Skriptum zur Vorlesung - THM

1 Technische SchwingungslehreS. Kolling & H. Steinhilber2. Auflage 2013 Skriptum zur VorlesungIIHerausgeber:Institut f ur Mechanik und Materialforschung (IMM)Wiesenstra e 1435390 Gie enAutoren:Prof. habil. Stefan KollingProf. Dr. rer. nat. Helmut SteinhilberFachbereich Maschinenbau und EnergietechnikTechnische Hochschule Mittelhessen2. Auflage 2013 Inhaltsverzeichnis1 Einf schwingungen .. utzliche und gef ahrliche schwingungen .. und Komfort .. von schwingungen .. von harmonischen schwingungen .. und Uberlagerung zweier schwingungen .. Darstellung .. der Bewegungsgleichungen .. 232 Schwinger mit einem unged ampfte Schwingung.

2 Und Bewegungsgleichung .. L osung der Differentialgleichung .. mathematische Pendel .. physikalische Pendel .. einer Schwingung .. elastischer Systeme .. Schwingung des ged ampften Systems .. ampfung .. viskose D ampfung .. Erregung .. ampftes System .. ampftes System .. punkterregung .. periodische Erregung .. antwort .. Erregung .. Integration .. osung durch Fouriertransformation .. 773 Schwinger mit zwei und mehr gekoppelten , unged ampfte schwingungen .. schwingungen des unged ampften Systems .. Erregung .. Erregung .. ged ampfte Systeme.

3 884 schwingungen kontinuierlicher angsschwingungen einer Feder .. 94 Anhang: Kontrollfragen98 Literaturhinweise1031 Einf schwingungen .. utzliche und gef ahrliche schwingungen .. und Komfort .. von schwingungen .. der Bewegungsgleichungen .. mechanische SchwingungenAls schwingungen werden Vorg ange bezeichnet, bei denen sich physikalische Gr o enmit der Zeit in einer Weise ver andern, dass bestimmte Merkmale immer wiederkehren,h aufig sogar periodisch, das hei t in regelm a igen Zeitabst sind damit alle Vorg ange gemeint, bei denen sich bestimmte Dinge zeitlich mechanischen schwingungen spricht man, wenn es sich beiden physikalischen Gr o um die Verschiebungen der Massenelemente eines mechanischen System mechanische System, das eine stabile Gleichgewichtslage besitzt, ist ein schwingungsf ahi-ges System.

4 Die Gleichgewichtslage eines mechanischen Systems hei t stabil, wenn bei einerSt orung des Gleichgewichts Kr afte geweckt werden, die das System in seine Gleichgewichtsla-ge zur ucktreiben, so genannte R uckstellkr afte. Wenn dieser Bewegungsvorgang sehr langsam(quasistatisch) erfolgt, spricht man von einem Kriechvorgang. H aufiger trifft jedoch der Fallauf, dass das System seine Gleichgewichtslage mit einer gewissen Geschwindigkeit SCHWINGUNGENR uhelage(potentielleEnergie)Gleichgewicht slage(Bewegungsenergie)Ruhelage(potentie lle Energie)Bild : PendelbewegungDann kann, wegen des Beharrungsverm ogensder tr agen Masse des Systems, die Gleichge-wichtslage nicht sofort wieder eingenommenwerden, sondern das System bewegt sichdar uber hinaus weiter.

5 Die R uckstellkr afte andern ihre Wirkrichtung, um das System er-neut in die Gleichgewichtslage zu System kommt in einer ausgelenkten La-ge momentan zur Ruhe, um sich dann wiederzur Gleichgewichtslage hin zu bewegen, diedas n achste Mal mit einer anders gerichtetenGeschwindigkeit passiert wird. Dieser Vor-gang wiederholt sich dann periodisch. Ein ty-pisches Beispiel, des eben beschriebenen istdas Pendel, dessen Bewegung in Bild schematisch dargestellt einer solchen Schwingung eines mechanischen Systems umseine Gleichgewichtslage fin-det ein st andiger Austausch zwischen Bewegungsenergie (kinetischer Energie) des Systemsbeim Durchgang durch die Gleichgewichtslage und potentieller Energie (elastischer Energieoder Lageenergie) des Systems in der Umkehrlage (in der das System momentan in Ruhe ist) realen Systemen erfolgt dieser Energieaustausch nichtverlustfrei.

6 Vielmehr wird st andigein Teil der Schwingungsenergie in andere Energieformen ( W armeenergie) umgewan-delt oder an die Umgebung in Form von etastomechanischen Wellen abgegeben (Luftschall,K orperschall). Dadurch nimmt die Schwingungsenergie desSystems und damit auch die Ge-schwindigkeit, mit der das System die Gleichgewichtslage passiert, best andig ab, falls es sichum freie schwingungen handelt, bei denen nur w ahrend der Anfangsst orung eine Energiezu-fuhr erfolgt. Die Schwingungsausschl age, die Abst ande zwischen der Gleichgewichtslageund der Umkehrlage der Massenelemente, werden von Schwingungszyklus zu Schwingungs-zyklus immer kleiner, und irgendwann nimmt das System die Gleichgewichtslage wieder UHRUNG3tx(t)a) ged ampfte Schwingungb) angefachte Schwingungtx(t)Bild.

7 Ged ampfte und angefachte SchwingungDiese Abnahme der Schwingungsenergie einer freien Schwingung, diese Energiedissipation1,wird als Schwingungsd ampfung bezeichnet, siehe Bild Im umgekehrten Falle, wenn Ener-gie dem System zur Anregung der Schwingung zur Verf ugung gestellt wird, spricht man von angefachten schwingungen , siehe Bild stabile Gleichgewichtslage muss nicht unbedingt eine statische Ruhelage des betreffendenSystems sein. Vielmehr kann es sich auch um eine station areBewegung mit einem ausgegli-chenen Kr afte- bzw. Momentenhaushalt Beispiel kann ein Turbinenl aufer, der im station arenBetrieb mit konstanter Drehzahlrotiert, Torsionsschwingungen oder Biegeschwingungen relativ zu dieser gleichsinnigen Be-wegung ausf uhren, die durch Dichteschwankungen des Mediums, durch Ungleichf ormigkeitendes Antriebs oder durch eine Unwucht des L aufers selbst verursacht werden.

8 Diese Schwin-gungen sind unerw unscht und werden deshalb als St orschwingungen bezeichnet. Diese k onnenf ur die Konstruktion durchaus gef ahrlich werden, zumindest ihre Funktion beeintr achtigen. Wir1 Der Begriff Dissipation stammt vom russischen Nobelpreistr ager f ur Che-mie Ilja Prigogine (1917-2003), der sich mit dissipativen Strukturen,Selbstorganisation und Irreversibilit at befasste. Unter Dissipation wird da-bei die Untersuchung von Strukturen verstanden, die sich nicht im thermo-dynamischen Gleichgewicht befinden, oder nach Prigogine die paradoxeenge Verbindung, die zwischen Struktur und Ordnung einerseits und Dis-sipation und Unordnung andererseits bestehen kann.

9 Mit dissipieren istsomit das Gegenteil von strukturieren gemeint und bedeutetalso so vielwie verteilen oder im energetischen Sinne umwandeln .Ilja Prigogine (1917-2003)4N UTZLICHE UND GEF AHRLICHE schwingungen werden im n achsten Abschnitt hierzu noch ein paar Beispiele kennen derTechnischen Schwingungslehrewerden wir uns mit den Grundlagen dieser Ph anomenebefassen. Die technischen Anwendungen hierzu werden dann in den entsprechenden Vertie-fungsf achern vermittelt. Die folgende kleine Ubersicht gibt einen Einblick in die Teilgebiete,in denen mechanischen schwingungen eine entscheidende Rolle Maschinendynamik untersucht die Wechselwirkung zwischen Kr af-ten und Bewegungen in Maschinen und deren Bauteilen.

10 Insbesondere werden derenSchwingungsverhalten analysiert und kritische Frequenzen f ur den Betrieb Rotor (lat. rotare: kreisen), im Gegensatz zum Stator, ist der sich dre-hende (rotierende) Teil einer Maschine. Beispiele hierf ur sind Elektromotoren, Gasturbi-nen, Pumpen oder Verdichter. Die Rotordynamik ist ein Teilgebiet der Maschinendyna-mik und untersucht die Wechselwirkung zwischen Kr aften und Bewegungen in sind hierbei Biege- und Torsionsschwingungen von Wellen, wobeidas Berechnen so genannter kritischer Drehzahlen eine wesentliche Rolle Baudynamik, im Gegensatz zur Baustatik, befasst sich mit der Berech-nung und Beurteilung dynamisch belasteter Bauwerke.