Sistemas de Ecuaciones - Proyecto Descartes

1 7 Sistemas de Ecuaciones Objetivos Antes de empezar. En esta quincena aprender s a: lineales .. p g. 4. Reconocer y clasificar los Definici n. Soluci n Sistemas de Ecuaciones seg n su n mero de soluciones. de Ecuaciones lineales .. p g. 5. Obtener la soluci n de un Definici n. Soluci n sistema mediante una tablas. N mero de soluciones Resolver Sistemas lineales de dos Ecuaciones con dos todos de resoluci n .. p g. 7. inc gnitas, por los m todos de Reducci n sustituci n, igualaci n y reducci n. Sustituci n Utilizar el lenguaje algebraico Igualaci n y los Sistemas para resolver problemas. pr cticas .. p g. 9. Resoluci n de problemas Ejercicios para practicar Para saber m s Resumen Autoevaluaci n Actividades para enviar al tutor MATEM TICAS 2 ESO 1.

2 2 MATEM TICAS 2 ESO. Sistemas de Ecuaciones Antes de empezar Para empezar, te propongo un juego, averigua los n meros que faltan: MATEM TICAS 2 ESO 3. Sistemas de Ecuaciones 1. Ecuaciones Lineales 3x + y =. 12. Coeficiente de x= 3, Coeficiente de y= 1. Definici n. T rmino independiente =12. Una soluci n de la ecuaci n es: Una ecuaci n de primer grado se denomina ecuaci n x=1 y=9. lineal. Observa que 3 (1)+9=12. Para obtener m s soluciones se da a x el valor que queramos y se calcula la y Una ecuaci n lineal con dos inc gnitas es x = 0 y = 12 3 0 = 12. una ecuaci n que se puede expresar de la x = 1 y = 12 3 1 = 9. forma ax+by=c, donde x e y son las inc gnitas, y a, b y c son n meros conocidos x = 2 y = 12 3 2 = 6.

3 X = 3 y = 12 3 3 = 3. Si representamos los puntos en un sistema de ejes Soluci n coordenados forman una recta: Una soluci n de una ecuaci n lineal con dos inc gnitas es un par de valores (xi,yi) que hacen cierta la igualdad. Una ecuaci n lineal con dos inc gnitas tiene infinitas soluciones y si las representamos forman una recta. EJERCICIOS resueltos 1. Dada la ecuaci n: 3x + 2y =. 17 , razona si los siguientes pares son soluci n. a) x=1 , y=3 Sol: No es soluci n 3(1) + 2(3) = 4 + 6 = 10#17. b) x=5 , y=1 Sol: Si es soluci n 3(5) + 2(1) = 15 + 2 = 17. 2. c , halla el valor de c sabiendo que una soluci n es: Dada la ecuaci n 5x 2y =. a) x=3 , y=6 Sol: 5(3) 2(6) = 15 12 = 3 c = 3.

4 B) x=4 , y=1 Sol: 5(4) 2(1) = 20 2 = 18 c = 18. 3. 17 sabiendo que: Halla una soluci n (x,y) de la ecuaci n 4x + 5y =. a) x=7 Sol: 4(7) + 5y = 17 5y = 45 y = 9 sol = (7, 9). b) y=1 Sol: 4x + 5(1). = 17 4x = 12 x = 3 sol = (3,1). 4. Escribe una ecuaci n lineal con dos inc gnitas cuya soluci n sea: a) x=1 , y=3 Sol: 2x + 5y =. 17. b) x=-2 , y=1 Sol: 2x + y = 3. 5. 17 , y Haz una tabla de valores (x,y) que sean soluci n de la ecuaci n: 2x + y =. representa estos valores en un sistema de coordenadas. x 3 2 1 0 1 2 3 25. Sol: y 23 21 19 17 15 13 11 15. 5. -3 -2 -1 0 1 2 3. -5. 2 MATEM TICAS 2 ESO. Sistemas de Ecuaciones 2. Sistemas de Ecuaciones lineales Definici n.

5 Soluci n Sistema de dos Ecuaciones lineales con dos inc gnitas: Un sistema de dos Ecuaciones lineales con dos inc gnitas son dos Ecuaciones lineales de las que se 2x + 3y =. 14 busca una soluci n com n.. 3x + 4y 19. =. Una soluci n de un sistema de dos x = 1 Ecuaciones lineales con dos inc gnitas es un par de valores (xi,yi) que verifican las dos y = 4. Ecuaciones a la vez. Resolver el sistema es Es una soluci n del sistema encontrar una soluci n. anterior 2(1) + 3(4) =2 + 12 =14.. 3(1) + 4(4) =3 + 16 =19. N mero de Soluciones Un sistema de Ecuaciones , seg n el n mero de soluciones que tenga, se llama: Sistema Compatible Determinado, si tiene una nica soluci n.

6 La representaci n gr fica del sistema son dos rectas que se cortan en un punto. Sistema Compatible Indeterminado, si tiene infinitas soluciones. La representaci n gr fica del sistema son dos rectas coincidentes. Sistema Incompatible, si no tiene soluci n. La representaci n gr fica del sistema son dos rectas que son paralelas. x + y 5 =. = x 4 x + y =5 x + y =5. sol =.. 2x + y 9 =. = y 1 2x + 2y =10 2x + 2y =10. Sistema Sistema Sistema Compatible Determinado Compatible Indeterminado Incompatible 10 6 10. 9. 8 5 8. 4 7. 6 6. 3 5. 4 4. 2 3. 2 2. 1. 1. 0 0 0. 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6. -2. MATEM TICAS 2 ESO 3. Sistemas de Ecuaciones EJERCICIOS resueltos 3x + 2y =17.

7 6. Dado el sistema: , razona si los siguientes pares son soluci n. 5x y =11. 3(3) + 2(4) = 9 + 8 = 17. a) x=3 , y=4 Sol: Si es soluci n . 5(3) (4) = 15 4 = 11. 3(5) + 2(1) = 15 + 2 = 17. b) x=5 , y=1 Sol: No es soluci n . 5(5) (1) = 25 1 = 24 #11. 3(3) + 2(1) = 9 + 2 = 11#17. c) x=3 , y=1 Sol: Si es soluci n . 5(3) (1) = 15 1 = 14 #11. 7. Escribe un sistema de dos Ecuaciones cuya soluci n sea: 3x + 2y =7. a) x=1 , y=2 Sol: . 5x y =3. 3x y = 8. b) x=3 , y=1 Sol: . 2x y 5. =. 3x + 5y = 21. c) x=2 , y=3 Sol: . x 4y = 10. 3x + 2y =8. 8. Haz una tabla de valores y da la soluci n del sitemas: . 5x y =9. x = 2 x 2 1 0 1 2 x 2 1 0 1 2. Sol: 3x + 2y =8 5x y = 9 . y =1 y 7 11 / 2 4 5/2 1 y 19 14 9 4 1.

8 X + y =2. 9. Indica cu ntas soluciones tiene el sistema: . x 3y = 2. Sol: Una soluci n,Sistema Compatible Determinado 14. 12. 10. 8. 6. 4. 2. 0. 0 2 4 6. -2. -4. 4 MATEM TICAS 2 ESO. Sistemas de Ecuaciones 3. M todos de resoluci n Resolver un sistema por el Reducci n m todo de reducci n consiste en encontrar otro Reducci n sistema, con las mismas 2x + 5y =. 11.. soluciones, que tenga los 3x 5y =. 4. coeficientes de una misma inc gnita iguales o de signo 2x + 5y =. 11. contrario, para que al restar . 3x 5y =. 4. sumar las dos Ecuaciones la inc gnita desaparezca. 5x = 15 x = 3. 2(3) + 5y = 11 5y = 5 y = 1. Sustituci n Para resolver un sistema por el m todo de sustituci n se Sustituci n despeja una inc gnita en una de las Ecuaciones y se 2x + y =4.

9 Sustituye su valor en la otra. x + 2y 5. =. 2x + y = 4 y = 4 2x . x + =. 2y 5 x + 2(4 2x). = 5. x + 2(4 2x) = 5 x + 8 4x = 53. 3x = 3 x = 1. 2(1) + y = 4 y = 2. Para resolver un sistema por Igualaci n el m todo de igualaci n se despeja la misma inc gnita Igualaci n en las dos Ecuaciones y se 2x + y 7. =. igualan.. 3x + y =. 10. 2x + y = 7 y = 7 2x . 3x + y = 10 y = 10 3x 7 2x = 10 3x x = 3. y = 7 2x = 7 2(3) = 1 y = 1. MATEM TICAS 2 ESO 5. Sistemas de Ecuaciones EJERCICIOS resueltos 10. Resuelve los siguientes Sistemas utilizando el m todo de reducci n: 2x + 7y =. 20. { 2x + 7y =. 20. 3x 7y =. 5. a) Sol: 5x = 15 x = 3 6 + 7y = 20 7y = 14 y = 2. 3x 7y =. 4.}

10 Sol {. x = 3. y = 2. 2x + 3y =. 9. { 10x +=. 9x=. 15y 15y 12. 45. {2x=. 3x =. + 3y 9. 5y 4. b) Sol: 19x = 57 x = 3 6 + 3y = 9 3y = 3 y = 1. 3x 5y 4. =. {. x = 3. sol y =1. 11. Resuelve los siguientes Sistemas utilizando el m todo de sustituci n: x + 7y =11. { x + 7y = 11 x = 11 7y 3x 5y =7 3(11 7y) 5y =7 33 21y 5y =7 26y = 26. a) Sol: y = 1 x = 11 7(1) = 4. 3x 5y =7. {. x = 4. sol y =1. 2x + y =7. { 2x + y = 7 y = 7 2x 3x + 4y = 13 3x + 4(7 2x) = 13 3x + 28 8x = 13 5x = 15. b) Sol: x = 3 y = 7 2(3) = 1. 3x + 4y =13. {. x = 3. sol y =1. 12. Resuelve los siguientes Sistemas utilizando el m todo de igualaci n: x + 7y =. 23. { x + 7y = 23 x = 23 7y x 5y = 13 x = 13 + 5y 23 7y = 13 + 5y 12y = 36 y = 3.}}}}}}}}}