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SISTEMASDEECUACIONES LINEALES - educaLAB

Cap tulo 7. SISTEMAS DE ecuaciones . LINEALES . Introducci . on Se denomina ecuaci on lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las inc ognitas no est an elevadas a potencias, ni multiplicadas entre s , ni en el denominador. Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuaci on lineal con tres inc ognitas. Como es bien sabido, las ecuaciones LINEALES con 2 inc ognitas representan una recta en el plano. Si la ecuaci . on lineal tiene 3 inc . ognitas, su representaci on gr . a ca es un plano en el espacio. Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la gura: a ca de la recta x + 2y = 3 en el plano y del del plano x + y + z = 1.

CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 110 7.2. Sistemasdeecuacioneslineales Unsistemadeecuacioneslinealesesunconjuntodeecuacioneslinealesdelaforma:

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1 Cap tulo 7. SISTEMAS DE ecuaciones . LINEALES . Introducci . on Se denomina ecuaci on lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las inc ognitas no est an elevadas a potencias, ni multiplicadas entre s , ni en el denominador. Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuaci on lineal con tres inc ognitas. Como es bien sabido, las ecuaciones LINEALES con 2 inc ognitas representan una recta en el plano. Si la ecuaci . on lineal tiene 3 inc . ognitas, su representaci on gr . a ca es un plano en el espacio. Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la gura: a ca de la recta x + 2y = 3 en el plano y del del plano x + y + z = 1.

2 Figura : Representaci on gr . en el espacio El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones LINEALES , es decir, un conjunto de varias ecuaciones LINEALES . Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones, o geom etricamente representan la misma recta o plano. 109. CAP ITULO 7. SISTEMAS DE ecuaciones LINEALES 110. Sistemas de ecuaciones LINEALES Un sistema de ecuaciones LINEALES es un conjunto de ecuaciones LINEALES de la forma: . a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + + a1n xn = b1 .. a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + + a2n xn = b2 .. am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + + amn xn = bm En este caso tenemos m ecuaciones y n inc ognitas. Los n umeros reales aij se denominan coe cientes y los xi se denominan inc ognitas (o n.)

3 Umeros a determinar) y bj se denominan t erminos independientes. En el caso de que las inc ognitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2. , y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1 , x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema. Resolver el sistema consiste en calcular las inc ognitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones del sistema simult aneamente. Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Expresi . on matricial de un sistema Cualquier sistema de ecuaciones LINEALES se puede expresar en forma matricial del modo: . a11 a12 a13 .. a1n x1 b1. a21 a22 a23 .. a2n x2 b2 .. =.

4 Am1 am2 am3 .. amn xn bm mxn nx1 mx1.. a11 a12 a13 .. a1n x1. a21 a22 a23 .. a2n x2 .. La matriz A = .. se llama matriz de coe cientes, la matriz X = .. am1 am2 am3 .. amn xn . b1. b2 .. ognitas, y la matriz B = . se llama matriz de t erminos independientes. se llama matriz de inc .. bm La matriz formada por A y B conjuntamente, es decir: . a11 a12 a13 .. a1n b1. a21 a22 a23 .. a2n b2 .. (A|B) = .. am1 am2 am3 .. amn bm se llama matriz ampliada del sistema y se representar a por (A|B) o bien por A .. x+y z = 5 . Ejemplo: El sistema: x+y =7 escrito matricialmente es: . 2x + 2y z = 12.. 1 1 1 x 5. 1 1 0 y = 7 . 2 2 1 z 12. CAP ITULO 7. SISTEMAS DE ecuaciones LINEALES 111.

5 Y la matriz ampliada es: . 1 1 1 5. (A|B) = 1 1 0 7 . 2 2 1 12. Tipos de sistemas En general,buscaremos las soluciones de los sistemas en los n umeros reales R. Dependiendo del posible n . umero de tales soluciones reales que tenga un sistema, estos de pueden clasi car en: . * INCOMPATIBLES (No tienen soluci on) * DETERMINADOS (Soluci on u nica) * COMPATIBLES (Tienen soluci on). * INDETERMINADOS (In nitas soluciones) Sistemas con dos inc . ognitas Los sistemas m as sencillos son aquellos en los que s olo hay dos inc . ognitas y 2 ecuaciones , y que ya son conocidos de cursos pasados. Hay varios sistemas para resolverlos, los m as habituales: * Reducci on * Igualaci on * Sustituci on en los que ya no nos entretendremos.

6 Como cada ecuaci on lineal con 2 inc ognitas se interpreta geom etricamente como una recta, el estudio de la soluci . on del sistema se limita a estudiar la posici on de 2 rectas en el plano. Veamos algunos ejemplos con los tres casos que se pueden presentar. Resolver e interpretar el x + 2y = 3. sistema: . 2x + y = 1. Por reducci . on: 2x+4y=-6. -2x+ y=1. 5y=-5. de donde y = -1 y sustituyendo x + 2 (-1) = -3, x = -1. Es decir, la soluci . on del sistema es u nica, x = -1, y = -1 lo que signi ca que el sistema es compatible y determinado, y que las rectas se cortan en un punto, precisamente el (-1,-1): Figura : Soluci . on del sistema, punto (-1,-1). CAP ITULO 7. SISTEMAS DE ecuaciones LINEALES 112.

7 X + 2y = 3. Resolver e interpretar el sistema: . 2x 4y = 5.. x = 3 2y . Por igualaci . on: 5 + 4y de donde: x= . 2. 5 + 4y 3 2y = = 4y + 6 = 5 + 4y = 0y = 1 = 0 = 1. 2. lo cu al es imposible y por tanto el sistema no tiene soluci . on, es un sistema incompatible y por tanto las rectas son paralelas. Geom etricamente: Figura : Sistema sin soluci . on. Rectas paralelas . x + 2y = 3. Resolver e interpretar el sistema: . 3x + 6y = 9. on, como x = 2y 3 resulta 3( 2y 3) + 6y = 9, es decir 6y 9 + 6y = 9, por Por sustituci . tanto 0y = 0, 0 = 0. Como 0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el sistema tiene in nitas soluciones, es compatible indeterminado, o que las rectas son la misma.

8 Figura : In nitas soluciones. Las rectas coinciden Lo expresaremos as . Como x = 2y 3, dando valores a y se obtiene x. As si le damos a y el valor arbitrario de (lambda), entonces expresaremos la soluci on como: . x = 2 3. siendo R. y= . y como puede ser cualquier n umero real, hay in nitas soluciones. Estos son los u nicos casos que pueden darse con dos ecuaciones y dos inc ognitas, y su interpretaci on geom etrica. CAP ITULO 7. SISTEMAS DE ecuaciones LINEALES 113. Ejercicio: Estudiar la soluci . on de los siguientes sistemas e interpretarla geom etricamente: . x+y = 5 2x + y = 1 x + 2y = 3. a) b) c). 2x y = 7 3x + 2y = 4 x y = 4. Discuci . on de sistemas de 2 ecuaciones con 2 inc.

9 Ognitas . ax + 3y = 5. Si alguno de los coe cientes del sistema es desconocido, por ejemplo, , no estamos 2x y = 6. ante un s . olo sistema, sino ante in nitos, uno para cada valor de a, y cada sistema ser a distinto en funci . on del valor que tome dicha letra (llamada par . ametro). Para estudiarlo, se resuelve el sistema como habitualmente y se estudian los distintos casos que se pueden dar. Por ejemplo , por reducci on: ax+3y=5. 6x-3y=18. ax+6x =23. por tanto, x(6 + a) = 23. Entonces, si 6 + a = 0 no podremos despejar x, es decir si a = 6, obtenemos una ecuaci on del tipo 0 = 23, es decir, imposible. Por tanto, si a = 6 el sistema es incompatible. 23. En cualquier otro caso, podemos despejar x,x = , y se puede sacar y sustituyendo, por tanto, 6+a si a = 6, el sistema es compatible determinado.

10 Ejercicio: Discutir los sistemas en funci . on del par . ametro desconocido: 1. x+y =5 ky + x =. a) b) 2. ax + 2y = 10 y 3x = 5. Sistemas de 2 inc . ognitas y 3 ecuaciones Podemos a nadir a los cl . asicos sistemas de 2 ecuaciones y 2 inc ognitas cuantas ecuaciones queramos para obtener diferentes tipos de sistemas con 3, 4, 5 o m as ecuaciones . En cualquier caso, los tipos de sistemas a los que dan lugar son los mismos rese nados anteriormente. Al aumentar el n umero de ecuaciones , la resoluci on del sistema por alguno de los tres m etodos cl asicos se vuelve m as farragoso, por lo que conviene aplicar ya el conocido m etodo de Gauss para determinar el tipo de sistema.


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