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1 MATEM TICAS TIMONMATE EJERCICIOS resueltos DE sistemas lineales Juan Jes s Pascual 1/16 SISTEMA DE ECUACIONES lineales A. Introducci n te rica B. Ejercicios resueltos A. INTRODUCCI N TE RICA sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales est formado por ecuaciones de primer grado en todas las inc gnitas. Todas esas ecuaciones han de verificarse a la vez. Un sistema formado por dos ecuaciones y dos inc gnitas, se puede escribir como sigue: 1112121222a x a y ba x a y b + = + = Cada una de estas ecuaciones es una recta. La soluci n del sistema es el punto en el que se cortan las dos rectas.

2 Puede pasar que las rectas no se corten. En ese caso el sistema no tiene soluci n Un sistema lineal de tres ecuaciones y tres inc gnitas se puede escribir como sigue: 111213121222323333333a x a y a z ba x a y a z ba x a y a z b + + = + + = + + = Cada una de estas ecuaciones es un plano. La soluci n del sistema es el punto en el que se cortan los dos planos. El sistema s lo tiene soluci n cuando los tres planos intersectan entre s . M todos de resoluci n a) M todo de sustituci n. En una de las dos ecuaciones del sistema se despeja una inc gnita y luego se sustituye esa expresi n en la otra ecuaci n. sistemas lineales resueltos TIMONMATE 2/16 Ejemplo: Resuelve: x y 23x y 5 + = = Por conveniencia, despejamos x de la ecuaci n primera.

3 Luego sustituimos ese valor en la otra ecuaci n y operamos. ( )x y 2x 2 y3x y 5 3x y 5 3 2 y y 56 3y y 54y 1111y4 + == = = = = = = Ya hemos hallado y. Para conseguir x llevamos el valor de y a cualquiera de las dos ecuaciones. 113x 2 y x 2x443x y 5 = = = = La soluci n obtenida puede expresarse as : ( )3 11x,y,4 4 = b) M todo de igualaci n. En cada una de las dos ecuaciones del sistema se despeja la misma inc gnita, igualando luego ambas expresiones. De ah se obtienen las soluciones buscadas. Ejemplo: Resuelve: x 2 yx y 25 y3x y 5x3 = + = + = = ()2 y 35 y5 y2 y333 + + = = TIMONMATE sistemas lineales resueltos 3/16 116 3y 5 y4y 11 y4 = + = = Calculemos x : 11113yx 2x4411= = = Conclusi n: ( )3 11x,y,4 4 = c) M todo de reducci n.

4 El m todo de reducci n implica emplear algo de ingenio. Consiste en manipular de forma conveniente a las ecuaciones, multiplic ndolas por n meros convenientes, con el fin de que al sumarlas se cancele alguna inc gnita y obtener as la otra de una forma sencilla. Ejemplo: 2x y 210x 5y 103x 5y 5 3x 5y 57x 1515 x7 + = = + = + = = = Lo que hemos hecho ha sido multiplicar la ecuaci n superior por 5. De este modo al sumar ambas ecuaciones se pierde la y y la x se obtiene casi de forma inmediata. 152x y 2 2y 27 + = + = 3016y 2y77= = Conclusi n: ( )15 16x,y,7 7 = d) M todo de Gauss. Este m todo es utilizado para resolver sistemas de tres ecuaciones y m s. Vamos a analizar el caso en el que tenemos un sistema de tres ecuaciones y tres inc gnitas. sistemas lineales resueltos TIMONMATE 4/16 111213121221323132333a x a y a y ba x a y a y ba x a y a y b + + = + + = + + = El juego consiste en eliminar inc gnitas mediante la suma o resta de ecuaciones.

5 Mediante manipulaciones convenientes vamos dando pasos para que el sistema anterior quede del siguiente modo: ,,,,1112131,,,22232,,,32333a x a y a y b a y a y b a y a y b + + = + + = + + = ,,,,,,,,1112131,,,,,,22232,,,,333a x a y a y b a y a y b a y b + + = + + = + = Los coeficientes ,ija y ,,ija son los coeficientes que se obtienen al multiplicar la ecuaci n por un n mero y sumarla o restarla con otra ecuaci n del sistema. Ejemplo: 6x 2y 3y 114y 2y 73x 2y 5y 65x + + = + = + = Queremos eliminar el 5x de la segunda ecuaci n. Para ello multiplicamos la 1 ecuaci n por 5 y la sumamos a la 2 ecuaci n despu s de haber multiplicado sta por 6: 6x 2y 3y 110x 14y 27y 133x 2y 5y 6 + + = + = + = Sumamos la 1 ecuaci n con la 3 multiplicada por 2: 6x 2y 3y 110x 14y 27y 130x 6y 7y 1 + + = + = + = TIMONMATE sistemas lineales resueltos 5/16 Multiplicamos la 2 ecuaci n por 3 y la sumamos a la 3 ecuaci n multiplicada por 7.

6 6x 2y 3z 110x 14y 27z 130x 0y 32z 32 + + = + = = Ya hemos hecho todo el trabajo. Ahora basta con ir recopilando los valores de las tres inc gnitas. De la 3 ecuaci n: 32z 32 z 1 = = De la 2 ecuaci n: ()14y 27 113 y 1 = = De la 1 ecuaci n: ()6x 2 1 3 1 11 x 1+ + = = Conclusi n: ()()x,y,z 1,1,1= e) M todo de Cramer. Es un m todo f cil. La nica pega a tu nivel es que necesitas conocer un poquito sobre unos n meros llamados determinantes. Pero si tienes esp ritu explorador ello no va a ser un obst culo para ti. Un determinante es un conjunto de n meros dispuestos en filas y en columnas. El n mero de filas y columnas ha de ser el mismo. Ejemplos de determinantes: 4 51 3 , 1 3 22 5 10 3 4 , .. Estas disposiciones de filas y columnas representan cantidades num ricas. sistemas lineales resueltos TIMONMATE 6/16 As , se tiene que: 4 5171 3=.

7 A este resultado se llega como sigue: ( )4 54 3 5 1 171 3= = . Otro ejemplo: 5 25 3 1 2 131 3= = Sencillo, no? Decir que para un determinante de tres filas y tres columnas el procedimiento es un poco m s complejo. M s adelante detallar c mo se resuelve este tipo de determinantes. Resolvamos dos sistemas ya tratados antes mediante otro m todo: el M todo de Cramer. Resoluci n de x y 23x y 5 + = = (M todo de Cramer) Los coeficientes del sistema los escribimos del siguiente modo: 1 1 2 3 1 5 . Ahora hallamos el determinante 1 1 3 1 : ( )1 1 1 1 3 1 43 1= = . Bien. F jate como se deducen las inc gnitas x e y. 1 1 2 3 1 5 (a) (b) (c) TIMONMATE sistemas lineales resueltos 7/16 2 1 5 12 53xx1 144 3 1 += = = 1 2 3 55 611yy1 144 3 1 = = = Conclusi n: ( )3 11x,y,4 4 = Resoluci n de 2x y 23x 5y 5 + = + =.

8 (M todo de Cramer) Los coeficientes del sistema los escribimos del siguiente modo: 2 1 2 3 5 5 . Ahora hallamos el determinante 2 1 3 5: 2 1 2 5 3 1 73 5= =. Bien. F jate como se deducen las inc gnitas x e y. 2 1 5 510 515xx2 177 3 5 += = = 2 2 3 510 616yx2 177 3 5 = = = (c) (b) (a) (c) (a) (b) (c) (c) (b) (a) (c) sistemas lineales resueltos TIMONMATE 8/16 Conclusi n: ( )15 16x,y,7 7 = B. Ejercicios resueltos 1. Resuelve: 4x 3y 13x 2y 5 + = = Soluci n: Despejamos la x de la 1 ecuaci n (podr amos haber elegido tambi n la 2 ecuaci n) y lo obtenido lo llevamos a la ecuaci n 2 : 1 3y4x 3y 1x43x 2y 53x 2y 5 1 3y 32y 543 9y 8y 207y 2323y17 + == = = = = = = Llevamos el valor de y a la 1 ecuaci n: 2317 691 31 3y1717xx444 = == =5213: 4 x1717 = = Soluci n: ( )13 23x,y,17 17 = 2.

9 Resuelve: 4x15y322x 3y64 + = = Soluci n: Quitamos los denominadores: TIMONMATE Ecuaciones resueltas de grado uno 9/16 30y4x33 322x 3y2444 + = = 4x 30y 32x 3y 24 + = = Ahora procedemos de la manera acostumbrada: Despejamos la x de la 2 ecuaci n: 4x 30y 33y 242x 3y 24 x2 + = + = = Llevamos este resultado a la 1 ecuaci n: 4x 30y 3 + = 3y 24430y 32 + + = 3y 24430y 32 + + = 1524y 45 y8 = = Llevamos el resultado a la 2 ecuaci n: 153243y 248xx22 + + = = 237x16= Soluci n: ( )237 15x,y,16 8 = M todo de igualaci n: 3.

10 Resuelve: 4x 3y 13x 2y 5 + = = sistemas de ecuaciones resueltos TIMONMATE 10/16 Soluci n: Despejo la misma inc gnita de las dos ecuaciones, por ejemplo, la x: 1 3yx4x 3y 145 2y3x 2y 5x3 = + = + = = Ahora igualo ambas expresiones: 1 3y5 2y43 += 3 9y 20 8y = + 2317y 23 y17 = = Por ltimo, llevo este resultado a la 1 ecuaci n: 231 31 3y17xx44 = = 5213x: 4 x1717 = = Soluci n: ( )13 23x,y,17 17 = 4. Resuelve: 5x 2y 33x y12 + = = Soluci n: Despejo la misma inc gnita en las dos ecuaciones. En este caso voy a despejar la y: 5x 2y 33 5xy23x y1y 3x 22 + = + = = = Ahora igualamos ambas expresiones y despejamos x: 3 5x3x 22 += 3 5x 6x 4 x 1 + = = Por ltimo, llevamos este resultado a la 2 ecuaci n: TIMONMATE Ecuaciones resueltas de grado uno 11/16 y 3x 2 y 3 1 2 y 1= = = Conclusi n: ()()x,y 1,1= M todo de reducci n: 5.