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Sistemas de ecuaciones - Blog de Vicente González Valle

168 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, ecuaciones1. Sistemas lineales. Resoluci n gr ficaDado el sistema lineal formado por las ecuaciones del gr fico de la parte derecha:a) cu ntas soluciones tiene?b) halla la soluci n o las n:a) Solo tiene una soluci nb) La soluci n es x = 1, y = 2 PIENSA Y CALCULAR esuelve gr ficamente el siguiente sistema lineal yclasif calo seg n el n mero de soluciones:2x + y = 3x 3y = 5}Clasifica mentalmente el siguiente sistema lineal yresu lvelo gr ficamente para comprobarlo:2x 2y = 3 x + y = 3}2 Soluci n x = 2, y = 1 Como tiene una soluci n, el sistema es compatibledeterminadoSoluci n:Primera ecuaci n:2x + y = 3y = 3 2x A(0, 3) B(1, 1)Segunda ecuaci n:x 3y = 5x = 3y + 5 C(5, 0) D( 4, 3)1 APLICA LA TEOR AXY2x + y = 4x 3y = 5xy0311xy50 4 32x + y = 3P(2, 1)x 3y = 5 XYTEMA 5. Sistemas DE ECUACIONES169 Grupo Editorial Bru o, mentalmente el siguiente sistema lineal yresu lvelo gr ficamente para comprobarlo:2x y = 1 4x + 2y = 2}Clasifica mentalmente el siguiente sistema lineal yresu lvelo gr ficamente para comprobarlo:3x + 2y = 62x y = 4}Soluci n:Los coeficientes de las variables no son proporciona-les, por tanto, el sistema es compatible rectas son ?

4. Sistemas exponenciales y logarítmicos Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) 2 x= 2 b) 2 = 1 c) 2 = 1/2 d) log x = 1 e) log x = 0 f) log x = –1 Solución: a) x …

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1 168 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, ecuaciones1. Sistemas lineales. Resoluci n gr ficaDado el sistema lineal formado por las ecuaciones del gr fico de la parte derecha:a) cu ntas soluciones tiene?b) halla la soluci n o las n:a) Solo tiene una soluci nb) La soluci n es x = 1, y = 2 PIENSA Y CALCULAR esuelve gr ficamente el siguiente sistema lineal yclasif calo seg n el n mero de soluciones:2x + y = 3x 3y = 5}Clasifica mentalmente el siguiente sistema lineal yresu lvelo gr ficamente para comprobarlo:2x 2y = 3 x + y = 3}2 Soluci n x = 2, y = 1 Como tiene una soluci n, el sistema es compatibledeterminadoSoluci n:Primera ecuaci n:2x + y = 3y = 3 2x A(0, 3) B(1, 1)Segunda ecuaci n:x 3y = 5x = 3y + 5 C(5, 0) D( 4, 3)1 APLICA LA TEOR AXY2x + y = 4x 3y = 5xy0311xy50 4 32x + y = 3P(2, 1)x 3y = 5 XYTEMA 5. Sistemas DE ECUACIONES169 Grupo Editorial Bru o, mentalmente el siguiente sistema lineal yresu lvelo gr ficamente para comprobarlo:2x y = 1 4x + 2y = 2}Clasifica mentalmente el siguiente sistema lineal yresu lvelo gr ficamente para comprobarlo:3x + 2y = 62x y = 4}Soluci n:Los coeficientes de las variables no son proporciona-les, por tanto, el sistema es compatible rectas son ?

2 2 1 Representaci n gr fica:Primera ecuaci n:3x + 2y = 63xy = 3 2 A(0, 3) B(2, 0)Segunda ecuaci n:2x y = 4y = 2x 4 C(0, 4) D(3, 2)4 Primera ecuaci n:2x y = 1y = 2x 1 A(0, 1) B(2, 3)Soluci n:Los coeficientes de las variables son proporcionales, ylo son con los t rminos independientes; por tanto, elsistema es compatible indeterminado. Las dos rectasson la misma. Multiplicando la 1 ecuaci n por 2 seobtiene la 2 ecuaci 11 = = 42 2 Representaci n gr fica:Solo representaremos la 1 recta, ya que ambas rec-tas son la n:Los coeficientes de las variables son proporcionales,y no lo son con los t rminos independientes; portanto, el sistema es incompatible. Las rectas 23 = ? 113 Representaci n gr fica:Primera ecuaci n:2x 2y = 33y =x 2 A(0, 3/2) B(5, 7/2)Segunda ecuaci n: x + y = 3y = x + 3 C(0, 3) D(2, 5)2x 2y = 3 x + y = 3XY2x y = 1 4x + 2y = 2XY3x + 2y = 6P(2, 0)2x y = 4 XYxy0 3/257/2xy0325xy0 123xy0320xy0 432170 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, Resoluci n algebraica de Sistemas linealesx + y = 5 Halla mentalmente, sumando y restando, la soluci n del sistema x y = 1}Soluci n:Sumando se obtiene: 2x = 6 x = 3 Restando se obtiene: 2y = 4 y = 2 PIENSA Y CALCULAR esuelve por el m todo m s adecuado el siguientesistema y razona por qu eliges ese m todo:2x + 3y = 95x + y = 16}Resuelve por el m todo m s adecuado el siguientesistema y razona por qu eliges ese m todo:4x + 3y = 15x 3y= 19}Resuelve el siguiente sistema: = = Resuelve el siguiente sistema:2x + 4y = 7 = }Soluci n.

3 Primero se eliminan los obtiene: x = ,y = 22542x 5y6x38 Soluci n:Primero se eliminan los obtiene: x = 4, y = 333101102x 3y5116x + y6x27 Soluci n:Se resuelve por reducci n; sumando las dos ecua-ciones se elimina la inc gnita ySe obtiene: x = 2, y = 36 Soluci n:Se resuelve por sustituci n despejando la inc gnita yde la 2 ecuaci n y sustituyendo en la 1 ecuaci obtiene: x = 3, y = 15 APLICA LA TEOR A3. Sistemas de ecuaciones no linealesObservando el dibujo de la parte derecha, halla mentalmente la soluci n del siste-ma formado por las ecuaciones de las dos n:Los puntos de corte son: A(3, 2) y B(1, 4). Por tanto, las soluciones son:x1= 3, y1= 2x2= 1, y2= 4 PIENSA Y CALCULAXYx2 + y2 4x 6y + 11 = 0x2 + y2 6x 8y + 21 = 0}TEMA 5. Sistemas DE ECUACIONES171 Grupo Editorial Bru o, el siguiente sistema e interpreta la solu-ci n gr ficamente:y = x2+ 4x 1y = 2x + 2 }Resuelve el siguiente sistema formado por dos cir-cunferencias e interpreta gr ficamente el resultado:x2+ y2 4x 2y = 20x2+ y2 12x + 2y = 12}Resuelve el siguiente sistema e interpreta la solu-ci n gr ficamente:xy = 63x 2y = 0}Resuelve el siguiente sistema formado por unahip rbola y una circunferencia e interpreta la solu-ci n gr ficamente:xy = 4x2+ y2= 17}Soluci n:Se resuelve por sustituci n, se despeja de la 1 ecua-ci n la inc gnita y, y se sustituye en la 2 ecuaci obtienen las soluciones:x1= 4, y1= 1x2= 4, y2= 1x3= 1, y3= 4x4= 1, y4= 4La interpretaci n gr fica es que la hip rbola y la cir-cunferencia son secantes.

4 Se cortan en cuatro puntos:A(4, 1), B( 4, 1), C(1, 4) y D( 1, 4)12 Soluci n:Se resuelve por sustituci n, se despeja yde la 2 ecua-ci n y se sustituye en la 1 ecuaci obtienen las soluciones:x1= 2, y1= 3x2= 2, y2= 3 Interpretaci n gr fica:Son una hip rbola y una hip rbola y la recta son secantes. Se cortan endos puntos:A(2, 3) y B( 2, 3)11 Soluci n:Se restan las dos ecuaciones y se obtiene una ecua-ci n de 1ergrado. Se despeja en esta ecuaci n unainc gnita y se sustituye en la ecuaci n de una de obtienen las soluciones:x1= 6, y1= 4x2= 2, y2= 4La interpretaci n gr fica es que las dos circunferen-cias son secantes. Se cortan en dos puntos: A(6, 4) yB(2, 4)10 Soluci n:Se resuelve por igualaci obtienen las soluciones:x1= 1, y1= 4x2= 3, y2= 4 Interpretaci n gr fica:Son una par bola y una par bola y la recta son secantes, se cortan en dospuntos:A(1, 4) y B( 3, 4)9 APLICA LA TEOR AA(1, 4)B( 3, 4)y = x2 + 4x 1 XYy = 2x + 2A(2, 3)B( 2, 3)3x + 2y = 0xy = 6XY4.

5 Sistemas exponenciales y logar tmicosResuelve mentalmente las siguientes ecuaciones : a) 2x= 2b) 2x= 1c) 2x= 1/2d) log x = 1e) log x = 0f ) log x = 1 Soluci n:a) x = 1b) x = 0c) x = 1d) x = 10e) x = 1f ) x = 0,1 PIENSA Y CALCULA172 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, el siguiente sistema exponencial:2x+ 3y= 72x 3y= 1}Halla dos n meros sabiendo que suman 12 y quesu producto es 35 Resuelve el siguiente sistema logar tmico:log x + log y = log 12log x log y = log 3}Halla los lados de un tri ngulo rect ngulo sabien-do que la hipotenusa mide 10 m y que los catetosson proporcionales a 3 y 4 Soluci n:16 Soluci n:Sumando las dos ecuaciones se obtiene:2 log x = log 12 + log 3log x2= log 36x2= 36 x = 6La soluci n negativa no las dos ecuaciones se obtiene:2 log y = log 12 log 3log y2= log 4y2= 4 y = 2La soluci n negativa no n: x = 6, y = 215 Soluci n:x + y = 12xy = 35}Se resuelve el sistema por sustituci n, despejando lainc gnita yde la 1 ecuaci soluciones del sistema son:x1= 7, y1= 5x2= 5, y2= 7 Por tanto, los n meros son 5 y 714 Soluci n:Se hace el cambio de variables:2x= u, 3y= vSe obtiene el sistema lineal:u + v = 7 u = 4,v = 3u v = 1}Deshaciendo el cambio:2x= 4 x = 23y= 3 y = 113 APLICA LA TEOR Axy10 TEMA 5.

6 Sistemas DE ECUACIONES173 Grupo Editorial Bru o, soluciones del sistema son:x1= 6, y1= 8x2= 6, y2= 8 Las soluciones negativas no tienen tanto, los catetos miden 6 m y 8 mSe aplica el teorema de Pit + y2= 102x3 = }y4Se resuelve el sistema por sustituci n, despejando lainc gnita yde la 2 ecuaci Grupo Editorial Bru o, y problemas1. Sistemas lineales. Resoluci n gr ficaResuelve gr ficamente el siguiente sistema lineal yclasif calo por el n mero de soluciones:3x + y = 6x y = 2}Clasifica mentalmente el siguiente sistema linealy resu lvelo gr ficamente para comprobarlo:x 2y = 1 3x + 6y = 3}Clasifica mentalmente el siguiente sistema linealy resu lvelo gr ficamente para comprobarlo:3x 4y = 13x + 3y = 0}Soluci n:Los coeficientes de las variables no son proporciona-les; por tanto, el sistema es compatible rectas son 4 ? 13 Representaci n gr fica:Primera ecuaci n:3x 4y = 133x + 13y = 4 A(1, 4) B( 3, 1)Segunda ecuaci n:x + 3y = 0x = 3y191 2 1 = = 36 3 Representaci n gr fica:Solo representaremos la 1 recta, ya que ambas rec-tas son la ecuaci n:x 2y = 1x = 2y + 1 A(1, 0) B(5, 2)Soluci n:Los coeficientes de las variables son proporcionales,y lo son con los t rminos independientes; por tanto,el sistema es compatible indeterminado.

7 Las dos rec-tas son la misma. Multiplicando la 1 ecuaci n por 3se obtiene la 2 ecuaci n:Primera ecuaci n:3x + y = 6y = 6 3x A(0, 6) B(2, 0)Segunda ecuaci n:x y = 2y = x + 2 C(0, 2) D( 2, 0)Soluci n x = 1, y = 3 Como tiene una soluci n, el sistema es 31xy02 203x + y = 6P(1, 3)x y = 2 XYx 2y = 1 3x + 6y = 3 XYClasifica mentalmente el siguiente sistema linealy resu lvelo gr ficamente para comprobarlo:2x 3y = 5 2x + 3y = 5}2. Resoluci n algebraica de sistemaslinealesResuelve el siguiente sistema por el m todo m sadecuado y razona por qu eliges ese m todo:y = 2x + 10y = x + 7 }Resuelve el siguiente sistema por el m todo m sadecuado y razona por qu eliges ese m todo:4x 3y = 232x + 5y = 21}Resuelve el siguiente sistema:2x = + = Soluci n:Primero se eliminan los obtiene: x = 3, y = 131124x 3y4y32253x y523 Soluci n:Se resuelve por reducci n, multiplicando la 2 ecua-ci n por 2 y rest ndosela a la 1 Se obtiene: x = 2, y = 522 Soluci n:Se resuelve por igualaci n, ya que la inc gnita yest despejada en las dos obtiene: x = 3, y = 421 Soluci n:Los coeficientes de las variables son proporcionales,y no lo son con los t rminos independientes; portanto, el sistema es incompatible.

8 Las rectas 35 = ? 235 Representaci n gr fica:Primera ecuaci n:2x 3y = 52x 5y = 3 A(4, 1) B( 2, 3)Segunda ecuaci n: 2x + 3y = 52x + 5y = 3 C(5, 5) D(2, 3)20 O(0, 0) D(3, 1)TEMA 5. Sistemas DE ECUACIONES175 Grupo Editorial Bru o, 1 2x + 3y = 52x 3y = 5XY3x 4y = 13P( 3, 1)x + 3y = 0 XYxy41 2 3xy5523}176 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, y problemasResuelve el siguiente sistema: = + y = 3. Sistemas de ecuaciones no linealesResuelve el siguiente sistema e interpreta la solu-ci n gr ficamente:y = x2+ 4x + 1x + y = 5 }Resuelve el siguiente sistema formado por dos cir-cunferencias e interpreta el resultado:x2+ y2= 18x2+ y2 4x 4y + 6 = 0}Resuelve el siguiente sistema:x 3y = 5xy 2x y = 1}Resuelve el siguiente sistema:xy = 3x2+ y2 4x 4y + 6 = 0}4. Sistemas exponenciales y logar tmicosResuelve el siguiente sistema exponencial:3x+ 5y= 288 3x 5y= 1}Soluci n:Se hace el cambio de variables:3x= u, 5y= vSe obtiene el sistema lineal:u + v = 28 u = 3,v = 258u v = 1}29 Soluci n:Se resuelve por sustituci n, se despeja la inc gnita yde la 1 ecuaci n, y se sustituye en la 2 ecuaci obtienen las soluciones:x1= 3, y1= 1x2= 1, y2= 328 Soluci n:Se resuelve por sustituci n, se despeja xde la 1 ecuaci n y se sustituye en la 2 ecuaci obtienen las soluciones:x1= 4, y1= 3x2= 2, y2= 127inc gnita y se sustituye en la ecuaci n de una delas obtiene la soluci n:x = 3, y = 3La interpretaci n gr fica es que las dos circunfe-rencias son tangentes.

9 Se cortan en un punto,A(3, 3)Soluci n:Se restan las dos ecuaciones y se obtiene una ecua-ci n de 1ergrado. Se despeja en esta ecuaci n una26 Soluci n:Se resuelve por igualaci n despejando yde la 2 ecuaci obtienen las soluciones:x1= 4, y1= 1x2= 1, y2= 4 Interpretaci n gr fica:Son una par bola y una par bola y la recta son secantes. Se cortan en dospuntos: A(4, 1) y B(1, 4)25 Soluci n:Primero se eliminan los obtiene: x = ,y = 3319122x 5y61416x y3x224}B(1, 4)A(4, 1)y = x2 + 4x + 1x + y = 5 XYTEMA 5. Sistemas DE ECUACIONES177 Grupo Editorial Bru o, dos n meros sabiendo que el doble del pri-mero m s el segundo es igual a 13, y que la sumade sus cuadrados es 34 Resuelve el siguiente sistema logar tmico:log (x 1) log (y + 3) = 02 log x + log (y + 1) = 4 log 2}Una chapa tiene 28 m de per metro. Si le corta-mos 2 m de largo y otros 2 m de ancho, el rea dela nueva chapa es de 24 m2.

10 Halla las dimensionesde la chapa n:2x + 2y = 28(x 2)(y 2) = 24}x + y = 14xy 2x 2y = 20}Se resuelve el sistema por sustituci n, despejando lainc gnita yde la 1 ecuaci soluciones del sistema son:x1= 8, y1= 6x2= 6, y2= 8 Por tanto, los lados de la plancha inicial miden 8 m y 6 m32Se resuelve por sustituci n, se despeja la inc gnita yde la 1 ecuaci n y se sustituye en la obtiene solo la soluci n = 4, y = 0 Soluci n:Aplicando las propiedades de los logaritmos, se tiene:x 1log =log 1y + 3log x2(y + 1) = log 24 }x 1 = 1x 1 = y + 3y + 3 x2(y + 1) = 24}x2(y + 1) = 16}31 Soluci n:2x + y = 13x2+ y2= 34}Se resuelve el sistema por sustituci n, despejando lainc gnita yde la 1 ecuaci soluciones del sistema son:x1= 5, y1= 32711x2= ,y2= 55 Como el problema dec a dos n meros, ambas solu-ciones son v el cambio:3x= 3 x = 15y= 25 y = 2xyy 2x 2 Resuelve gr ficamente el sistema planteado en elsiguiente gr fico:Haz la interpretaci n gr n:x = 4, y = 2 Las dos circunferencias se cortan en un punto A( 4, 2) y, por tanto, son ampliarXYx2 + y2 4y 12 = 0x2 + y2 + 4x 4y + 4 = 0}178 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, y problemasResuelve gr ficamente el siguiente sistema:3x + y = 54x y = 9}Interpreta gr ficamente las soluciones obtenidas yclasifica el el siguiente sistema:+ = }2x + y = 8 Resuelve el siguiente sistema:y = 0y = x2 4}Interpreta gr ficamente las soluciones el siguiente sistema:x y = 0x2+ y = 6}Interpreta gr ficamente las soluciones gr ficamente el siguiente sistema:2x + y = 9x 3y = 1}Interpreta gr ficamente las


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