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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES - ugr.es

Enrique R. AznarDpto. de lgebraP gina web personalP gina de AberturaContenidoJJIIJIP gina 1 de 30 Atr sPantalla grande/peque aCerrarSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Cuando tiene soluci n un sistema de ECUACIONES ?1. SISTEMAS de ECUACIONES 14 Definici n 15 Ejemplo 26 Definici n 26 Definici n 37 Definici n 47 Definici n 58 Lema 182. Matrices y SISTEMAS de ecuaciones9 Ejemplo 310 Definici n 610 Definici n 711 Lema 211 Lema 311 Enrique R. AznarDpto. de lgebraP gina web personalP gina de AberturaContenidoJJIIJIP gina 2 de 30 Atr sPantalla grande/peque aCerrarEjemplo 4123. Forma normal de Hermite de una matriz12 Teorema 112 Definici n 813 Teorema 213 Ejemplo 5144. Rango de una matriz15 Definici n 915 Lema 415 Lema 516 Teorema 3165.

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  Ecuaciones, De ecuaciones lineales, Lineales

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1 Enrique R. AznarDpto. de lgebraP gina web personalP gina de AberturaContenidoJJIIJIP gina 1 de 30 Atr sPantalla grande/peque aCerrarSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Cuando tiene soluci n un sistema de ECUACIONES ?1. SISTEMAS de ECUACIONES 14 Definici n 15 Ejemplo 26 Definici n 26 Definici n 37 Definici n 47 Definici n 58 Lema 182. Matrices y SISTEMAS de ecuaciones9 Ejemplo 310 Definici n 610 Definici n 711 Lema 211 Lema 311 Enrique R. AznarDpto. de lgebraP gina web personalP gina de AberturaContenidoJJIIJIP gina 2 de 30 Atr sPantalla grande/peque aCerrarEjemplo 4123. Forma normal de Hermite de una matriz12 Teorema 112 Definici n 813 Teorema 213 Ejemplo 5144. Rango de una matriz15 Definici n 915 Lema 415 Lema 516 Teorema 3165.

2 Interpretaci n matricial del teorema de Rouch -Frobenius17 Definici n 1017 Lema 618 Ejemplo 619 Definici n 1120 Corolario 1216. 122 Ejercicio 222 Ejercicio 322 Ejercicio 423 Ejercicio 523 Enrique R. AznarDpto. de lgebraP gina web personalP gina de AberturaContenidoJJIIJIP gina 3 de 30 Atr sPantalla grande/peque aCerrarEjercicio 623 Ejercicio 724 Ejercicio 824 Ejercicio 925 Ejercicio 10257. Test de R. AznarDpto. de lgebraP gina web personalP gina de AberturaContenidoJJIIJIP gina 4 de 30 Atr sPantalla grande/peque aCerrar1. SISTEMAS DE ECUACIONES cuerpo1, una ecuaci n lineal con coeficientes enKes una expresi nde la forma:a1x1+ +anxn=bdonde los t rminosa1,..,anson elementos (conocidos) deKy se llamancoeficientes.

3 El t rminobes de nuevo un elemento deKy recibe el nombrede t rmino ltimox1,..,xnson s mbolos que llamaremos inc gnitas. Para un n meropeque o de inc gnitas, ser usual tambi n denotarlas por las letras x, y, z, t, tese que en una ecuaci n lineal no pueden aparecer t rminos como una in-c gnita al cuadrado, el producto de dos inc gnitas ni una funci n trigonom tricao logar jate en cada una de las ECUACIONES :2x+5y= 13x y+7z=151 Kpuede ser un cuerpo num rico. O sea,Q, R. AznarDpto. de lgebraP gina web personalP gina de AberturaContenidoJJIIJIP gina 5 de 30 Atr sPantalla grande/peque aCerrarambas son LINEALES , pero las siguientes no lo son2x2+y=6x y+z=0C os(x)+y+z=20 Una soluci n de una ecuaci n es una asignaci n de valores a las inc gnitasde forma que se verifique la , por ejemplo, para la ecuaci n2x+3y=5(con coeficientes enR) unasoluci n esx=1,y=1; otra soluci n esx=0,y=5 costumbre denotar las soluciones como colecciones o vectores.

4 As , lassoluciones anteriores las denotaremos como las parejas(1,1),(0,5/3).Definici n un conjunto demecuaciones LINEALES conninc gnitas cadauno, lo llamaremos un sistema demecuaciones LINEALES conninc + +a1nxn= + +amnxn=bm Llamaremos soluci n del sistema a cada asignaci n de valores a las inc g-nitas, digamosx1=k1,..,xn=knque sea soluci n de todas las ecuacionesdel sistema. Esto es, que haga verificarse todas las igualdades simult R. AznarDpto. de lgebraP gina web personalP gina de AberturaContenidoJJIIJIP gina 6 de 30 Atr sPantalla grande/peque aCerrarSe dice tambi n que(k1,..,kn)es soluci n del sistema. Se llama soluci ngeneral del sistema al conjunto de todas las soluciones del SISTEMAS se dice que son SISTEMAS equivalentes si tienen igual soluci ngeneral.

5 Esto es, si tienen exactamente las mismas f cil de comprobar que el sistemax+y=2x y=0}admite por soluci n la pareja(x,y)=(1,1)y que esta es otro lado, claramente el sistemax+y=1x+y= 1}no puede tener soluci n. Mientras que el sistemax+y=12x+2y=2}admite infinitas parejas soluci n de la forma(x,y)=( ,1 )Definici n colecci n finita y ordenada,(a1,..,an), de elementos enun cuerpoKlo llamaremos un vector o n-tupla , puede haber vectores que sean parejas, ternas, cuaternas, etc de elemen-tos en un R. AznarDpto. de lgebraP gina web personalP gina de AberturaContenidoJJIIJIP gina 7 de 30 Atr sPantalla grande/peque aCerrarLas posibles soluciones a los SISTEMAS del ejemplo anterior son parejas den meros (vectores de longitud 2)

6 Que podemos buscar enQ, n su n mero de soluciones clasificaremos los SISTEMAS de ecuacioneslineales de la siguiente compatible{determinadosi tiene soluci n nicaindeterminadosi tiene mas de unaincompatiblesi no tiene soluci nDefinici n sistema es compatible si tiene alguna tupla soluci n, com-patible determinado si tiene una nica tupla soluci n, compatible indetermi-nado si tiene m s de una tupla soluci n e incompatible si no tiene ningunatupla o vector soluci proceso de estudiar a cu l de estos tipos pertenece un sistema dado lollamaremos discutir el sistema de ECUACIONES LINEALES se dice que es homog neo si cada t rminoindependiente es sistema homog neo admite la soluci n (llamada trivial)(x1,..,xn)=(0,..,0)y por tanto es siempre compatible.}

7 Ser compatible determinado oindeterminado dependiendo de que admita o no otras n SISTEMAS de ECUACIONES LINEALES se dicen que son equiva-lentes si admiten el mismo conjunto de tuplas soluci R. AznarDpto. de lgebraP gina web personalP gina de AberturaContenidoJJIIJIP gina 8 de 30 Atr sPantalla grande/peque aCerrarEl m todo de s luci n de un sistema de ECUACIONES ser siempre pasar a otrosistema que sea equivalente y m s f cil de resolver. Si esto se hace sucesi-vamente, al final se puede llegar a un sistema que sea inmediato resolver. Obien sea cl ramente n sistema de ECUACIONES LINEALES se dice que es escalonadoreducido si cada inc gnita que es la primera de una ecuaci n no aparece enlas restantes inc nitas se llaman principales.

8 A las restantes inc gnitas, si existen,se les llama libres o siguiente resultado es f cil de en un sistema de ECUACIONES se intercambian dos ECUACIONES , semultiplica una ecuaci n por un elemento, no nulo, del cuerpo o se suma auna ecuaci n otra multiplicada por un elemento del cuerpo, se obtiene unsistema de ECUACIONES equivalente. Aplicando los 3 tipos de transformaciones del lema anterior se puede llegar aun sistema equivalente escalonado reducido. Una forma ordenada de hacerloda lugar al algoritmo conocido con el nombre de el sistema escalonado reducido al que se llega contiene alguna igualdaddel tipo0=b, conb Kun escalar distinto de cero, cl ramente es contradic-torio y no admite ninguna tupla soluci n (sistema incompatible).

9 Enrique R. AznarDpto. de lgebraP gina web personalP gina de AberturaContenidoJJIIJIP gina 9 de 30 Atr sPantalla grande/peque aCerrarEn caso contrario, el sistema es compatible. Cuando, adem s, existan inc g-nitas libres, existir n muchas tuplas soluci n y el sistema se llama compati-ble MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONESTodo el desarrollo anterior se puede reinterpretar un sistema demecuaciones conninc + +a1nxn= + +amnxn=bm llamamosmatriz de coeficientesdel sistema a la matriz de ordenm nA= y llamamosmatriz ampliadadel sistema a la matriz de ordenm (n+1)(A|B)= Enrique R. AznarDpto. de lgebraP gina web personalP gina de AberturaContenidoJJIIJIP gina 10 de 30 Atr sPantalla grande/peque aCerrarEjemplo sistema3x+6y 5z=0x+y+2z=92x+4y 3z=1 tiene como matriz de coeficientes y matriz ampliada las siguientesA= 3 6 51 1 22 4 3 , (A|B)= 3 6 5 01 1 2 92 4 3 1 Definici n una matrizAde ordenm n, llamamospivotede unafila (columna) al primer elemento, no nulo si existe, de dicha fila (columna).

10 La matrizAse dice que esescalonada reducida por filassi verifica lassiguientes condiciones. Las filas nulas deA, si existen, est n en la parte inferior de la matriz. El pivote de cada fila, no nula, es 1. El pivote de cada fila est a la derecha del de la fila anterior. Los elementos, en la misma columna del pivote de una fila, son que existe un algoritmo para obtener una matriz escalonada porfilas, usando las transformaciones elementales de filas:Tipo I:Intercambiar la posici n de dos R. AznarDpto. de lgebraP gina web personalP gina de AberturaContenidoJJIIJIP gina 11 de 30 Atr sPantalla grande/peque aCerrarTipo II:Multiplicar todos los elementos de una fila por un escalar III:Sumar a una fila otra multiplicada por un n que dos matricesAyBsonequivalente por filas, ylo denotaremos porA fB, si se puede pasar de una a otra por una sucesi nde transformaciones elementales de que el proceso inverso de una transformaci n elemental es otra trans-formaci n elemental del mismo tipo.


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