para que sus ra ces sean dos enteros consecutivos? VII. Problemas 1) Encontrar dos n meros tales que su suma sea 34 y su producto 273. 2) Encontrar un n mero tal que dos veces su cuadrado exceda al propio n mero en 45. 3) El per metro de un rect ngulo es 320cm. Calcular su rea si su largo es el triple de su ancho. 4) La diferencia entre los lados de un rect ngulo es 70 cm. Calcular esos lados sabiendo que su diagonal mide 130 cm. 5) Dos motoristas distanciados por 130 km., parten para encontrarse. Si la velocidad de uno es de 30 km/h y la velocidad del otro es 33 m s que el n mero de horas que pasan antes del encuentro. Determinar la distancia recorrida por ambos antes de encontrarse y el tiempo transcurrido desde que partieron.

8 6) Una l mina rectangular de aluminio de per metro 96cm se utiliza para confeccionar una caja sin tapa. Para ello se corta un cuadrado de 4cm de lado en cada esquina y se sueldan los bordes. Cu les son las dimensiones de la l mina usada si el volumen de la caja es de 768cm3? 7) Un grupo de j venes decide pagar por partes iguales el arriendo de $ de un bote. A ltima hora, tres de los j venes se arrepintieron, con lo cual la cuota de cada uno de los restantes j venes subi en $ a) Cu ntos j venes hab a en el grupo original?. [Resp. 7 j venes] (b) Cu nto pag cada uno de los j venes del grupo final? [Resp. $3500]