SISTEMAS DE INECUACIONES - unizar.es

1 CURSO B SICO DE MATEM TICAS PARA ESTUDIANTES DE ECON MICAS Y EMPRESARIALES Unidad did ctica 2. ecuaciones , INECUACIONES y SISTEMAS de ecuaciones y de INECUACIONES Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguill n, Trinidad Zabal Proyecto de innovaci n ARAG N TRES 1 SISTEMAS DE INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de las INECUACIONES que aparecen en los SISTEMAS que se estudian en este apartado, puede ser , , < o > . Para las cuestiones te ricas que se desarrollan en esta unidad, nicamente se utilizar la desigualdad > , siendo todas ellas generalizables a cualquiera de las otras tres.

2 En los ejemplos y ejercicios se utilizar n cualquiera de las cuatro desigualdades indistintamente. CONCEPTOS Un sistema de m INECUACIONES con n inc gnitas es un conjunto de m INECUACIONES que podemos escribir de la forma: > > > 11 221 212( , ,.., ) 0(, ,.., ) (, ,.., )0nnmnfx xxfxxxfxx x siendo 12, ,..,mfff funciones. En esta unidad, se trata fundamentalmente los SISTEMAS de INECUACIONES polin micas, es decir, SISTEMAS donde 12, ,..,mfff son polinomios. Si dichos polinomios son de grado 1, se dice que el sistema es lineal y en caso contrario, se dice que el sistema es no lineal.

3 Ejemplo 1: Son SISTEMAS de INECUACIONES : + + < 34052 30xyxyy (sistema lineal), ++ + > 223231xyzxy z (sistema no lineal), +> + ++ 22542zxyeyzxyz (sistema no polin mico) Resolver un sistema de INECUACIONES consiste en calcular el conjunto de puntos S (conjunto de soluciones) formado por todos los valores de las inc gnitas que verifican al mismo tiempo todas las INECUACIONES del sistema. Si S1, .., Sm son los respectivos conjuntos de soluciones de cada una de las INECUACIONES , hallar la soluci n del sistema consiste en explicitar S1.

4 Sm. Para no complicar excesivamente los c lculos se consideran SISTEMAS donde n y m son valores peque os. SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INC GNITA Se resuelve cada inecuaci n del sistema por separado, obteni ndose como soluci n de cada una de ellas un subconjunto de la recta real. La soluci n del sistema es la intersecci n de todos estos subconjuntos. Podemos encontrarnos con las diferentes situaciones, algunas de las cuales analizamos con ejemplos. CURSO B SICO DE MATEM TICAS PARA ESTUDIANTES DE ECON MICAS Y EMPRESARIALES Unidad did ctica 2.

5 ecuaciones , INECUACIONES y SISTEMAS de ecuaciones y de INECUACIONES Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguill n, Trinidad Zabal Proyecto de innovaci n ARAG N TRES 2 Ejemplo 2: Resolver el sistema de INECUACIONES > +> 2403120xx. Considerando la primera inecuaci n >240x y despejando x se tiene x > 2, luego las soluciones son los elementos del conjunto 1S= (2, ). Procediendo de forma an loga con la segunda inecuaci n 3x + 12 > 0, se obtiene, x > -4, luego las soluciones son los elementos del conjunto 2S= (-4, ).

6 Si representamos gr ficamente 1Sy 2S vemos claramente su intersecci n Por tanto, la soluci n del sistema es S =1S 2S=1S= (2, ) ya que en este caso 1S est contenido en 2S. Ejemplo 3: Resolver el sistema de INECUACIONES > + 2403120xx. Despejando x de las dos INECUACIONES queda > 24xx luego, 1S= (2, ) y 2S=(,4]= Si representamos gr ficamente estas semirrectas se ve claramente que su intersecci n es vac a. En conclusi n, 1S 2S= y por ello el sistema no tiene soluci n. Ejemplo 4: Resolver el sistema de INECUACIONES ++> + + +<+ 222204( 2)35 7xxxxxx.)

7 En primer lugar comenzaremos resolviendo cada inecuaci n por separado y despu s hallaremos la intersecci n de los conjuntos soluci n obtenidos. Para resolver la inecuaci n ++>220xx se factoriza el polinomio ++22xx, para lo que se calculan sus ra ces, que son += 1182x=11322 = . As , la inecuaci n se puede escribir de la forma + >(1)(2)0xx. En la tabla siguiente se especifica el signo de cada uno de los factores en los intervalos determinados por las ra ces obtenidas, lo que proporciona el signo del polinomio de 2 grado. Signo (- , -1) (-1, 2) (2, + ) x + 1 - + + 2 - x + + - (x + 1 )(2 - x ) - + - Observar que los extremos de los intervalos no son soluci n de la inecuaci n, por ser la desigualdad estricta.

8 Por tanto, el conjunto de soluciones es 1S= (-1, 2). La inecuaci n + +224( 2)xx es equivalente a + ++22444xxx, es decir, 04x cuya soluci n es 2S= [0, ). CURSO B SICO DE MATEM TICAS PARA ESTUDIANTES DE ECON MICAS Y EMPRESARIALES Unidad did ctica 2. ecuaciones , INECUACIONES y SISTEMAS de ecuaciones y de INECUACIONES Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguill n, Trinidad Zabal Proyecto de innovaci n ARAG N TRES 3 La inecuaci n +<+35 7xx es equivalente a <220x, es decir,<1x cuya soluci n es 3S= (- , 1). Por lo tanto, la soluci n del sistema de INECUACIONES es S = 1S 2S 3S= (-1, 2) [0, ) (- , 1) = [0, 1).]]]

9 Ejemplo 4: Resolver el sistema de INECUACIONES > 24032(43) 92xxxx. En primer lugar comenzaremos resolviendo cada inecuaci n por separado y despu s hallaremos la intersecci n de los conjuntos soluci n obtenidos. Para resolver la inecuaci n > 2403xx se factoriza el numerador, que al ser diferencia de cuadrados permite escribir la inecuaci n de la forma +> (2)(2)03xxx. En la tabla siguiente se especifica el signo de cada uno de los factores que aparecen en el cociente que define a la inecuaci n en los intervalos determinados por sus ra ces; lo que proporciona el signo de dicho cociente.

10 Signo (- , -2) (-2, 2) (2, 3) (3, ) x - 2 - - + + x + 2 - + + + 3 - x + + + - + (2)(2)3xxx + - + - Observar que los extremos de los intervalos no son soluci n de la inecuaci n, por ser la desigualdad estricta. Por tanto, el conjunto de soluciones es 1S= (- , -2) (2, 3). La inecuaci n 2(43) 92xx es equivalente a +04x, es decir, 4x cuya soluci n es 2S= [-4, ). Por lo tanto, la soluci n del sistema de INECUACIONES es S = 1S 2S= [-4, -2) (2, 3).]]