Transcription of SELECTIVIDAD MURCIA
1 MATEM TICAS IIMATEM TICAS IIMATEM TICAS IISELECTIVIDAD MURCIAe i+ 1 = 0tetraedrocubooctaedrododecaedroicosaedr o15 de julio de 2021 Germ n Ib ndice general1. A o Julio 2021 .. Junio ordinaria 2021 .. 102. A o Septiembre 2020 .. Junio 2020 .. 233. A o Septiembre 2019 .. Junio 2019 .. 354. A o Septiembre 2018 .. Junio 2018 .. 475. A o Septiembre 2017 .. Junio 2017 .. 596. A o Septiembre 2016 .. Junio 2016 .. 707. A o Septiembre 2015 .. Junio 2015 .. 808. A o Septiembre 2014 .. Junio 2014 .. mayores 2014 .. 9419. A o Septiembre 2013 .. Junio 2013 .. o Septiembre 2012 .. Junio 2012 .. Muestra cn2 diciembre 2011 .. o Septiembre 2011.
2 Junio 2011 .. o Septiembre 2010 .. Junio 2010 .. o Septiembre 2009 .. Junio 2009 .. o Septiembre 2008 .. Junio 2008 .. o Septiembre 2007 .. Junio 2007 .. o Septiembre 2006 .. Junio 2006 .. o Septiembre 2005 .. Junio 2005 .. o Septiembre 2004 .. Junio 2004 .. 206 SELECTIVIDAD Matem ticas II ( MURCIA ) 1A o Julio 2021 CUESTI N 1 Considere el siguiente sistema de ecuaciones en funci n delpar metroa: x+ay z= 02x+y+az= 0x+ 5y az=a+ 1a) Determine para qu valores de a el sistema tiene soluci n ) Determine para qu valor de a el sistema tiene infinitas soluciones y resu lvalo en ese ) Determine para qu valor de a el sistema no tiene soluci Jul 2021 Soluci n:Estudiamos el sistema, para ello hacemos el determinante dela matriz de coeficientes.
3 |M|= 1a 12 1a1 5 a = 3a2 6a 9,3a2 6a 9 = 0, a= 3, a= 1a) Por tanto paraa6= 1, a6= 3, rango(M) = 3 =rango(A) =n mero de inc gnitas, el sistema escompatible determinado, tiene soluci n ) Paraa= 1la matriz ampliada queda:A= 1 1 1 02 1 1 01 5 1 0 , queda un sistema homog neorango(M) = 2 =rango(A), el menor remarcado esdistinto de cero, el sistema es compatible indeterminado, osea con infinitas soluciones dependientes de unpar metro, por ello eliminamos la tercera ecuaci n, queda la matriz: 1 1 1 02 1 1 0 Pasando la tercera inc gnita al otro miembro como par metroqueda el sistema: x y=z2x+y=z, sumandoresulta3x= 2z;x=23zsustituyendo en la primera23z y=z;y= 13z34A o 2021 Por tanto paraa= 1la soluci n esx=23t, y= 13t, z=t;t Rc) Paraa= 3la matriz ampliada queda:A= 1 3 1 02 1 3 01 5 3 4 Consideramos el menor formado de la matriz ampliada: 1 3 02 1 01 5 4 = 206= 0 Por tanto paraa= 3, rango(M) = 2< rango(A) = 3sistema incompatible, sin soluci N 2 Considere la matrizA= 2a 1 2 a) Si se denota portr(A)la traza de la matrizA(es decir, la suma de los elementos de sudiagonal principal) y por|A|el determinante deA, compruebe que, para cualquier valor dea, se cumple la ecuaci nA2=tr(A)A |A|I, dondeIdenota la matriz identidad de ) Determine para qu valores deala matrizAes regular (o inversible).
4 C) Paraa= 3, resuelva la ecuaci n matricialA X At=A, dondeAtdenota la matriztraspuesta Jul 2021 Soluci n:a) Vemos quetr(A) = 4,|A|= 4 +aA2= 2a 1 2 2a 1 2 = 4 a4a 4 4 a tr(A)A |A|I= 4 2a 1 2 (4+a) 1 00 1 = 8 4a 4 8 4 +a00 4 +a = 4 a4a 4 4 a b) Una matriz tiene inversa cuando su determinate no es cero.|A|= 2a 1 2 = 4 + tanto hay inversa siempre quea6= 4c) Paraa= 3resultaA= 2 3 1 2 Despejando en la ecuaci nA X At=A;A X=A+At;A 1A X=A 1(A+At);X=A 1(A+At)La inversa es la adjunta de la traspuesta dividida por el determinante:HallamosA 1;|A|= 1;At= 2 1 3 2 ;adj(At) = 2 31 2 ;A 1= 2 31 2 A+At= 2 3 1 2 + 2 1 3 2 = 4 4 4 4 X=A 1(A+At) = 2 31 2 4 4 4 4 = 4 4 4 4 Julio 20215 CUESTI N 3 Dada la funci nf(x) =x2e xdefinida para todo valor dex R, se pide:a) Calcule sus extremos relativos (m ximos y m nimos) y determine sus intervalos de creci-miento y ) Calculel mx f(x)yl mx + f(x)selcn Jul 2021 Soluci n:a) Empezamos calculando la derivada:f (x) = 2xe x x2e x= (2x x2)e xque se anula enx= 0yx= 2, estudiamos el signo de la derivada.
5 X02y + y M NIMOM XIMO ftiene un M NIMO en(0,0)y un M XIMO en(2,4e2)fdecrece en( ,0) (2, )y crece en(0,2)b) Calculamos primerol mx + f(x), y escribimos la funci n en forma de cocientef(x) =x2exl mx x2ex= / L H pital= l mx 2xex= / L H pital= l mx 2ex= 0l mx x2ex=n 0+o= + CUESTI N 4a) Calcule la integral indefinidaZxsen(x2)dxutilizando el m todo de cambio de variable(o m todo de sustituci n).b) Determine el menor valor dea >0para el cual se cumpleZa0xsen(x2) Jul 2021 Soluci n:a)Zxsen(x2)dx= x2=t2x dx=dt;x dx=12dt =Z12sent dt=12 Zsent dt= 12cost== 12cos(x2) +Cb)Za0xsen(x2)dx= 12cos(x2) a0= 12cos(a2) +12cos 0 =12 cos(a2) + 1 = 1 cos(a2) + 1 = 2; cos(a2) = 1;a2=.
6 A= CUESTI N 5 Considere las rectas de ecuaciones6A o 2021r:x 11=y1=z 1 1ys: x 2y= 1y+z= 1a) Compruebe que las rectas se cortan en un punto y calcule su punto de ) Determine el ngulo que forman las dos ) Calcule la ecuaci n del plano que contiene a las dos Jul 2021 Soluci n:Vamos a obtener un punto y un vector direcci n de cada recta:r: P(1,0,1)~v= (1,1, 1)s: x 2y= 1y+z= 1resolvemos el sistema para tener las ecuaciones param tricas, pasamosyal otromiembro como par metro:s: x= 1 + 2yy=yz= 1 ypor tanto:s: Q( 1,0,1)~w= (2,1, 1)Es inmediato ver que~vy~wno son proporcionales, por tanto las rectas no son paralelas, por tanto se cortano se el vector~QP= (2,0,0). Veamos el rango de(~QP , ~v, ~w).
7 Calculamos el determinante de lamatriz que forman: 2 0 01 1 12 1 1 = 0, por tantorysse hallar el punto de corte sustituimos las param tricas der: x= 1 +ty=tz= 1 ten uno de los planos quedefinensy que d soluci n, elx 2y= 1queda1 +t 2t= 1;t= 2, El punto de corte de las dosrectas es(3,2, 1)b) El ngulo de las dos rectas es el menor de los ngulos que forman. Sehalla a partir de dos vectores direcci = ~v. ~w|~v|.|~w| = (1,1, 1) (2,1, 1) 3. 6 = 2 + 1 + 1 3. 6 =4 18=0 9428(se toma valor absoluto porque no sabemos si se trata del ngulo o desu suplementario) =arcos4 18= 19 470b) El plano que contiene ary aspasa por el puntoPy tiene como vectores direcci n~vy~w, su ecuaci nmatricial es: x 1y z 11 1 12 1 1 = y z+ 1 = 0El plano que contiene ary astiene de ecuaci ny+z= 1 CUESTI N 6 Los puntosA= (2,0,0)yB= ( 1,12,4)son dos v rtices de un tri ngulo.
8 El tercer v rticeCse encuentra en la rectardada porr: 4x+ 3z= 33y= Julio 20217a) Calcule las coordenadas del tercer v rticeCsabiendo que la rectares perpendicular a larecta que pasa ) Determine si el tri nguloABCtiene un ngulo recto enAy calcule su Jul 2021 Soluci n:a) Resolvemos el sistema para tener las ecuaciones param tricas de la recta (despejamoszen la primeraecuaci n:3z= 33 4x;z= 11 43x)r: x=xy= 0z= 11 43xpara evitar trabajar con denominadores en vez del vector direcci n(1,0, 43)utilizamos el paralelo~v=(3,0, 4)utilizamos las param tricas:r: x= 3ty= 0z= 11 4tt Rel puntoCderes de la forma(3t,0,11 4t)Para quersea perpendicular a la recta que pasa porAyC, han de serperpendiculares~CA= (2 3t,0, 11 + 4t)y el vector direcci n der:~v= (3,0, 4)El producto escalar ha de ser cero:~v ~CA= 3(2 3t)+0+ 4( 11+4t) = 50 25t= 0.
9 T= 2sustituyendoen las param tricas der x= 3 2 = 6y= 0z= 11 4 2 = 3t RTenemos el puntoC= (6,0,3)bArbCb) El tri ngulo ser rect ngulo enAsi~AB= ( 1 2,12,4) = ( 3,12,4)y~AC= (6 2,0,3) = (4,0,3)son perpendiculares, si el producto escalares cero:~AB ~AC= 12 + 0 + 12 = 0El rea del tri ngulo es la mitad del m dulo del producto vectorial delos vectores~AB= ( 3,12,4),~AC= (4,0,3)~QP ~QR= ~i~j~k 3 12 44 0 3 = 36~i+ 25~j 48~kEl m dulo es:|~QP ~QR|=p362+ 252+ 482= 4225 = 65La mitad es: rea=652u2 CABCUESTI N 7 Una urna contiene cinco bolas negras, numeradas del 1 al 5, y siete bolas blancas, numeradasdel 1 al 7. Se saca de la urna una bola al azar. Calcule:a) La probabilidad de que la bola sea ) La probabilidad de que la bola est numerada con un n mero ) La probabilidad de que la bola est numerada con un n mero par, sabiendo que es unabola ) La probabilidad de que la bola sea blanca y est numerada con un n mero o 2021e) La probabilidad de que la bola sea blanca, sabiendo que est numerada con un n Jul 2021 Soluci n.
10 N negra, hay 5, B blanca hay 7, total de bolas 121, 2, 3, 4, 5 de las negras, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 de la blancas, hay 2 n meros pares en las negras y 3 n merospares en las blancas, P para) La probabilidad de que la bola sea blancap(B) = ) La probabilidad de que la bola est numerada con un n mero parp(P) = ) La probabilidad de que la bola est numerada con un n mero par, sabiendo que es una bola blancap(P/B) =p(P B)p(B)=312712= ) La probabilidad de que la bola sea blanca y est numerada con un n mero parp(P B) = ) La probabilidad de que la bola sea blanca, sabiendo que est numerada con un n mero parp(B/P) =p(B P)p(P)=312512= N 8 Juan es un estudiante bastante despistado y su tutora est cansada de que llegue tarde aclase.
